国产日韩欧美一区二区三区三州_亚洲少妇熟女av_久久久久亚洲av国产精品_波多野结衣网站一区二区_亚洲欧美色片在线91_国产亚洲精品精品国产优播av_日本一区二区三区波多野结衣 _久久国产av不卡

?

借你一雙慧眼

2016-06-15 12:33夏志勇
中學(xué)課程輔導(dǎo)高考版·學(xué)生版 2016年6期
關(guān)鍵詞:錯因剖析運算

你是不是經(jīng)常有這樣的煩惱:解題時“會而不對,對而不全”,明明是自己會做的題,卻得分不多,甚至“顆粒無收”.不必?zé)?,本文將借你一雙慧眼,帶你盤點高中數(shù)學(xué)中常見的錯誤,分析各種易錯題的類型,找出解題中的錯誤所在,研究改正錯誤的方法,從中吸取教訓(xùn),提高數(shù)學(xué)素養(yǎng),讓你笑對高考.

數(shù)學(xué)解題是我們借助特定“數(shù)學(xué)語言”進行數(shù)學(xué)思維的過程,在這個過程中我們的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)思維習(xí)慣起著決定性的作用.個體思維的跳躍性是產(chǎn)生思維漏洞的根本原因,這種思維漏洞一旦產(chǎn)生,自己是很難發(fā)現(xiàn)的,因此易錯點的隱蔽性很強.研究發(fā)現(xiàn),數(shù)學(xué)易錯點一般發(fā)生在對數(shù)學(xué)概念的理解不透徹、對數(shù)學(xué)公式記憶不準確以及審題不嚴、運算失誤、數(shù)學(xué)思維不嚴謹?shù)确矫?

類型1對數(shù)學(xué)概念的理解不透徹

數(shù)學(xué)概念描述了數(shù)學(xué)對象最重要的本質(zhì)屬性,每一個概念都有一定的外延與內(nèi)涵,如果對概念本質(zhì)的認識不透徹,對其外延與內(nèi)涵的掌握不準確,都會在解題中反映出來,導(dǎo)致解題出錯.

例1函數(shù)f(x)的定義域為R,且滿足f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x),試研究函數(shù)f(x)的奇偶性.

錯解:∵f(x)的定義域為R,又滿足f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x),

∴f(x)為奇函數(shù)或者偶函數(shù).

錯因剖析:錯解的根本原因就是對函數(shù)奇、偶性的定義理解模糊,定義是這樣講的:如果對于定義域中的每一個自變量x,都有f(-x)=f(x)(或f(-x)=-f(x)),則函數(shù)f(x)是偶函數(shù)(或奇函數(shù)).而題中給出的函數(shù)可能是一部分自變量滿足f(-x)=f(x),另一部分滿足f(-x)=-f(x),例如函數(shù)f(x)=x2(-1≤x≤1)x(x>1或x<-1),滿足f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x),但它既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù),所以題中的函數(shù)奇偶性不確定,可能是奇函數(shù),也有可能是偶函數(shù),可能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù),也可能既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

無獨有偶,這樣的例子還有很多,例如:

①若函數(shù)y=f(x)滿足f(2x+1)=f(2x),則函數(shù)y=f(x)的最小正周期是12.

②若數(shù)列{an}滿足an=2n-1或an=2n,則數(shù)列{an}是等差數(shù)列或等比數(shù)列.

點評:上述兩個命題都是假命題.對于①,取f(x)=1,則函數(shù)的最小正周期不為12;②中滿足條件的數(shù)列{an}有無數(shù)種,例如1,3,8,7,…;2,3,5,16…;2,4,8,16,…;1,3,5,7,…等等,數(shù)列{an}也可能既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列.

類型2對數(shù)學(xué)公式理解與記憶不準確

數(shù)學(xué)公式眾多,同學(xué)們在應(yīng)用公式解決數(shù)學(xué)問題時,由于記憶不準確,將公式記錯.或由于理解不準確,忽視公式成立的條件.比如有同學(xué)將常用的一些公式記成下面錯誤的形式:loga(x+y)=(logax)·(logay);a·b=2|a||b|cosθ(多出來的“2”估計是受余弦定理c2=a2+b2-2abcosC中的“2”的影響,兩個公式發(fā)生混淆了);使用基本不等式求最值時,忽視其前提“一正、二定、三相等”,這些都極易導(dǎo)致錯誤.

例2已知x,a,b,y成等差數(shù)列,x,c,d,y成等比數(shù)列,求(a+b)2cd的取值范圍.

錯解:由已知條件x,a,b,y成等差數(shù)列,x,c,d,y成等比數(shù)列,

則有a+b=x+y,cd=xy,

所以(a+b)2cd=(x+y)2xy=x2+y2+2xyxy=xy+yx+2≥2+2=4,

即所求的取值范圍是[4,+∞).

錯因剖析:上述解法中,xy+yx≥2成立的條件是xy,yx都大于0,即x,y同號,實際情況是本例中x,y亦可異號.

正解:由已知條件x,a,b,y成等差數(shù)列,x,c,d,y成等比數(shù)列,

則有a+b=x+y,cd=xy,

當(dāng)x,y同號時,(a+b)2cd=(x+y)2xy,

=x2+y2+2xyxy=xy+yx+2≥2+2=4.

當(dāng)x,y異號時,

(a+b)2cd=(x+y)2xy=x2+y2+2xyxy=xy+yx+2

=-[(-xy)+(-yx)]+2≤-2+2=0,

(或用x2+y2≥-2xy,(a+b)2cd=(x+y)2xy=x2+y2+2xyxy≤0xy=0)

所以所求范圍為(-∞,0]∪[4,+∞).

類型3審題不嚴

審題是解題的第一步,同學(xué)們在審題過程中往往出現(xiàn)讀題不仔細、忽視隱含條件、混淆字母含義等問題,從而導(dǎo)致錯誤的發(fā)生.

3.1讀題不仔細

解題時沒有認真的閱讀題目,曲解題意致誤.

例3數(shù)列{an}滿足(Sn-n2)(an-2n)=0(n∈N),其中Sn為數(shù)列{an}的前n項和,甲、乙、丙、丁四名同學(xué)各寫了該數(shù)列的前四項:甲:1,3,5,7;乙:1,4,8,7;丙:1,4,4,7;?。?,3,8,4.請你確定這四人中所有書寫正確的學(xué)生.

錯解:因為數(shù)列{an}滿足(Sn-n2)(an-2n)=0(n∈N),

由于Sn=n2an=2n-1,

所以原條件可化為[an-(2n-1)](an-2n)=0(n∈N),

所以an=2n-1或an=2n,

所以只有乙是正確的.

錯因剖析:題目中Sn=n2并不是對定義域內(nèi)的所有的n都成立,這可以只是個局部性質(zhì),也就是說當(dāng)Sn=n2時,Sn-1未必等于(n-1)2,因此條件(Sn-n2)(an-2n)=0(n∈N)并不等價于[an-(2n-1)](an-2n)=0(n∈N).

正解:由已知數(shù)列{an}滿足(Sn-n2)(an-2n)=0(n∈N),即滿足an=2n或Sn=n2,因此四人中甲、丙、丁都是正確的.

3.2忽視隱含條件

數(shù)學(xué)題目中有很多隱含條件,例如已知“直線與圓有公共點”,這就隱含著“聯(lián)立直線與圓的方程消元后的二次方程的判別式Δ≥0”,又如“求函數(shù)y=sin2x+2sinx+3的值域”隱含著“-1≤sinx≤1”這個有界性條件.審題過程應(yīng)盡可能找出這些隱含條件后再解題.

例4已知雙曲線x2-y22=1,過點P(1,1)能否作一條直線l,與雙曲線交于A、B兩點,且點P是線段AB的中點?

錯解:設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2),因為兩點皆在雙曲線上,

所以有x21-y212=1x22-y222=1,

將兩式相減,又P是線段AB的中點,可得kAB=2,

所以所求的直線l的方程為2x-y-1=0.

錯因剖析:由于“判別式”是判斷直線與圓錐曲線是否有公共點的重要方法,在解決直線與圓錐曲線相交的問題時,有時不需要考慮判別式,致使有的同學(xué)思維定勢的原因,任何情況下都沒有考慮判別式,導(dǎo)致解題錯誤.

正解:設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2)在雙曲線上,且線段AB的中點為(x0,y0),

若直線l的斜率不存在,顯然不符合題意.

設(shè)經(jīng)過點P的直線l的方程為y-1=k(x-1),

即y=kx+1-k.

由y=kx+1-k,x2-y22=1,得(2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2=0(2-k2≠0).①

∴x0=x1+x22=k(1-k)2-k2.

由題意,得k(1-k)2-k2=1,解得k=2.

當(dāng)k=2時,方程①成為2x2-4x+3=0.

Δ=16-24=-8<0,方程①沒有實數(shù)解.

∴不能作一條直線l與雙曲線交于A,B兩點,且點P(1,1)是線段AB的中點.

點評:隱含條件還隱藏在某些表達式“自身攜帶”的范圍里.就像方程x2+y2+dx+ey+f=0表示圓時,必須滿足d2+e2-4f>0,方程x2m+y2n=1表示橢圓要滿足一定的條件:m,n>0,m≠n;忽略了這些“自身攜帶”的范圍,解題就容易發(fā)生錯誤.

3.3混淆字母含義

同學(xué)們常將圓錐曲線方程中的“a2(或b2)”與“a(或b)”混為一談導(dǎo)致錯誤.

例5若橢圓x2+my2=1(0

錯解:橢圓標(biāo)準方程x21+y21m=1(01,

所以ca=1m-11m=32,則m=14,

所以a=4,所以長軸長為2×4=8.

錯因剖析:方程中的1m是半長軸的平方,上述解法中將其看成了長半軸長.

正解:由上面的解題過程可知,a=4=2,所以長軸長為2a=4.

類型4運算失誤

運算能力包括分析運算條件、探究運算方向、選擇運算公式、確定運算程序等一系列過程中的思維能力,也包括在實施運算過程中遇到障礙而調(diào)整運算的能力.而計算出錯,已經(jīng)成為影響數(shù)學(xué)成績的最重要因素之一.

4.1錯誤運用運算規(guī)律

如果在解題中不能正確使用運算法則,就會出現(xiàn)一些笑話.比如計算[(-2)10]12,有同學(xué)利用冪的運算性質(zhì)得到[(-2)10]12=(-2)10×12=(-2)5=-32,開平方的結(jié)果怎么會是一個負數(shù)呢?原因就是只有當(dāng)a>0時,才一定有(am)n=amn.

例6計算(1-i1+i)5的結(jié)果是.

錯解:因為(1-i1+i)5=[(1-i1+i)4]54=[(1-i)4(1+i)4]54=[(-2i)2(2i)2]54=154=1.

錯因剖析:實數(shù)有性質(zhì)xmn=(xm)n(x、m、n∈R).錯解在計算過程中,為了利用(1±i)2=±2i簡化計算,應(yīng)用了這個性質(zhì).而此性質(zhì)在復(fù)數(shù)集中是不成立的,如i5=i,而i5=(i4)54=154=1.這是沒有注意條件盲目變形出現(xiàn)的錯誤.

正解:因為(1-i1+i)5=(1-i1+i)4·1-i1+i=(1-i)4(1+i)4·(1-i)(1+i)(1+i)(1+i)=(-2i)2(2i)2·22i=1i=-i.

4.2運算方法不當(dāng)致誤

運算方法(如公式、運算程序或運算方向等)選擇不當(dāng)將會導(dǎo)致運算繁雜或不可能得解而出錯,在同樣的題目條件下,不同公式的選擇及不同運算程序都將極大影響運算的速度和準確度.

例7已知0

思路一:利用三角函數(shù)的變形或化簡,想通過三角公式對函數(shù)解析式作變形,然后再求最值;

思路二:令變量m=sinx,通過換元,轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的函數(shù),從而利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)g(m)=1m+t1-m,m∈(0,1)的最小值(用t表示),再利用最小值為9,求得t的值.

分析:這兩種想法看上去似乎都很合乎邏輯,但通過探究發(fā)現(xiàn),第一種思路,走不下去,沒有辦法通過變形轉(zhuǎn)化為可求最值的形式;第二種思路運算量相當(dāng)復(fù)雜,并且極值點與參數(shù)t有關(guān),還需進一步對參數(shù)做討論,一般是很難順利解決的.

正解:注意到sinx+(1-sinx)等于常數(shù)1,所以可以考慮令m=sinx,n=1-sinx,則問題轉(zhuǎn)化為:已知m+n=1,1m+tn的最小值為9,求t的值.這樣一來可以考慮利用基本不等式求解:1m+tn=(1m+tn)×1=(1m+tn)(m+n)=1+t+(nm+mtn)≥1+t+2t(當(dāng)且僅當(dāng)nm=mtn時取等號),由1+t+2t=9解得t=4.

類型5數(shù)學(xué)思維不嚴謹

5.1忽視變形的等價性

利用化歸思想,將復(fù)雜的陌生的問題轉(zhuǎn)化為簡單的熟悉的問題,這是常用的解題手段,但如果進行非等價的轉(zhuǎn)換,就會出現(xiàn)似是而非的假象.

例8已知數(shù)列a,b,c成等比數(shù)列,數(shù)列a,b(b-1)2,c成等差數(shù)列,當(dāng)1

錯解:因為數(shù)列a,b,c成等比數(shù)列,所以b2=ac,

因為數(shù)列a,b(b-1)2,c成等差數(shù)列,所以b(b-1)=a+c,

由b2=acb(b-1)=a+c,解得b=ac-(a+c).

因為1

錯因剖析:因為當(dāng)3

其實條件中b2=acb(b-1)=a+c,容易聯(lián)想到基本不等式或一元二次方程根的分布,如果用基本不等式,條件1

正解:因為ac=b2a+c=b(b-1),

所以a,c可視為一元二次方程為x2-b(b-1)x+b2=0的兩個實根.

又因為1

設(shè)f(x)=x2-b(b-1)x+b2,

則有f(1)>0f(3)<0f(7)>0,解得3

5.2缺乏探究精神,硬套結(jié)論或憑臆斷解題

例9在平面直角坐標(biāo)系中,點A,B,C的坐標(biāo)分別為(0,1),(4,2),(2,6).如果P(x,y)是△ABC圍成的區(qū)域(含邊界)上的點,那么當(dāng)ω=xy取到最大值時,點P的坐標(biāo)是.

錯解:將三角形三個頂點帶入表達式ω=xy,通過比較,當(dāng)x,y分別取2,6時,ω最大,故答案為(2,6).

錯因剖析:線性規(guī)劃問題中,當(dāng)可行域是封閉區(qū)域時,截距型最值問題(目標(biāo)函數(shù)形如z=ax+by)的最值必定在區(qū)域的頂點取,所以解題時只要將區(qū)域的頂點帶入比較即可.但該題中目標(biāo)函數(shù)為ω=xy,它不是截距型問題,它的最值不一定在頂點取,不加區(qū)別,死搬硬套,出現(xiàn)錯誤也在情理之中.

正解分析:因為ω=xy(x≥0,y≥0),所以ω可視為一個矩形的面積.

正解:過點P分別作x,y軸的垂線,垂足分別為P1、P2,點P向右方或者向上方移動時,矩形OP1PP2的面積就變大.由圖可看出,只有點P在線段BC上時才無法向右方或上方移動,所以要使ω=xy最大,點P一定在線段BC上.∵B(4,2),C(2,6),∴線段BC的方程為y=-2x+10,x∈[2,4],∴ω=xy=x(10-2x)=-2(x-52)2+252,x∈[2,4],

故當(dāng)x=52,y=5時,ω取到最大值,∴P(52,5).

例10已知圓C:(x+a)2+(y-a)2=4a,(a∈(0,4])截直線l:y=x+4所得弦長的最大值為.

錯解:因為直線截圓所得弦中最長的就是直徑,所以當(dāng)C∈l時,弦即直徑取最大值42.

錯因分析:上述解法只憑經(jīng)驗,生搬硬套,沒有注意本題中圓的半徑并不是定長,2a也在變化.

正解:因為C到l的距離

d=|a+a-4|2=2|a-2|,

弦長L=2r2-d2=24a-2(a-2)2

=22-(a-3)2+5≤210,

所以直線被截得的弦長的最大值為210.

5.3對端點的取舍研究不夠

求范圍是高中數(shù)學(xué)的高頻問題,不少同學(xué)正是由于忽視了端點的取舍,從而功虧一簣.

例11已知函數(shù)f(x)=ax+1x+2在(-2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,求實數(shù)a的取值范圍.

錯解:f′(x)=2a-1(x+2)2,由函數(shù)f(x)在(-2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減知f′(x)≤0在(-2,+∞)內(nèi)恒成立,即2a-1(x+2)2≤0在(-2,+∞)內(nèi)恒成立,

所以a≤12,

錯因剖析:上題看似正確,實際上卻忽視了一個重要問題:未驗證f′(x)是否恒為零.函數(shù)f(x)在D上單調(diào)遞增(或遞減)的充要條件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)且f′(x)在D的任一子區(qū)間上不恒為零.而當(dāng)a=12時f′(x)=0在(-2,+∞)恒成立,所以不符合題意,舍去.

例12設(shè)P、Q是曲線y=x3-3x2+(3-3)x+34的任意兩點,則直線PQ的傾斜角α的取值范圍是.

錯解:k=y1-y2x1-x2

=x31-3x21+(3-3)x1-x32+3x22-(3-3)x2x1-x2

=(x21+x1x2+x22)-3(x1+x2)+3-31

=(x1+x2-32)2+3(x2-1)24-3

≥3(當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=1時取等號),

同上,可得直線PQ的傾斜角α的取值范圍是[0,π2)∪[2π3,π).

錯解剖析:P、Q是曲線上兩點,且求的是直線PQ的傾斜角α的取值范圍,故兩點不能重合,所以k>3,則傾斜角α的范圍是[0,π2)∪(2π3,π).

點評:眾所周知,填空題中的求范圍問題,若端點的取舍不正確,5分則全部“報銷”,因此大家要養(yǎng)成單獨考慮端點的習(xí)慣,弄清該點是否符合要求,明確取舍.

所謂“吃一塹長一智”,只要我們在容易出錯的地方提高警戒意識,建立建全解題的“警戒點”,養(yǎng)成嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)思維好習(xí)慣,易錯點就會逐漸減少,你也將沒有煩惱.

(作者:夏志勇,海安縣曲塘中學(xué))

猜你喜歡
錯因剖析運算
重視運算與推理,解決數(shù)列求和題
深究錯因 把握本質(zhì)
一元一次方程錯解剖析
剖析高考數(shù)列創(chuàng)新題
有趣的運算
反思錯因正確解答
理清錯因,讓“冪”運算強起來
“幾何圖形初步”錯解剖析
集合中的錯解剖析
“整式的乘法與因式分解”知識歸納