必做題部分（共160分）

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分

1.若（1+ai）2=-1+bi（a，b∈R，a>0，i是虛數(shù)單位），則a+bi=.

2.若集合M={x|x2-2x-3<0}，P={y|y=x-1}，那么M∩P=.

3.若不等式x-m+1x-2m<0成立的一個(gè)充分非必要條件是13

4.如圖所示的程序運(yùn)行的結(jié)果為.

a←1

b←1

While b<15

a←a+b，

b←a+b

End While

c←a+b

Print c

5.在樣本的頻率分布直方圖中，共有4個(gè)小長(zhǎng)方形，這4個(gè)小長(zhǎng)方形的面積由小到大構(gòu)成等差數(shù)列{an}，已知a2=2a1，且樣本容量為400，則小長(zhǎng)方形面積最大的一組的頻數(shù)為.

6.設(shè)函數(shù)f（x）=1-xsinx在x=x0處取得極值，則（1+x20）（1+cos2x0）-1=.

7.如圖，在Rt△ABC中，AC⊥BC，D在邊AC上，已知BC=2，CD=1，∠ABD=45°，則AD=.

8.設(shè)α、β、γ為平面，a、b為直線，給出下列條件，其中能使α∥β成立的條件是.

①aα，bβ，a∥β，b∥α②α∥γ，β∥γ

③α⊥γ，β⊥γ④a⊥α，b⊥β，a∥b

9.若橢圓x2m+y2n=1（m>0，n>0）與曲線x2+y2=|m-n|無(wú)交點(diǎn)，則橢圓的離心率e的取值范圍是.

10.已知f（x），g（x）都是定義在R上的函數(shù)，g（x）≠0，f′（x）g（x）

11.設(shè)O為△ABC的三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，當(dāng)AB=AC=5，BC=6時(shí)，AO=λAB+μBC，（λ，μ∈R），則λ+μ=.

12.以原點(diǎn)為圓心的圓全部在區(qū)域x-3y+6≥02x+y-4≤03x+4y+9≥0 內(nèi)，則圓面積的最大值為.

13.設(shè)函數(shù)f（x）=x-[x]，x≥0f（x+1），x<0，其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[-1.2]=-2，[1.2]=1，[1]=1，若直線y=kx+k（k>0）與函數(shù)y=f（x）的圖象恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是.

14.已知三次函數(shù)f（x）=a3x3+b2x2+cx+d（a

二、解答題：本大題共6小題，15～17每小題14分，18～20每小題16分，共計(jì)90分

15.直棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2.

（1）求證：AC⊥平面BB1C1C；

（2）在A1B1上是否存一點(diǎn)P，使得DP與平面BCB1與平面ACB1都平行？證明你的結(jié)論.

16.在△ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.

（1）若a，b，c成等比數(shù)列，求f（B）=sinB+3cosB的值域；

（2）若a，b，c成等差數(shù)列，且A-C=π3，求cosB的值.

17.在金融危機(jī)中，某鋼材公司積壓了部分圓鋼，經(jīng)清理知共有2009根.現(xiàn)將它們堆放在一起.

（1）若堆放成縱斷面為正三角形（每一層的根數(shù)比上一層根數(shù)多1根），并使剩余的圓鋼盡可能地少，則剩余了多少根圓鋼？

（2）若堆成縱斷面為等腰梯形（每一層的根數(shù)比上一層根數(shù)多1根），且不少于七層.

（Ⅰ）共有幾種不同的方案？

（Ⅱ）已知每根圓鋼的直徑為10cm，為考慮安全隱患，堆放高度不得高于4m，則選擇哪個(gè)方案，最能節(jié)省堆放場(chǎng)地？

18.已知A、B分別是直線y=33x和y=-33x上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段AB的長(zhǎng)為23，P是AB的中點(diǎn).

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)Q（1，0）作直線l（與x軸不垂直）與軌跡C交于M、N兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)R.若RM=λMQ，RN=μN(yùn)Q，證明：λ+μ為定值.

19.已知函數(shù)f（x）=mx3-x的圖象上，以N（1，n）為切點(diǎn)的切線的傾斜角為π4.

（1）求m，n的值；

（2）是否存在最小的正整數(shù)k，使得不等式f（x）≤k-1991對(duì)于x∈[-1，3]恒成立；

（3）求證：|f（sinx）+f（cosx）|≤2f（t+12t）（x∈R，t>0）.

20.已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+an+1=2n（n∈N*），bn=3an.

（1）試證數(shù)列{an-13×2n}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.

（2）在數(shù)列{bn}中，是否存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，求出所有符合條件的項(xiàng)；若不存在，說(shuō)明理由.

（3）試證在數(shù)列{bn}中，一定存在滿足條件1

附加題部分（共40分）

21.[選做題] 本題包括A、B、C、D四小題，請(qǐng)選定其中兩題，每小題10分，共20分.若多做，則按作答的前兩題評(píng)分

A.選修41：幾何證明選講

如圖所示，已知PA與⊙O相切，A為切點(diǎn)，PBC為割線，，弦CD∥AP，AD、BC相交于E點(diǎn)，F(xiàn)為CE上一點(diǎn)，且DE2=EF·EC.

（1）求證：∠P=∠EDF；

（2）求證：CE·EB=EF·EP；

（3）若CE∶BE=3∶2，DE=6，EF=4，求PA的長(zhǎng).

B.選修42：矩陣與變換

線性變換T把（1，0）變成了（1，-1），并且把圓x2+y2-2y=0變成圓x2+y2-2x-2y=0.

（1）試求變換T所表示的矩陣M；

（2）求直線x-y=1在T變換下的所得直線的方程.

C.選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知圓M：x=1+cosθ，y=sinθ（θ為參數(shù)）的圓心F是拋物線E：x=2pt2y=2pt的焦點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)F的直線交拋物線與A、B兩點(diǎn)，求AF·FB的取值范圍.

D.選修45：不等式選講

設(shè)a、b、c均為實(shí)數(shù)，求證：12a+12b+12c≥1b+c+1c+a+1a+b.

【必做題】 第22、23題，每小題10分，共計(jì)20分

22.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≥x2，y1>0，y2<0）在拋物線上，且存在λ，使AF+λBF=0.

（1）若|AB|=254.求直線AB的方程；

（2）過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作直線l：x=-1的垂線，垂足分別是A′，B′，求四邊形AA′B′B面積的最小值.

23.如圖，在體積為1的三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1=1，P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn).

（1）求證：CA1⊥C1P；

（2）當(dāng)AP為何值時(shí)，二面角C1PB1A1的大小為π6？

參考答案

必做題部分

1.2+22i

2.[0，3）

3.[14，43]

4.34

5.160

6.1

7.5

8.②④

9.（0，22）

10.35

11.1516

12.165π

13.[14，13）

14.3

15.解：（1）直棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC.

又∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2，

∴AC=2，∠CAB=45°，∴BC=2，∴BC⊥AC.

又BB1∩BC=B，BB1，BC平面BB1C1C，∴AC⊥平面BB1C1C.

（2）存在點(diǎn)P，P為A1B1的中點(diǎn).

證明：由P為A1B1的中點(diǎn)，有PB1∥AB，且PB1=12AB.

又∵DC∥AB，DC=12AB，∴DC∥PB1，且DC=PB1，

∴DCPB1為平行四邊形，從而CB1∥DP.

又CB1面ACB1，DP面ACB1，∴DP∥面ACB1.

同理，DP∥面BCB1.

16.解：（1）∵b2=ac，a2+c2≥2ac，

∴cosB=a2+c2-b22ac≥2ac-ac2ac=12，

當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào)，∴0

由于f（B）=sinB+3cosB=2sin（B+π3），

又B+π3∈（π3，2π3]，∴3≤f（B）≤2，

即f（B）的值域?yàn)閇3，2].

（2）∵a+c=2b，∴sinA+sinC=2sinB，又

∵A-C=π3，A+C=π-B，

∴A=2π3-B2，C=π3-B2，

∴sin（2π3-B2）+sin（π3-B2）=2sinB，

展開(kāi)化簡(jiǎn)，得3cosB2=2×2sinB2cosB2，

∵cosB2≠0，∴sinB2=34，

∴cosB=1-2sin2B2=1-38=58.

17.解：（1）當(dāng)縱斷面為正三角形時(shí)，設(shè)共堆放n層，則從上到下每層圓鋼根數(shù)是以1為首項(xiàng)、1為公差的等差數(shù)列，且剩余的圓鋼一定小于n根，從而由2009-n（n+1）2

當(dāng)n=62時(shí)，使剩余的圓鋼盡可能地少，此時(shí)剩余了56根圓鋼；

（2）（Ⅰ）當(dāng)縱斷面為等腰梯形時(shí)，設(shè)共堆放n層，則從上到下每層圓鋼根數(shù)是以x為首項(xiàng)、1為公差的等差數(shù)列，從而nx+12n（n-1）=2009，

即n（2x+n-1）=2×2009=2×7×7×41，

因n-1與n的奇偶性不同，所以2x+n-1與n的奇偶性也不同，且n<2x+n-1，從而由上述等式得：

n=72x+n-1=574或n=142x+n-1=287

或n=412x+n-1=98或n=492x+n-1=82，

所以共有4種方案可供選擇.

（Ⅱ）因?qū)訑?shù)越多，最下層堆放得越少，占用面積也越少，所以由（2）可知：

若n=41，則x=29，說(shuō)明最上層有29根圓鋼，最下層有69根圓鋼，此時(shí)如圖所示，兩腰之長(zhǎng)都為400cm，上下底之長(zhǎng)為280cm和680cm，從而梯形之高為2003cm，

而2003+10<400，所以符合條件；

若n=49，則x=17，說(shuō)明最上層有17根圓鋼，最下層有65根圓鋼，此時(shí)如圖所示，

兩腰之長(zhǎng)為480cm，上下底之長(zhǎng)為160cm和640cm，從而梯形之高為2403cm，顯然大于4m，不合條件，舍去；

綜上所述，選擇堆放41層這個(gè)方案，最能節(jié)省堆放場(chǎng)地.

18.解：（1）設(shè)P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2）.

∵P是線段AB的中點(diǎn)，∴x=x1+x22，y=y1+y22.

∵A、B分別是直線y=33x和y=-33x上的點(diǎn)，∴y1=33x1和y2=-33x2.

∴x1-x2=23y，y1-y2=233x.，又|AB|=23，

∴（x1-x2）2+（y1-y2）2=12.

∴12y2+43x2=12，

∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為x29+y2=1.

（2）依題意，直線l的斜率存在，故可設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）.

設(shè)M（x3，y3）、N（x4，y4）、R（0，y5），

則M、N兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組y=k（x-1），x29+y2=1.

消去y并整理，得（1+9k2）x2-18k2x+9k2-9=0，

∴x3+x4=18k21+9k2，①

x3x4=9k2-91+9k2.②

∵RM=λMQ，∴（x3，y3）-（0，y5）=λ[（1，0）-（x3，y3）].

即x3=λ（1-x3）y3-y5=-λy3，∴x3=λ（1-x3）.∵l與x軸不垂直，∴x3≠1，

∴λ=x31-x3，同理μ=x41-x4.

∴λ+μ=x31-x3+x41-x4=（x3+x4）-2x3x41-（x3+x4）+x3x4.

將①②代入上式可得λ+μ=-94.

19.解：（1）f′（x）=3mx2-1，依題意，得tanπ4=f′（1），即1=3m-1，m=23.

∴f（x）=23x3-x.把N（1，n）代入，得n=f（1）=-13.∴m=23，n=-13.

（2）令f′（x）=2x2-1=0，得x=±22.

當(dāng)-10；當(dāng)-22

當(dāng)220.

又f（-1）=13，f（-22）=23，f（22）=-23，f（3）=15.

因此，當(dāng)x∈[-1，3]時(shí)-23≤f（x）≤15；

要使得不等式f（x）≤k-1991對(duì)于x∈[-1，3]恒成立，則k≥15+1991=2006.

所以，存在最小的正整數(shù)k=2006，使得不等式f（x）≤k-1991對(duì)于x∈[-1，3]恒成立.

（3）（方法1）：|f（sinx）+f（cosx）|=|（23sin3x-sinx）+（23cos3x-cosx）|

=|23（sin3x+cos3x）-（sinx+cosx）|

=|（sinx+cosx）[23（sin2x-sinxcosx+cos2x）-1]|

=|sinx+cosx|·|-23sinxcosx-13|

=13|sinx+cosx|3=13|2sin（x+π4）|3≤223.

又∵t>0，∴t+12t≥2，t2+14t2≥1.

∴2f（t+12t）=2[23（t+12t）3-（t+12t）]

=2（t+12t）[23（t2+1+14t2）-1]

=2（t+12t）[23（t2+14t2）-13]

≥22（23-13）=223.

綜上可得，|f（sinx）+f（cosx）|≤2f（t+12t）（x∈R，t>0）.

（方法2）：由（2）知，函數(shù)f（x）在[-1，-22]上是增函數(shù)；在[-22，22]上是減函數(shù)；在[22，1]上是增函數(shù).又因?yàn)閒（-1）=13，f（-22）=23，f（22）=-23，f（1）=-13，

所以，當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，-23≤f（x）≤23，

即|f（x）|≤23.

∵sinx，cosx∈[-1，1]，∴|f（sinx）|≤23，

|f（cosx）|≤23.

∴|f（sinx）+f（cosx）|≤|f（sinx）|+|f（cosx）|≤23+23≤223.

又∵t>0，∴t+12t≥2>1，且函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù).

∴2f（t+12t）≥2f（2）=2[23（2）3-2]=223.

綜上可得，|f（sinx）+f（cosx）|≤2f（t+12t）（x∈R，t>0）.

20.解：（1）證明：由an+an+1=2n，得an+1=2n-an，所以

an+1-13×2n+1an-13×2n=2n-an-13×2n+1an-13×2n

=-an+13×2nan-13×2n=-1.

又因?yàn)閍1-23=13，

所以數(shù)列{an-13×2n}是首項(xiàng)為13，公比為-1的等比數(shù)列.

所以an-13×2n=13×（-1）n-1，

即an=13[2n-（-1）n]，所以bn=2n-（-1）n.

（2）假設(shè)在數(shù)列{bn}中，存在連續(xù)三項(xiàng)bk-1，bk，bk+1（k∈N*，k≥2）成等差數(shù)列，則bk-1+bk+1=2bk，即[2k-1-（-1）k-1]+[2k+1-（-1）k+1]=2[2k-（-1）k]，即2k-1=4（-1）k-1.

①若k為偶數(shù)，則2k-1>0，4（-1）k-1=-4<0，所以，不存在偶數(shù)k，使得bk-1，bk，bk+1成等差數(shù)列.

②若k為奇數(shù)，則當(dāng)k≥3時(shí)，2k-1≥4，而4（-1）k-1=4，所以，當(dāng)且僅當(dāng)k=3時(shí)，bk-1，bk，bk+1成等差數(shù)列.

綜上所述，在數(shù)列{bn}中，有且僅有連續(xù)三項(xiàng)b2，b3，b4成等差數(shù)列.

（3）要使b1，br，bs成等差數(shù)列，只需b1+bs=2br，

即3+2s-（-1）s=2[2r-（-1）r]，即2s-2r+1=（-1）s-2（-1）r-3，（﹡）

①若s=r+1，在（﹡）式中，左端2s-2r+1=0，

右端（-1）s-2（-1）r-3=（-1）s+2（-1）s-3=3（-1）s-3，

要使（﹡）式成立，當(dāng)且僅當(dāng)s為偶數(shù)時(shí).又s>r>1，且s，r為正整數(shù)，

所以當(dāng)s為不小于4的正偶數(shù)，且s=r+1時(shí)，b1，br，bs成等差數(shù)列.

②若s≥r+2時(shí)，在（﹡）式中，左端2s-2r+1≥2r+2-2r+1=2r+1，

由（2）可知，r≥3，所以r+1≥4，所以左端2s-2r+1≥16（當(dāng)且僅當(dāng)s為偶數(shù)、r為奇數(shù)時(shí)取“=”）；右端（-1）s-2（-1）s-3≤0.所以當(dāng)s≥r+2時(shí)，b1，br，bs不成等差數(shù)列.

綜上所述，存在不小于4的正偶數(shù)s，且s=r+1，使得b1，br，bs成等差數(shù)列.

附加題部分

21.A.選修41：幾何證明選講

解：（1）∵DE2=EF·EC，∴DE∶CE=EF∶ED.又∵∠DEF是公共角，

∴△DEF∽△CED.∴∠EDF=∠C.

又∵CD∥AP，

∴∠C=∠P.∴∠P=∠EDF.

（2）∵∠P=∠EDF，∠DEF=∠PEA，

∴△DEF∽△PEA.

∴DE∶PE=EF∶EA.即EF·EP=DE·EA.

∵弦AD、BC相交于點(diǎn)E，∴DE·EA=CE·EB.∴CE·EB=EF·EP.

（3）∵DE2=EF·EC，DE=6，EF=4，∴EC=9.∵CE∶BE=3∶2，∴BE=6.

∵CE·EB=EF·EP，∴9×6=4×EP.解得：EP=272.∴PB=PE-BE=152，PC=PE+EC=452.

由切割線定理得：PA2=PB·PC，∴PA2=152×452.∴PA=1523.

B.選修42：矩陣與變換

解：（1）設(shè)M=abcd，則abcd10=1-1，∴a=1，c=-1.

圓x2+y2-2y=0可化為x2+（y-1）2=1，它的圓心為（0，1）；圓x2+y2-2x-2y=0可化為（x-1）2+（y-1）2=2，它的圓心為（1，1），

故有1b-1d01=11，

∴b=1，d=1.∴M=11-11.

（2）設(shè)xy為直線x-y=1上的任意一點(diǎn)，則x-y=1，且11-11xy=x+y-x+y=x+y-1，

故所得直線的方程為y=-1.

C.選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

解：曲線M：x=1+cosθy=sinθ的普通方程是（x-1）2+y2=1，∴F（1，0）.

拋物線E：x=2pt2y=2pt的普通方程是y2=2px，

∴p2=1，p=2，拋物線的方程為y2=4x.

設(shè)過(guò)焦點(diǎn)F的直線的參數(shù)方程為x=1+tcosθ，y=tsinθ （t為參數(shù)），代入y2=4x，得t2sin2θ-4tcosθ-4=0.∴AF·FB=|t1t2|=4sin2θ.

∵0

∴AF·FB的取值范圍是[4，+∞）.

D.選修45：不等式選講

證明：∵a、b、c均為實(shí)數(shù)，

∴12（12a+12b）≥12ab≥1a+b，當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立；

12（12b+12c）≥12bc≥1b+c，當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立；

12（12c+12a）≥12ca≥1c+a，當(dāng)c=a時(shí)等號(hào)成立.

三個(gè)不等式相加即得12a+12b+12c≥1b+c+1c+a+1a+b，

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立.

22.解：（1）∵AF+λBF=0，∴A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線.當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)不合題意，當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB：y=k（x-1），

由y=k（x-1）y2=4xk2x2-2（k2+2）x+k2=0，∴x1+x2=2（k2+2）k2x1·x2=1.

∴|AB|=（1+k2）[4（k2+2）2k4-4]=4（k2+1）k2=254k=±43.

又k=y1-y2x1-x2，x1>x2，y1>0，y2<0，∴k>0.從而k=43.

故直線AB的方程為：y=43（x-1），即4x-3y-4=0.

（2）設(shè)直線AB的傾斜角為α，梯形AA′B′B的高為h，利用（1）及拋物線的定義：

S=12（AA′+BB′）h=12（AF+BF）AB·sinα

=12AB21+1k2=12×16（k2+1）k21+1k2

=8（1+1k2）32>8.

當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，四邊形AA′B′B是矩形，且S=12AB2=12×22=2=12×42=8，

所以四邊形AA′B′B面積的最小值為8.

23.解：（1）證明：∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥AC，AA1⊥AB.又∵AB⊥AC，

∴以A為原點(diǎn)，AC，AB，AA1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立直角坐標(biāo)系.

又∵VABCA1B1C1=12AB×AC×AA1=1，

∴AB=2.

設(shè)AP=m，則P（0，m，0），而C1（1，0，1），C（1，0，0），A1（0，0，1），

∴CA1=（-1，0，1），C1P=（-1，m，-1），

∴CA1·C1P=（-1）×（-1）+0×m+1×（-1）=0，∴CA1⊥C1P.

（2）設(shè)平面C1PB1的一個(gè)法向量n=（x，y，z），則.

令y=1，則n=（2，1，m-2），

而平面A1B1P的一個(gè)法向量AC=（1，0，0），

依題意可知

cosπ6=|n·AC||n||AC|=2（m-2）2+5=32，

∴m=2+33（舍去）或m=2-33.

∴當(dāng)AP=2-33時(shí)，二面角C1PB1A1的大小為π6.

（作者：吳雅琴，如皋市第一中學(xué)）