楊文金

2015年高考的大幕已經(jīng)落下，縱觀今年的各地高考數(shù)學(xué)試題，解答題雖然靈活多變，但所考查數(shù)學(xué)知識、方法，基本數(shù)學(xué)思想是不變的，題目形式的設(shè)置是相對穩(wěn)定的，突出特點(diǎn)是穩(wěn)定，繼續(xù)強(qiáng)化雙基、考查能力，突出主干、考查全面.高考解答題所考查的內(nèi)容依然是：三角（向量）、立體幾何、解析幾何、函數(shù)、不等式、數(shù)列及應(yīng)用問題等高中數(shù)學(xué)中的熱點(diǎn)內(nèi)容，下面談?wù)劰P者的拙見.

一、命題特點(diǎn)

1.解答題的出處較穩(wěn)定，一般為數(shù)列、三角函數(shù)（包括解三角形）、概率、立體幾何（與向量整合）、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)及不等式、解析幾何等.

2.解法靈活多樣，入口寬，得部分分易，得滿分難，幾乎每題都有坡度，層層設(shè)關(guān)卡，能較好地區(qū)分考生的能力層次.

3.側(cè)重新增內(nèi)容與傳統(tǒng)的中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容及數(shù)學(xué)應(yīng)用的融合，如函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列結(jié)合，向量與解析幾何內(nèi)容的結(jié)合等.

4.運(yùn)算與推理互相滲透，推理證明與計(jì)算緊密結(jié)合，運(yùn)算能力強(qiáng)弱對解題的成敗有很大影響.在考查邏輯推理能力時(shí)，常常與運(yùn)算能力結(jié)合考查，推導(dǎo)與證明問題的結(jié)論，往往要通過具體的運(yùn)算；在計(jì)算題中，也較多地?fù)竭M(jìn)了邏輯推理的成分，邊推理邊計(jì)算.

5.注重探究能力和創(chuàng)新能力的考查.探索性試題是考查這種能力的好素材，因此在試卷中占有重要的作用；同時(shí)加強(qiáng)了對應(yīng)用性問題的考查.

二、基本題型

認(rèn)真分析2015年各省市高考數(shù)學(xué)試題，雖略有差別，但總體上五至六個(gè)解答題的模式基本不變，分別為三角函數(shù)、平面向量型解答題、立體幾何型解答題、排列組合、二項(xiàng)式定理及概率型解答題、函數(shù)與不等式型解答題、解析幾何型解答題、數(shù)列型解答題.這是高考數(shù)學(xué)的重頭戲，這部分內(nèi)容包含的知識容量大、解題方法多、綜合能力要求高，它們突出了中學(xué)數(shù)學(xué)的主要思想和方法，考查了同學(xué)們的創(chuàng)新能力和創(chuàng)新意識.

三、題型細(xì)說

1.三角函數(shù)，考查基本運(yùn)算能力

三角仍是高考的熱點(diǎn)，2015年大多新課程高考數(shù)學(xué)卷，將三角與解三角形結(jié)合，向量與立體幾何、解析幾何結(jié)合，以三角為載體考查基本運(yùn)算能力，利用公式進(jìn)行運(yùn)算及變形，能夠根據(jù)問題的條件尋找與設(shè)計(jì)合理、簡捷的運(yùn)算途徑.

評注：本題考查二倍角公式、誘導(dǎo)公式、余弦定理、簡單的三角恒等變換等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.

第（1）小題為課本必修4第142頁練習(xí)1，體現(xiàn)了立足課本的要求.高考中常常將三角恒等變換與解三角形結(jié)合起來考，本題即是如此.本題的關(guān)鍵體現(xiàn)在以下兩點(diǎn)，一是利用角的關(guān)系消角，體現(xiàn)了消元的思想；二是用余弦定理列方程組求三角函數(shù)值，體現(xiàn)了方程思想.

2.立體幾何主要考查直線與平面的關(guān)系

立體幾何的考查，主要有兩類題型，一是在考查對空間幾何體結(jié)構(gòu)認(rèn)識的前提下，綜合性地考查對空間幾何體的體積、表面積的計(jì)算，考查空間線面位置關(guān)系，角與距離的計(jì)算，這類試題以“圖”引入，背景新穎，對同學(xué)們的空間想象能力有較高要求；二是在考查立體幾何基本問題的前提下，將試題設(shè)計(jì)為“探索性”的類型，改變了給出明確結(jié)論讓同學(xué)們證明的局面，這類試題由于結(jié)論不明確，對同學(xué)們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有較高要求.要想解決好如上所述的立體幾何新型試題，除了牢固掌握好立體幾何的基礎(chǔ)知識和基本方法外，還要在空間想象能力、數(shù)學(xué)思想方法等方面下一番工夫，只有這樣同學(xué)們才能面對新題型得心應(yīng)手，將新題型轉(zhuǎn)化為所熟悉的常規(guī)題，以便順利解決問題.在解答方面，除推理證明，運(yùn)用空間向量也是一種重要方法.這類題一定要注意解題規(guī)范，條件充分.

評注：本題涉及到了立體幾何中的線面平行與垂直的判定與性質(zhì)，全面考查立幾何中的證明與求解，意在考查同學(xué)們的空間想象能力和邏輯推理能力；利用空間向量解決立體幾何問題是一種成熟的方法，要注意建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系以及運(yùn)算的準(zhǔn)確性.

3.解析幾何突出“模塊化”運(yùn)算能力

解析幾何解答試題熱點(diǎn)的題型是求參數(shù)范圍或求最值的綜合性問題，探求動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題，有關(guān)定值、定點(diǎn)等的證明問題，與向量綜合的探索性問題等.著重考查解析幾何的基本思想，利用代數(shù)的方法研究幾何問題的特點(diǎn)和性質(zhì).因此，在解題的過程中，計(jì)算占了很大的比例.

評注：本題主要考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.由勾股定理求圓的弦長，體現(xiàn)數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想；用數(shù)字來刻畫幾何圖形的特征，是解析幾何的精髓，聯(lián)立方程組，求出橢圓中參數(shù)的關(guān)系，進(jìn)一步得到橢圓方程；構(gòu)造函數(shù)求斜率取值范圍，體現(xiàn)函數(shù)在解決實(shí)際問題中的重要作用，是撥高題.

4.以數(shù)列問題為載體考查抽象的演繹推理

數(shù)列解答試題是高考命題的一個(gè)必考且難度較大的題型，其命題熱點(diǎn)是與不等式交匯、呈現(xiàn)遞推關(guān)系的綜合性試題.當(dāng)中，以函數(shù)迭代、解幾何曲線上的點(diǎn)列為命題載體，有著高等數(shù)學(xué)背景的數(shù)列解答題是未來高考命題的一個(gè)新的亮點(diǎn)，而命題的冷點(diǎn)是數(shù)列的應(yīng)用性解答題.

評注：數(shù)列是特殊的函數(shù)，不等式是深刻認(rèn)識函數(shù)與數(shù)列的重要工具，三者的綜合是近幾年高考命題的新熱點(diǎn)，且數(shù)列的重心已經(jīng)偏移到不等式的證明與求解中，而不再是以前的遞推求通項(xiàng).對于數(shù)列問題中求和類（或求積類）不等式證明，如果是通過放縮的方法進(jìn)行證明的，一般有兩種類型：一種是能夠直接求和（或求積），再放縮；另一種是不能直接求和（或求積），需要放縮后才能求和（或求積），求和（或求積）后再進(jìn)行放縮.在后一種類型中，一定要注意放縮的尺度，二是要注意從哪一項(xiàng)開始放縮.

5.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)結(jié)合，考查綜合能力

函數(shù)問題更多的與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，是近幾年全國各省高考數(shù)學(xué)的一個(gè)最大的特點(diǎn).函數(shù)與不等式解答試題是高考命題的重要題型，它的解答需要用到導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識，其命題熱點(diǎn)是伴隨導(dǎo)數(shù)知識的考查，出現(xiàn)頻率較高的題型是最值、范圍命題.

評注：本題是以導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用為背景的函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)思想，化歸思想，抽象概括能力，綜合分析問題和解決問題的能力，屬于較難題，近來高考在逐年加大對導(dǎo)數(shù)問題的考查力度，不僅題型在變化，而且問題的難度、深度與廣度也在不斷加大，本部分的要求一定有三個(gè)層次：第一層次主要考查求導(dǎo)公式，求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的幾何意義；第二層次是導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用，包括求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值等；第三層次是綜合考查，包括解決應(yīng)用問題，將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式甚至數(shù)列及函數(shù)單調(diào)性有機(jī)結(jié)合，設(shè)計(jì)綜合題.

6.應(yīng)用問題的考查靈活多變

例6（2015年高考湖北，理20）某廠用鮮牛奶在某臺設(shè)備上生產(chǎn)A，B兩種奶制品.生產(chǎn)1噸A產(chǎn)品需鮮牛奶2噸，使用設(shè)備1小時(shí)，獲利1000元；生產(chǎn)1噸B產(chǎn)品需鮮牛奶1.5噸，使用設(shè)備1.5小時(shí)，獲利1200元.要求每天B產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過A產(chǎn)品產(chǎn)量的2倍，設(shè)備每天生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品時(shí)間之和不超過12小時(shí).假定每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量W（單位：噸）是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布列為

該廠每天根據(jù)獲取的鮮牛奶數(shù)量安排生產(chǎn)，使其獲利最大，因此每天的最大獲利Z（單位：元）是一個(gè)隨機(jī)變量.

（1）求Z的分布列和均值；

（2）若每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量相互獨(dú)立，求3天中至少有1天的最大獲利超過10000元的概率.

（2）由（1）知，一天最大獲利超過10000元的概率p1=P（Z>10000）=0.5+0.2=0.7，

由二項(xiàng)分布，3天中至少有1天最大獲利超過10000元的概率為p=1-（1-p1）3=1-0.33=0.973.

評注：二項(xiàng)分布是高中概率中最重要的概率分布模型，是近年高考非常重要的一個(gè)考點(diǎn).獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是相互獨(dú)立事件的特例（概率公式也是如此），就像對立事件是互斥事件的特例一樣，只要有“恰好”字樣的用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式計(jì)算更簡單，就像有“至少”或“至多”字樣的題用對立事件的概率公式計(jì)算更簡單一樣.