一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分

1.已知函數(shù)f（x）=11-x2的定義域?yàn)镸，函數(shù)g（x）=3x的值域?yàn)镹，則M∩N=.

2.復(fù)數(shù)z滿足（1+2i）z=5，則z=.

3.有101和102兩個(gè)房間，甲、乙、丙、丁四人任意兩人被安排在同一房間，則甲被安排在101的概率為.

4.閱讀如圖所示的程序框圖，輸出的k值為.

5.已知不等式a≤x2+2|x|對(duì)x取一切非零數(shù)恒成立，則a的取值范圍是.

6.在△ABC中，AB=2，AC=1，D為BC的中點(diǎn)，則AD·BC=.

7.已知函數(shù)f（x）=mx2+lnx-2x在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

8.如圖，有一圓柱形的開(kāi)口容器（下表面密封），其軸截面是邊長(zhǎng)為2的正方形，P是BC中點(diǎn)，現(xiàn)有一只螞蟻位于外壁A處，內(nèi)壁P處有一米粒，則這只螞蟻取得米粒所需經(jīng)過(guò)的最短路程為

9.已知a，b為正實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=ax3+bx+2x在[0，1]上的最大值為4，則f（x）在[-1，0]上的最小值為.

10.如圖，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，頂點(diǎn)分別是A1，A2，B1，B2，焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，延長(zhǎng)B1F2與A2B2交于P點(diǎn)，若∠B1PA2為鈍角，則此橢圓的離心率的取值范圍為.

11.函數(shù)f（x）=min{2x，|x-2|}（x≥0），其中min{a，b}=a，a≤bb，a>b，若動(dòng)直線y=m與函數(shù)y=f（x）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，x3，則x1·x2·x3是否存在最大值？若存在，在橫線處填寫(xiě)其最大值；若不存在，直接填寫(xiě)“不存在”.

12.已知點(diǎn)P（a，b）與點(diǎn)P（1，0）在直線2x-3y+1=0的兩側(cè)，則下列說(shuō)法

（1）2a-3b+1>0；

（2）a≠0時(shí)，ba有最小值，無(wú)最大值；

（3）M∈R+，使a2+b2>M恒成立；

（4）a>0且a≠1，b>0時(shí)，則ba-1的取值范圍為（-∞，-13）∪（23，+∞）.

其中正確的是（把你認(rèn)為所有正確的命題的序號(hào)都填上）

13.已知圓O上三點(diǎn)A、B、C，AB=4，AC=2，∠BAC為鈍角，N是邊BC的中點(diǎn)，則AN·AO的值等于.

14.已知函數(shù)f（x）是定義在R上的以4為周期的函數(shù)，當(dāng)x∈（-1，3]時(shí)，f（x）=1-x2，x∈（-1，1]t（1-|x-2|），x∈（1，3]其中t>0.若函數(shù)y=f（x）x-15零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為5則實(shí)數(shù)t的取值范圍是.

二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分

15.如圖，在△ABC中，∠C=45°，D為BC中點(diǎn)，BC=2.記銳角∠ADB=α.且滿足cos2α=-725.

（1）求cosα；

（2）求BC邊上高的值.

16.如圖，四棱錐PABCD的底面為矩形，AB=2，BC=1，E，F(xiàn)分別是AB，PC的中點(diǎn)，DE⊥PA.

（1）求證：EF∥平面PAD；

（2）求證：平面PAC⊥平面PDE.

17.某高科技企業(yè)研制出一種型號(hào)為A的精密數(shù)控車床，A型車床為企業(yè)創(chuàng)造的價(jià)值逐年減少（以投產(chǎn)一年的年初到下一年的年初為A型車床所創(chuàng)造價(jià)值的第一年）.若第1年A型車床創(chuàng)造的價(jià)值是250萬(wàn)元，且第1年至第6年，每年A型車床創(chuàng)造的價(jià)值減少30萬(wàn)元；從第7年開(kāi)始，每年A型車床創(chuàng)造的價(jià)值是上一年價(jià)值的50%.現(xiàn)用an（n∈N*）表示A型車床在第n年創(chuàng)造的價(jià)值.

（1）求數(shù)列{an}（n∈N*）的通項(xiàng)公式an；

（2）記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Tn=Snn.企業(yè)經(jīng)過(guò)成本核算，若Tn>100萬(wàn)元，則繼續(xù)使用A型車床，否則更換A型車床.試問(wèn)該企業(yè)須在第幾年年初更換A型車床？（已知：若正數(shù)數(shù)列{bn}是單調(diào)遞減數(shù)列，則數(shù)列{b1+b2+…+bnn}也是單調(diào)遞減數(shù)列）.

18.已知點(diǎn)P（4，4），圓C：（x-m）2+y2=5（m<3）與橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>0，b>0）的一個(gè)公共點(diǎn)為A（3，1），F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線PF1與圓C相切.

（1）求m的值與橢圓E的方程；

（2）設(shè)D為直線PF1與圓C的切點(diǎn)，在橢圓E上是否存在點(diǎn)Q，使△PDQ是以PD為底的等腰三角形？若存在，請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？并說(shuō)明理由.

19.已知定義域?yàn)镽的二次函數(shù)f（x）的最小值為0，且有f（1+x）=f（1-x），直線g（x）=4（x-1）被f（x）的圖象截得的弦長(zhǎng)為417，數(shù)列{an}滿足a1=2，（an+1-an）g（an）+f（an）=0（n∈N*），

（1）求函數(shù)f（x）的解析式；

（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（3）設(shè)bn=3f（an）-g（an+1），求數(shù)列{bn}的最值及相應(yīng)的n.

20.已知函數(shù)f（x）=alnx-ax-3（a∈R）.

（1）當(dāng)a>0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，且函數(shù)g（x）=12x2+nx+mf′（x）（m，n∈R）當(dāng)且僅當(dāng)在x=1處取得極值，其中f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，求m的取值范圍；

（3）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（13，3）內(nèi)的圖象上存在兩點(diǎn)，使得在該兩點(diǎn)處的切線相互垂直，求a的取值范圍.

附加題部分（共40分）

21.選修42矩陣與變換

已知矩陣A=1-23-7.

（1）求逆矩陣A-1；

（2）若矩陣X滿足AX=31，試求矩陣X.

22.選修44坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)O與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與x軸的正半軸重合，曲線C1：ρcos（θ+π4）=22與曲線C2：x=4t2，y=4t（t∈R）交于A、B兩點(diǎn).求證：OA⊥OB.

23.已知（x+1）n=a0+a1（x-1）+a2（x-1）+a3（x-1）3+…+an（x-1）n（其中n∈N*）

（1）求a0及Sn=∑Ni=1ai；

（2）試比較Sn與（n-2）2n+2n2的大小，并說(shuō)明理由.

24.已知直角△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c，滿足a≤b

（1）已知a，b，c均為正整數(shù)，且a，b，c成等差數(shù)列，將滿足條件的三角形的面積從小到大排成一列S1，S2，S3，…，Sn，且Tn=-S1+S2-S3+…+（-1）nSn，求滿足不等式T2n>6·2n+1的所有n的值；

（2）已知a，b，c成等比數(shù)列，若數(shù)列{an}滿足5xn=（ca）n-（-ac）n（n∈N*），證明數(shù)列{xn}中的任意連續(xù)三項(xiàng)為邊長(zhǎng)均可以構(gòu)成直角三角形，且xn是正整數(shù).

參考答案

1.（0，1）

2.1-2i

3.12

4.6

5.a≤22

6.-32

7.[12，+∞）

8.π2+9

9.-32

10.（5-12，1）

11.1

12.（3）（4）

13.5

14.（25，65）

15.本題主要考查了同角平方關(guān)系、和差角公式及正弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用基本公式.

解：（1）∵cos2α=2cos2α-1=-725，

∴cos2α=925，

∵α∈（0，12π），

∴cosα=35.

（2）由（1）得sinα=1-cos2α=45，

∵∠CAD=∠ADB-∠C=α-45°，

∴sin∠CAD=sin（α-π4）

=sinαcosπ4-cosαsinπ4

=45×22-35×22=210，

在△ACD中，由正弦定理得：CDsin∠CAD=ADsin∠C，

∴AD=CDsinCsin∠CAD=1×22210=5，

則高h(yuǎn)=ADsin∠ADB=5×45=4.

16.本題主要是考查了線面平行的證明與線面垂直的證明的綜合運(yùn)用.

證明：（1）取PD中點(diǎn)G，連AG，F(xiàn)G，

因?yàn)镕、G分別為PC、PD的中點(diǎn)，所以FG∥CD，且FG=12CD，

又因?yàn)镋為AB中點(diǎn)，所以AE∥CD，且AE=12CD，

所以AE∥FG，AE=FG.故四邊形AEFG為平行四邊形，

所以EF∥AG，又EF平面PAD，AG平面PAD，

故EF∥平面PAD.

（2）設(shè)AC∩DE=H，由△AEH∽△CDH及E為AB中點(diǎn)得AHCH=AECD=12，

又因?yàn)锳B=2，BC=1，所以AC=3，

AH=13AC=33.

所以AHAE=ABAC=23，又∠BAC為公共角，所以△HAE∽△BAC.

所以∠AHE=∠ABC=90°，即DE⊥AC，

又DE⊥PA，PA∩AC=A，

所以DE⊥平面PAC，

又DE平面PDE，所以平面PAC⊥平面PDE.

17.（1）由題設(shè)，知a1，a2，…，a6構(gòu)成首項(xiàng)a1=250，公差d=-30的等差數(shù)列.

故an=280-30n（n≤6，n∈N*）（萬(wàn)元）.

a7，a8，…，an（n≥7，n∈N*）構(gòu)成首項(xiàng)a7=12a6=50，公比q=12的等比數(shù)列.

故an=50×（12）n-7（n≥7，n∈N*）（萬(wàn)元）.

于是，an=280-30n，1≤n≤650×（12）n-7，n≥7（n∈N*）（萬(wàn)元）.

（2）由（1）知，{an}是單調(diào)遞減數(shù)列，于是，數(shù)列{Tn}也是單調(diào)遞減數(shù)列.

當(dāng)1≤n≤6時(shí)，Tn=Snn=265-15n，{Tn}單調(diào)遞減，T6=175>100（萬(wàn)元）.

所以Tn>100（萬(wàn)元）.

當(dāng)n≥7時(shí)，Tn=Snn=1050+100×[1-（12）n-6]n=1150-1002n-6n，

當(dāng)n=11時(shí)，T11>104（萬(wàn)元）；當(dāng)n=12時(shí)，T12<96（萬(wàn)元）.

所以，當(dāng)n≥12，n∈N*時(shí)，恒有Tn<96.

故該企業(yè)需要在第12年年初更換A型車床.

18.解：（1）∵點(diǎn)A（3，1）在圓C上，∴（3-m）2+1=5，

又m<3，∴m=1，

設(shè)F1（-c，0），∵P（4，4），

∴直線PF1的方程為4x-（4+c）y+4c=0，

∵直線PF1與圓C相切，

∴|4+4c|16+（4+c）2=5（c>0），

即c=4，

由a2-b2=169a2+1b2=1解得a2=18b2=2，

∴橢圓E的方程是x218+y22=1.

（2）直線PF1的方程為x-2y+4=0，

由x-2y+4=0（x-1）2+y2=5，得切點(diǎn)D（0，2），

又∵P（4，4），∴線段PD的中點(diǎn)為M（2，3），

又∵橢圓右焦點(diǎn)F2（4，0），kMF2=32-4=-32，

又kPD=12，∴線段PD的垂直平分線的斜率為-2.

∵-2<-32，∴線段PD的垂直平分線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，

即在橢圓上存在兩個(gè)點(diǎn)Q，使△PDQ是以PD為底的等腰三角形.

（或與過(guò)點(diǎn)M的橢圓右側(cè)切線斜率比較說(shuō)明）

19.本試題主要是考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解，以及數(shù)列的求和的綜合運(yùn)用.

解：（1）設(shè)f（x）=a（x-1）2（a>0），則直線g（x）=4（x-1）與y=f（x）圖象的兩個(gè)交點(diǎn)為（1，0），（4a+1，16a），

∵（4a）2+（16a）2=417（a>0），

∴a=1，f（x）=（x-1）2.

（2）f（an）=（an-1）2，g（an）=4（an-1），

∵（an+1-an）·4（an-1）+（an-1）2=0，

∴（an-1）（4an+1-3an-1）=0，

∵a1=2，∴an≠1，4an+1-3an-1=0，

∴an+1-1=34（an-1），a1-1=1，

數(shù)列{an-1}是首項(xiàng)為1，公比為34的等比數(shù)列，

∴an-1=（34）n-1，an=（34）n-1+1.

（3）bn=3（an-1）2-4（an+1-1）

=3[（34）n-1]2-4（34）n

=3{[（34）n-1]2-（34）n-1}，

令bn=y，u=（34）n-1，則y=3{（u-12）2-14}=3（u-12）2-34，

∵n∈N*，∴u的值分別為1，34，916，2764……，經(jīng)比較916距12最近，

∴當(dāng)n=3時(shí)，bn有最小值是-189256，

當(dāng)n=1時(shí)，bn有最大值是0.

20.解：（1）f′（x）=a（1-x）x（x>0），

當(dāng)a>0時(shí)，令f′（x）>0得01，

故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1），單調(diào)減區(qū)間為（1，+∞）；

（2）函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，

則f′（2）=1，即a=-2；

所以g（x）=12x2+nx+m（2-2x），所以g′（x）=x+n+2mx2=x3+nx2+2mx2，

因?yàn)間（x）在x=1處有極值，故g′（1）=0，從而可得n=-1-2m，

則g′（x）=x3+nx2+2mx2

=（x-1）（x2-2mx-2m）x2，

又因?yàn)間（x）僅在x=1處有極值，

所以x2-2mx-2m≥0在（0，+∞）上恒成立，

當(dāng)m>0時(shí)，由-2m<0，即x0∈（0，+∞），使得x20-2mx0-2m<0，

所以m>0不成立，故m≤0，

又m≤0且x∈（0，+∞）時(shí)，x2-2mx-2m≥0恒成立，

所以m≤0；

（注：利用分離變量方法求出m≤0同樣給滿分.）

（3）由f′（x）=a（1-x）x（x>0）得（0，1）與（1，+∞）分別為f（x）的兩個(gè)不同的單調(diào)區(qū)間，

因?yàn)閒（x）在兩點(diǎn)處的切線相互垂直，

所以這兩個(gè)切點(diǎn)一定分別在兩個(gè)不同單調(diào)區(qū)間內(nèi).

故可設(shè)存在的兩點(diǎn)分別為（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），其中13

由該兩點(diǎn)處的切線相互垂直，得a（1-x1）x1·a（1-x2）x2=-1，

即1-x1x1=-1a2·x21-x2，而1-x1x1∈（0，2），

故-1a2·x21-x2∈（0，2），

可得（2a2-1）x2>2a2，由x2>0得2a2-1>0，則x2>2a22a2-1，

又134，

所以a的取值范圍為（-∞，-32）∪（32，+∞）.

附加題答案

21.（1）設(shè)A-1=abcd，則abcd1-23-7=a+3b-2a-7bc+3d-2c-7d=1001.

∴a+3b=1，-2a-7b=0，c+3d=0，-2c-7d=1.解得a=7，b=-2，c=3，d=-1.

∴A-1=7-23-1.

（2）x=7-23-131=198.

22.解：曲線C1的直角坐標(biāo)方程x-y=4，

曲線C2的直角坐標(biāo)方程是拋物線y2=4x.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），將這兩個(gè)方程聯(lián)立，消去x，

得y2-4y-16=0y1y2=-16，y1+y2=4.

∴x1x2+y1y2=（y1+4）（y2+4）+y1y2

=2y1y2+4（y1+y2）+16=0

∴OA·OB=0，∴OA⊥OB.

23.（1）令x=1，則a0=2n，令x=2，

則∑ni=0ai=3n，∴Sn=3n-2n；

（2）要比較Sn與（n-2）2n+2n2的大小，即比較：3n與（n-1）2n+2n2的大小，

當(dāng)n=1時(shí)，3n>（n-1）2n+2n2；當(dāng)n=2，3時(shí)，3n<（n-1）2n+2n2；

當(dāng)n=4，5時(shí)，3n>（n-1）2n+2n2；

猜想：當(dāng)n≥4時(shí)，3n>（n-1）2n+2n2，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

由上述過(guò)程可知，n=4時(shí)結(jié)論成立，

假設(shè)當(dāng)n=k（k≥4）時(shí)結(jié)論成立，即3k>（k-1）2k+2k2，

兩邊同乘以3得：3k+1>3[（k-1）2k+2k2]=k2k+1+2（k+1）2+[（k-3）2k+4k2-4k-2]，

而（k-3）2k+4k2-4k-2=（k-3）2k+4（k2-k-2）+6=（k-2）2k+4（k-2）（k+1）+6>0，

∴3k+1>[（k+1）-1]2k+1+2（k+1）2，

即n=k+1時(shí)結(jié)論也成立，

∴當(dāng)n≥4時(shí)，3n>（n-1）2n+2n2成立.

綜上得，當(dāng)n=1時(shí)，3n>（n-1）2n+2n2；

當(dāng)n=2，3時(shí)，3n<（n-1）2n+2n2；當(dāng)n≥4，n∈N*時(shí)，3n>（n-1）2n+2n2.

24.解：（1）設(shè)a，b，c的公差為d（d∈Z），則a2+（a+d）2=（a+2d）2，∴a=3d

設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)為3d，4d，5d，面積Sn=6n2，

T2n=-S1+S2-S3+…+S2n

=6[-12+22-32+42-…+（2n）2]

=6（1+2+3+4+…+2n）=12n2+6n，

由T2n>6·2n+1得n2+12n>2n，

當(dāng)n≥5時(shí)，22=1+n+n（n-1）2+…≥2+2n+（n2-n）>n2+12n，

經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)n=2，3，4時(shí)，n2+12n>2n，當(dāng)n=1時(shí)，n2+12n<2n，

綜上所述，滿足不等式T2n>6·2n+1的所有n的值為2、3、4.

（2）證明因?yàn)閍，b，c成等比數(shù)列，b2=ac.

由于a，b，c為直角三角形的三邊長(zhǎng)，知a2+ac=c2，ca=1+52，

又5xn=（ca）n-（-ac）n（n∈N*），得5xn=（1+52）n-（1-52）n，

于是5xn+5xn+1=（1+52）n-（1-52）n+（1+52）n+1-（1-52）n+1

=（1+52）n+2-（1-52）n+2=5xn+2，

∴xn+xn+1=xn+2，則有∴（xn）2+（xn+1）2=（xn+2）2.

故數(shù)列{xn}中的任意連續(xù)三項(xiàng)為邊長(zhǎng)均可以構(gòu)成直角三角形，

因?yàn)閤1=55{（5+12）1-（1-52）1}=1，

x2=55{（5+12）2-（1-52）2}=1，

x3=x1+x2=2∈N*，由數(shù)學(xué)歸納法得：

由xn+xn+1=xn+2，同理可得xn∈N*，xn+1∈N*xn+2∈N*，

故對(duì)于任意的n∈N*都有xn是正整數(shù).

（作者：劉春雷，太倉(cāng)市明德高級(jí)中學(xué)）