你是不是經(jīng)常有這樣的煩惱:解題時“會而不對,對而不全”,明明是自己會做的題,卻得分不多,甚至“顆粒無收”.不必?zé)?,本文將借你一雙慧眼,帶你盤點高中數(shù)學(xué)中常見的錯誤,分析各種易錯題的類型,找出解題中的錯誤所在,研究改正錯誤的方法,從中吸取教訓(xùn),提高數(shù)學(xué)素養(yǎng),讓你笑對高考.
數(shù)學(xué)解題是我們借助特定“數(shù)學(xué)語言”進行數(shù)學(xué)思維的過程,在這個過程中我們的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)思維習(xí)慣起著決定性的作用.個體思維的跳躍性是產(chǎn)生思維漏洞的根本原因,這種思維漏洞一旦產(chǎn)生,自己是很難發(fā)現(xiàn)的,因此易錯點的隱蔽性很強.研究發(fā)現(xiàn),數(shù)學(xué)易錯點一般發(fā)生在對數(shù)學(xué)概念的理解不透徹、對數(shù)學(xué)公式記憶不準確以及審題不嚴、運算失誤、數(shù)學(xué)思維不嚴謹?shù)确矫?
類型1對數(shù)學(xué)概念的理解不透徹
數(shù)學(xué)概念描述了數(shù)學(xué)對象最重要的本質(zhì)屬性,每一個概念都有一定的外延與內(nèi)涵,如果對概念本質(zhì)的認識不透徹,對其外延與內(nèi)涵的掌握不準確,都會在解題中反映出來,導(dǎo)致解題出錯.
例1函數(shù)f(x)的定義域為R,且滿足f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x),試研究函數(shù)f(x)的奇偶性.
錯解:∵f(x)的定義域為R,又滿足f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x),
∴f(x)為奇函數(shù)或者偶函數(shù).
錯因剖析:錯解的根本原因就是對函數(shù)奇、偶性的定義理解模糊,定義是這樣講的:如果對于定義域中的每一個自變量x,都有f(-x)=f(x)(或f(-x)=-f(x)),則函數(shù)f(x)是偶函數(shù)(或奇函數(shù)).而題中給出的函數(shù)可能是一部分自變量滿足f(-x)=f(x),另一部分滿足f(-x)=-f(x),例如函數(shù)f(x)=x2(-1≤x≤1)x(x>1或x<-1),滿足f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x),但它既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù),所以題中的函數(shù)奇偶性不確定,可能是奇函數(shù),也有可能是偶函數(shù),可能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù),也可能既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).
無獨有偶,這樣的例子還有很多,例如:
①若函數(shù)y=f(x)滿足f(2x+1)=f(2x),則函數(shù)y=f(x)的最小正周期是12.
②若數(shù)列{an}滿足an=2n-1或an=2n,則數(shù)列{an}是等差數(shù)列或等比數(shù)列.
點評:上述兩個命題都是假命題.對于①,取f(x)=1,則函數(shù)的最小正周期不為12;②中滿足條件的數(shù)列{an}有無數(shù)種,例如1,3,8,7,…;2,3,5,16…;2,4,8,16,…;1,3,5,7,…等等,數(shù)列{an}也可能既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列.
類型2對數(shù)學(xué)公式理解與記憶不準確
數(shù)學(xué)公式眾多,同學(xué)們在應(yīng)用公式解決數(shù)學(xué)問題時,由于記憶不準確,將公式記錯.或由于理解不準確,忽視公式成立的條件.比如有同學(xué)將常用的一些公式記成下面錯誤的形式:loga(x+y)=(logax)·(logay);a·b=2|a||b|cosθ(多出來的“2”估計是受余弦定理c2=a2+b2-2abcosC中的“2”的影響,兩個公式發(fā)生混淆了);使用基本不等式求最值時,忽視其前提“一正、二定、三相等”,這些都極易導(dǎo)致錯誤.
例2已知x,a,b,y成等差數(shù)列,x,c,d,y成等比數(shù)列,求(a+b)2cd的取值范圍.
錯解:由已知條件x,a,b,y成等差數(shù)列,x,c,d,y成等比數(shù)列,
則有a+b=x+y,cd=xy,
所以(a+b)2cd=(x+y)2xy=x2+y2+2xyxy=xy+yx+2≥2+2=4,
即所求的取值范圍是[4,+∞).
錯因剖析:上述解法中,xy+yx≥2成立的條件是xy,yx都大于0,即x,y同號,實際情況是本例中x,y亦可異號.
正解:由已知條件x,a,b,y成等差數(shù)列,x,c,d,y成等比數(shù)列,
則有a+b=x+y,cd=xy,
當(dāng)x,y同號時,(a+b)2cd=(x+y)2xy,
=x2+y2+2xyxy=xy+yx+2≥2+2=4.
當(dāng)x,y異號時,
(a+b)2cd=(x+y)2xy=x2+y2+2xyxy=xy+yx+2
=-[(-xy)+(-yx)]+2≤-2+2=0,
(或用x2+y2≥-2xy,(a+b)2cd=(x+y)2xy=x2+y2+2xyxy≤0xy=0)
所以所求范圍為(-∞,0]∪[4,+∞).
類型3審題不嚴
審題是解題的第一步,同學(xué)們在審題過程中往往出現(xiàn)讀題不仔細、忽視隱含條件、混淆字母含義等問題,從而導(dǎo)致錯誤的發(fā)生.
3.1讀題不仔細
解題時沒有認真的閱讀題目,曲解題意致誤.
例3數(shù)列{an}滿足(Sn-n2)(an-2n)=0(n∈N),其中Sn為數(shù)列{an}的前n項和,甲、乙、丙、丁四名同學(xué)各寫了該數(shù)列的前四項:甲:1,3,5,7;乙:1,4,8,7;丙:1,4,4,7;?。?,3,8,4.請你確定這四人中所有書寫正確的學(xué)生.
錯解:因為數(shù)列{an}滿足(Sn-n2)(an-2n)=0(n∈N),
由于Sn=n2an=2n-1,
所以原條件可化為[an-(2n-1)](an-2n)=0(n∈N),
所以an=2n-1或an=2n,
所以只有乙是正確的.
錯因剖析:題目中Sn=n2并不是對定義域內(nèi)的所有的n都成立,這可以只是個局部性質(zhì),也就是說當(dāng)Sn=n2時,Sn-1未必等于(n-1)2,因此條件(Sn-n2)(an-2n)=0(n∈N)并不等價于[an-(2n-1)](an-2n)=0(n∈N).
正解:由已知數(shù)列{an}滿足(Sn-n2)(an-2n)=0(n∈N),即滿足an=2n或Sn=n2,因此四人中甲、丙、丁都是正確的.
3.2忽視隱含條件
數(shù)學(xué)題目中有很多隱含條件,例如已知“直線與圓有公共點”,這就隱含著“聯(lián)立直線與圓的方程消元后的二次方程的判別式Δ≥0”,又如“求函數(shù)y=sin2x+2sinx+3的值域”隱含著“-1≤sinx≤1”這個有界性條件.審題過程應(yīng)盡可能找出這些隱含條件后再解題.
例4已知雙曲線x2-y22=1,過點P(1,1)能否作一條直線l,與雙曲線交于A、B兩點,且點P是線段AB的中點?
錯解:設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2),因為兩點皆在雙曲線上,
所以有x21-y212=1x22-y222=1,
將兩式相減,又P是線段AB的中點,可得kAB=2,
所以所求的直線l的方程為2x-y-1=0.
錯因剖析:由于“判別式”是判斷直線與圓錐曲線是否有公共點的重要方法,在解決直線與圓錐曲線相交的問題時,有時不需要考慮判別式,致使有的同學(xué)思維定勢的原因,任何情況下都沒有考慮判別式,導(dǎo)致解題錯誤.
正解:設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2)在雙曲線上,且線段AB的中點為(x0,y0),
若直線l的斜率不存在,顯然不符合題意.
設(shè)經(jīng)過點P的直線l的方程為y-1=k(x-1),
即y=kx+1-k.
由y=kx+1-k,x2-y22=1,得(2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2=0(2-k2≠0).①
∴x0=x1+x22=k(1-k)2-k2.
由題意,得k(1-k)2-k2=1,解得k=2.
當(dāng)k=2時,方程①成為2x2-4x+3=0.
Δ=16-24=-8<0,方程①沒有實數(shù)解.
∴不能作一條直線l與雙曲線交于A,B兩點,且點P(1,1)是線段AB的中點.
點評:隱含條件還隱藏在某些表達式“自身攜帶”的范圍里.就像方程x2+y2+dx+ey+f=0表示圓時,必須滿足d2+e2-4f>0,方程x2m+y2n=1表示橢圓要滿足一定的條件:m,n>0,m≠n;忽略了這些“自身攜帶”的范圍,解題就容易發(fā)生錯誤.
3.3混淆字母含義
同學(xué)們常將圓錐曲線方程中的“a2(或b2)”與“a(或b)”混為一談導(dǎo)致錯誤.
例5若橢圓x2+my2=1(0 錯解:橢圓標(biāo)準方程x21+y21m=1(0 所以ca=1m-11m=32,則m=14, 所以a=4,所以長軸長為2×4=8. 錯因剖析:方程中的1m是半長軸的平方,上述解法中將其看成了長半軸長. 正解:由上面的解題過程可知,a=4=2,所以長軸長為2a=4. 類型4運算失誤 運算能力包括分析運算條件、探究運算方向、選擇運算公式、確定運算程序等一系列過程中的思維能力,也包括在實施運算過程中遇到障礙而調(diào)整運算的能力.而計算出錯,已經(jīng)成為影響數(shù)學(xué)成績的最重要因素之一. 4.1錯誤運用運算規(guī)律 如果在解題中不能正確使用運算法則,就會出現(xiàn)一些笑話.比如計算[(-2)10]12,有同學(xué)利用冪的運算性質(zhì)得到[(-2)10]12=(-2)10×12=(-2)5=-32,開平方的結(jié)果怎么會是一個負數(shù)呢?原因就是只有當(dāng)a>0時,才一定有(am)n=amn. 例6計算(1-i1+i)5的結(jié)果是. 錯解:因為(1-i1+i)5=[(1-i1+i)4]54=[(1-i)4(1+i)4]54=[(-2i)2(2i)2]54=154=1. 錯因剖析:實數(shù)有性質(zhì)xmn=(xm)n(x、m、n∈R).錯解在計算過程中,為了利用(1±i)2=±2i簡化計算,應(yīng)用了這個性質(zhì).而此性質(zhì)在復(fù)數(shù)集中是不成立的,如i5=i,而i5=(i4)54=154=1.這是沒有注意條件盲目變形出現(xiàn)的錯誤. 正解:因為(1-i1+i)5=(1-i1+i)4·1-i1+i=(1-i)4(1+i)4·(1-i)(1+i)(1+i)(1+i)=(-2i)2(2i)2·22i=1i=-i. 4.2運算方法不當(dāng)致誤 運算方法(如公式、運算程序或運算方向等)選擇不當(dāng)將會導(dǎo)致運算繁雜或不可能得解而出錯,在同樣的題目條件下,不同公式的選擇及不同運算程序都將極大影響運算的速度和準確度. 例7已知0 思路一:利用三角函數(shù)的變形或化簡,想通過三角公式對函數(shù)解析式作變形,然后再求最值; 思路二:令變量m=sinx,通過換元,轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的函數(shù),從而利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)g(m)=1m+t1-m,m∈(0,1)的最小值(用t表示),再利用最小值為9,求得t的值. 分析:這兩種想法看上去似乎都很合乎邏輯,但通過探究發(fā)現(xiàn),第一種思路,走不下去,沒有辦法通過變形轉(zhuǎn)化為可求最值的形式;第二種思路運算量相當(dāng)復(fù)雜,并且極值點與參數(shù)t有關(guān),還需進一步對參數(shù)做討論,一般是很難順利解決的. 正解:注意到sinx+(1-sinx)等于常數(shù)1,所以可以考慮令m=sinx,n=1-sinx,則問題轉(zhuǎn)化為:已知m+n=1,1m+tn的最小值為9,求t的值.這樣一來可以考慮利用基本不等式求解:1m+tn=(1m+tn)×1=(1m+tn)(m+n)=1+t+(nm+mtn)≥1+t+2t(當(dāng)且僅當(dāng)nm=mtn時取等號),由1+t+2t=9解得t=4.
類型5數(shù)學(xué)思維不嚴謹
5.1忽視變形的等價性
利用化歸思想,將復(fù)雜的陌生的問題轉(zhuǎn)化為簡單的熟悉的問題,這是常用的解題手段,但如果進行非等價的轉(zhuǎn)換,就會出現(xiàn)似是而非的假象.
例8已知數(shù)列a,b,c成等比數(shù)列,數(shù)列a,b(b-1)2,c成等差數(shù)列,當(dāng)1 錯解:因為數(shù)列a,b,c成等比數(shù)列,所以b2=ac, 因為數(shù)列a,b(b-1)2,c成等差數(shù)列,所以b(b-1)=a+c, 由b2=acb(b-1)=a+c,解得b=ac-(a+c). 因為1 錯因剖析:因為當(dāng)3 其實條件中b2=acb(b-1)=a+c,容易聯(lián)想到基本不等式或一元二次方程根的分布,如果用基本不等式,條件1 正解:因為ac=b2a+c=b(b-1), 所以a,c可視為一元二次方程為x2-b(b-1)x+b2=0的兩個實根.
中學(xué)課程輔導(dǎo)高考版·學(xué)生版2016年6期