杜偉偉　汪超　彭敏（新疆工程學(xué)院基礎(chǔ)教研部，新疆烏魯木齊830000）

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局部耦合分段線(xiàn)性不連續(xù)映象格子的空間特性

杜偉偉汪超彭敏
（新疆工程學(xué)院基礎(chǔ)教研部，新疆烏魯木齊830000）

摘要：研究了一維不連續(xù)分段線(xiàn)性映象構(gòu)成的局部耦合映象格子的動(dòng)力學(xué)特征。發(fā)現(xiàn)了扭結(jié)-反紐結(jié)結(jié)構(gòu)、輪換結(jié)構(gòu)以及類(lèi)反鐵磁結(jié)構(gòu)。借助相空間的二維投影，討論了由周期到混沌的轉(zhuǎn)變過(guò)程。計(jì)算了參數(shù)空間的最大李雅普諾夫指數(shù)譜。

關(guān)鍵詞：不連續(xù)分段線(xiàn)性映象；局部耦合映象格子；類(lèi)反鐵磁結(jié)構(gòu)；投影圖

Abstract:This paper studies the dynamics of a coupled one-dimensional discontinuous piece-wise map lattice and finds the kink-ant kink patterns，cycle grafts and the antiferro-like structures. The transition from the periodic motion to chaos is discussed with the help of the 2D projection of the phase space and the maximum Lyapunov spectrums in parameter space are calculated.

Keywords:discontinuous piece-wise linear map；local coupled map lattice；kink-antikink structures；antiferrolike structures；projected charts

引言

非線(xiàn)性時(shí)空動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)是一個(gè)重要的研究課題。研究較為成熟的時(shí)空系統(tǒng)模型主要有：耦合常微分方程、元胞自動(dòng)機(jī)、以及耦合映象格子［1］。而耦合映象格子模型則優(yōu)于前兩者，它是由金子邦彥等人提出的，它將系統(tǒng)的時(shí)間和空間離散化，并保持狀態(tài)變量連續(xù)變化。耦合映象格子可以反映許多實(shí)際系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特征，例如：約瑟夫遜節(jié)陣列、多模激光、流體力學(xué)系統(tǒng)、生物系統(tǒng)、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等系統(tǒng)中的同步、斑圖形成、時(shí)空混沌、以及時(shí)空陣發(fā)等現(xiàn)象。近年來(lái)利用耦合映象格子模型研究時(shí)空混沌越來(lái)越受到重視。人們對(duì)于連續(xù)映象的耦合映象格子進(jìn)行了較充分地研究，并就其時(shí)空動(dòng)力學(xué)得到如下六種模式：凍結(jié)化隨機(jī)圖案模式、圖案選擇模式、缺陷混沌擴(kuò)散模式、缺陷湍流模式、圖案競(jìng)爭(zhēng)陣發(fā)混沌模式以及完全發(fā)展湍流模式等。

在耦合映象格子研究中幾乎很少看到格點(diǎn)上的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)用不連續(xù)映的例子。實(shí)際上，不連續(xù)映象反映了許多實(shí)際系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)，已經(jīng)引起了研究者的高度重視。由于不連續(xù)性中存在軌道不能到達(dá)的禁區(qū)，因而會(huì)出現(xiàn)非常不同的新動(dòng)力學(xué)特征，例如：V型陣發(fā)、映孔導(dǎo)致激發(fā)、V型陣發(fā)前的多重魔梯等現(xiàn)象。一個(gè)很自然的推廣就是耦合不連續(xù)映象格子，研究其中的新的時(shí)空動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象應(yīng)該是一個(gè)有意義的嘗試。本文將采用屈世顯等研究映孔導(dǎo)致激發(fā)時(shí)所提出的分段線(xiàn)性既不可逆又不連續(xù)映象作為耦合映象格子的動(dòng)力學(xué)單元，研究在局部耦合方式下映象格子系統(tǒng)的時(shí)空動(dòng)力學(xué)。

一、耦合映象格子模型與分段線(xiàn)性映象

耦合映象格子是研究時(shí)空混沌問(wèn)題的有效模型，它具有如下優(yōu)點(diǎn)：首先，它基于對(duì)時(shí)空系統(tǒng)的半宏觀描述，數(shù)值模擬計(jì)算效率很高；其次，計(jì)算的高效率使得我們可能對(duì)參數(shù)空間進(jìn)行掃描，從而得到隨系統(tǒng)參數(shù)變化的各種時(shí)空行為的轉(zhuǎn)化規(guī)律，甚至得到整個(gè)參數(shù)空間的相圖；第三，在耦合映象格子模型的理論研究中，低維動(dòng)力系統(tǒng)理論的一些結(jié)果可能得到直接推廣。

根據(jù)具體研究問(wèn)題的不同，通常使用不同的耦合方式，主要有：局部耦合映象格子、全程耦合映象（神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)問(wèn)題）、開(kāi)流的耦合映象格子（開(kāi)流問(wèn)題），以及二維耦合單峰映象格子、三維甚至到無(wú)窮維的耦合映象格子。

本文所涉及的局部耦合映象格子模型分別為：

xn+1（ i） = f（ xn（ i）） + D（（ f（ xn（ i+1）） + f（ xn（ i -1）））/2 -f（ xn（ i ）））.

其中i=1，2，…，N是代表具有周期性邊界條件Xn（N+1）= Xn（1）的一維格子的格點(diǎn)。N選為100。

本文選擇函數(shù)f（x）為分段線(xiàn)性映象。解析表達(dá)式如下，圖像如圖1所示。

xn+1= fi（ xn） = ki· xn+ bi,i=1～4.

圖1　線(xiàn)性分段映象圖像

圖2　不連續(xù)分段線(xiàn)性映象的分岔圖

圖3　空間振幅變化圖

x∈［xF，xG］，i=4.

其中所涉及的參量為：yA=0.203921，yC=0.46，yG=yA，xA=0，xb=0.107663，xg=0.35 xF=0.497121，xG=1，k3=3.07055，b3=-0。530165，k4=0.405507，b4=-0.201586。其中yb是系統(tǒng)的控制參量。圖2是此映象的分岔圖，對(duì)于本文的研究工作發(fā)揮了重要作用。

二、扭結(jié)-反扭結(jié)圖形、輪換圖形與鐵反鐵磁結(jié)構(gòu)

在局部耦合不連續(xù)分段線(xiàn)性映象格子中，系統(tǒng)狀態(tài)受映象參量yb與耦合強(qiáng)度D的影響。當(dāng)yb位于周期解區(qū)間，耦合作用可使系統(tǒng)失去周期性而轉(zhuǎn)變?yōu)榛煦?。與之相反，當(dāng)yb位于混沌狀態(tài)的參數(shù)區(qū)間時(shí)，系統(tǒng)卻可能出現(xiàn)由混沌到周期為的轉(zhuǎn)變（如圖4）。

當(dāng)yb的取值位于不連續(xù)分段線(xiàn)性映象出現(xiàn)周期吸引子的區(qū)域時(shí)，耦合映象格子出現(xiàn)兩種典型圖象：空間振幅變化圖中的扭結(jié)反扭結(jié)圖形與輪換圖形。所謂扭結(jié)反紐結(jié)圖形是指在同一個(gè)時(shí)間步中，空間被分割為不同的區(qū)域（如圖3a中的平直區(qū)間）。同一區(qū)域中各個(gè)格點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)變量相同，處于相同的狀態(tài)。而相鄰區(qū)域的格點(diǎn)處于兩個(gè)不同的狀態(tài)。圖3（a）是映象參量yb=0.9，格點(diǎn)間的耦合強(qiáng)度D=0.3時(shí)的空間振幅變化圖，此時(shí)單映象通過(guò)分岔圖可以觀察為周期二狀態(tài)，狀態(tài)值為0.14和0.84的兩個(gè)狀態(tài)。通過(guò)圖3（a）可以觀察到，在此耦合強(qiáng)度下，系統(tǒng)中的每個(gè)格點(diǎn)也處于周期二狀態(tài)，但是整個(gè)空間被劃分為若干的子空間，同一個(gè)子空間中的格點(diǎn)同步于相同狀態(tài)，且都位于單映象的兩個(gè)狀態(tài)值附近。與此同時(shí)，位于兩個(gè)相鄰子空間的交界區(qū)域的格點(diǎn)出現(xiàn)了新的周期二狀態(tài)。這種結(jié)構(gòu)中空間的分割是由初始條件的不同所造成的。在此文中，選擇隨機(jī)初始條件。所謂輪換圖形是指，對(duì)同一個(gè)時(shí)刻，各子空間所在的狀態(tài)隨單映象的時(shí)間順序依次排列。以圖3（b）為例，當(dāng)yb=0.9，格點(diǎn)間的耦合強(qiáng)度D=0.109737時(shí)的空間振幅變化圖，此參量單映象表現(xiàn)為周期四的狀態(tài)，狀態(tài)值依次為：0.15、0.35、0.46和0.88.圖3（b）中，依次出現(xiàn)為刪除過(guò)渡過(guò)程后的連續(xù)四個(gè)時(shí)刻的空間振幅變化圖。系統(tǒng)的全部格點(diǎn)此時(shí)也都處于周期四?？梢园l(fā)現(xiàn)，每一時(shí)刻系統(tǒng)空間都被劃分為四個(gè)子空間，每個(gè)子空間中的格點(diǎn)都同步于一個(gè)狀態(tài)，并且相鄰空間在時(shí)間上只相差一個(gè)時(shí)刻。所以每個(gè)時(shí)刻形成了類(lèi)似階梯的形狀。

通過(guò)改變耦合強(qiáng)度，可以發(fā)現(xiàn)在局部耦合不連續(xù)分段線(xiàn)性映象格子中，對(duì)于同一組參數(shù)（yb與D），紐結(jié)出現(xiàn)的具體位置由初始條件決定。這與金子邦彥以L(fǎng)ogistics映象的研究結(jié)果相似［3］。除此之外，平直區(qū)的寬度隨著耦合強(qiáng)度的增加而增大。直至所有格點(diǎn)被一個(gè)子空間吞并，達(dá)到完全同步。但這種增加只限制在一定耦合強(qiáng)度的區(qū)間，當(dāng)D≥0.67時(shí)，系統(tǒng)就會(huì)無(wú)法保持所有格點(diǎn)都為周期四行為，出現(xiàn)了較為復(fù)雜的圖形——完全發(fā)展湍流模式（如圖3（c）。隨著耦合強(qiáng)度的增加，周期為四的格點(diǎn)越來(lái)越少，直到周期為四格點(diǎn)全部消失。

圖4空間振幅變化圖，為了觀察到精細(xì)結(jié)構(gòu)，只繪制第60到第80格點(diǎn)的區(qū)域

當(dāng)yb參數(shù)的取值位于不連續(xù)分段線(xiàn)性映象出現(xiàn)混沌吸引子的區(qū)域時(shí)，依然可以觀察到扭結(jié)——反扭結(jié)圖案，但隨著耦合強(qiáng)度D的變化格點(diǎn)的變化較為劇烈。當(dāng)yb=0.7，D=0.101時(shí)（如圖4（a），系統(tǒng)表現(xiàn)為缺陷混沌擴(kuò)散模式，當(dāng)yb=0.7，D= 0.12時(shí)（如圖4（b），系統(tǒng)表現(xiàn)為空間周期二行為，時(shí)間上也是周期二。

圖4

若做出圖4（b）中的任意一步的空間振幅變化圖，但將奇格點(diǎn)與偶格點(diǎn)用兩種不同的圖標(biāo)標(biāo)注。就可以觀察到類(lèi)反鐵結(jié)構(gòu)。所謂類(lèi)反鐵磁結(jié)構(gòu)是指，在同一區(qū)間中，處在一種狀態(tài)的偶格點(diǎn)數(shù)與處在另一狀態(tài)的奇格點(diǎn)數(shù)相同而在空間振幅變化圖中所產(chǎn)生的圖形結(jié)構(gòu)（如圖5所示）。

三、結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)對(duì)耦合分段線(xiàn)性不連續(xù)映象的研究，發(fā)現(xiàn)了在空間振幅變化圖中存在扭結(jié)與反扭結(jié)圖形、輪換圖形以及反鐵磁結(jié)構(gòu)；通過(guò)二維投影圖，觀察了系統(tǒng)由周期向混沌轉(zhuǎn)變，并且通過(guò)最大李雅普諾夫指數(shù)譜定量的分近了這一過(guò)程。本文只是對(duì)耦合分段線(xiàn)性不連續(xù)映象格子所進(jìn)行的最基本的研究，隨后的工作可以就產(chǎn)生這些圖形的內(nèi)在機(jī)理進(jìn)行深入研究。

圖5

參考文獻(xiàn)

［1］Frisch，U.，Hasslacher B.，Pomeau Y. Lattice-gas automata for the Navier-Stokes equation［J］.Phys. Rev. Lett.，1986，56（14）：1505-1508.

［2］Kaneko Kunihiko. Similarity structure and scaling property of the period-adding phenomena［J］. Prog. Theor. Phys.，1983，69（2）：403-414.

［3］Kaneko Kunihiko. Period-doubling of kink-antikink patterns，quasi-periodicity in Antiferro-like structures and spatial intermit tency in coupled map lattices---toward a prelude to a ``field theory of chaos"［J］. Prog. Theor. Phys.，1984，72（3）：480-486.

［4］Kapral Raymond. Pattern formation in two-dimensional arrays of coupled，discrete-time oscillators［J］.Phys. Rev. A，1985，31（6）：3868-3979.

中圖分類(lèi)號(hào)：G642

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：2096-000X（2016）10-0255-03

作者簡(jiǎn)介：杜偉偉（1984-），男，漢，陜西省寶雞市，新疆工程學(xué)院基礎(chǔ)教研部，碩士，助教，研究方向：理論物理。