景慧麗（火箭軍工程大學理學院，陜西西安710025）

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函數(shù)的導數(shù)易錯題分析研究*

景慧麗
（火箭軍工程大學理學院，陜西西安710025）

摘要：函數(shù)導數(shù)的計算是微積分學中的一個重點，大部分學員在求函數(shù)的導數(shù)時經(jīng)常出錯。本文分析了學員在求導數(shù)過程中經(jīng)常出現(xiàn)的錯誤，歸納了錯誤類型，并且就每種錯誤類型給出了相應(yīng)的例題、錯誤解法，重點分析了錯解原因，最后給出了正確解法和注意事項。

關(guān)鍵詞：導數(shù)；易錯題；分析

Abstract:Calculating the functional derivative is one of the most important concepts of the calculus. But most of the students often make mistakes when calculating the functional derivative. The error that students have in the process of problem solving is concluded in this paper. Furthermore，corresponding examples of each type of error are given，and the wrong solution is analyzed，and the correct solution and some matters needing attention are discussed.

Keywords:derivative；easy wrong topic；analysis.

導數(shù)是微積分學中最基本的概念也是最重要的概念之一，相應(yīng)地，求函數(shù)的導數(shù)也是微積分學中的重點和難點。求函數(shù)的導數(shù)常用的方法有：利用導數(shù)的定義、利用四則運算求導法則、利用復合函數(shù)求導法則等等，每種方法都有自己的使用條件和適用范圍。但是，作者在教學中發(fā)現(xiàn)，大部分學員尤其是初學者，遇到求導數(shù)的題目，不管是否滿足條件就直接利用運算法則來計算，有時結(jié)果盡管“碰巧”正確，但求解方法卻是錯誤的。為了幫助學員掌握函數(shù)導數(shù)的求法，并能熟練、正確地求函數(shù)的導數(shù)，作者結(jié)合教學實踐就學員在解題過程中經(jīng)常出現(xiàn)的錯誤進行了分析，歸納了學員解題過程中所出現(xiàn)的錯誤類型，分析了出錯的原因，并給出了正確解法。常見的錯誤主要有以下幾種。

一、在應(yīng)用導數(shù)的定義式時常犯的錯誤

例1.設(shè)f'（x0）存在，求極限

［錯解分析］上述解法錯在

注1上述解法出錯的根本原因是不理解導數(shù)定義式的實質(zhì)。函數(shù)f（x）在點x0處的導數(shù)f'（x0）的定義式中必有f（x0）這一項，如果沒有這一項，絕對不是f'（x0）的定義。另外，從定義式中可以看出f（x）在點x0處的導數(shù)f'（x0）是否存在以及f'（x0）的值的大小都與f（x）在點x0處的函數(shù)值f（x0）有關(guān)［1］。

注2由f'（x0）存在可以得到極限存在，但是，絕對不能由極限存在，得到f'（x0）存在，此時f'（x0）也可能不存在，例如函數(shù)f（x）=|x|在x=0處就屬于這種情況，具體解題過程不再贅述。

二、求函數(shù)在一點的導數(shù)時常犯的錯誤

求函數(shù)在一點處的導數(shù)通常有兩種方法：方法一是直接利用導數(shù)的定義來求，方法二是先求出導函數(shù)再代值。但是，大部分同學經(jīng)常是看到這類題目會不假思索地應(yīng)用方法二，導致錯誤。

例2［2］.設(shè)f（x）=（x-a）φ（x），其中φ（x）在x=a處連續(xù)，求f'（a）。

［錯解］因為f'（x）=φ（x）+（x-a）φ'（x），所以f'（a）=φ（a）+（a-a）φ' （a）。

［錯解分析］上述結(jié)果正確，但是解題方法是錯誤的，即步驟“f'（x）=φ（x）+（x-a）φ'（x）”是錯誤的。因為題目只說φ（x）在點x=a處連續(xù)，沒說其可導，所以φ'（x）是否存在是不知道的，當然由于φ（x）是抽象函數(shù)，其可導性也是不能判斷的，因此f'（x）也不一定存在，所以上述解法是錯誤的。

［正確解法］本題只能用導數(shù)的定義來求，即

注3求抽象函數(shù)在連續(xù)點處的導數(shù)必須用導數(shù)的定義求。

注4利用導數(shù)的定義求函數(shù)在一點的導數(shù)是一種常用的方法，即便是初等函數(shù)，有時候為了求解方便，也需要用定義來求導。例如，設(shè)f（x）=x（x+1）（x+2）…（x+2015），顯然利用乘積求導法則求f'（0）是比較麻煩的，但是利用導數(shù)的定義求f'（0）是非常簡便的，這里具體解題步驟不再贅述。

三、求分段函數(shù)在分段點處的導數(shù)時常犯的錯誤

求分段函數(shù)在分段點處的導數(shù)是一個難點也是重點。一般地，求分段函數(shù)在分段點處的導數(shù)都需要應(yīng)用導數(shù)的定義來求，但是在教學中筆者發(fā)現(xiàn)，大部分學員還是掌握不了這類題目的求解方法，遇到這類題目就“隨心所欲”，想怎么做就怎么做，經(jīng)常出錯。

例3［1］.設(shè)。

且f'（x）在x=0處無定義，所以f'（0）不存在。

［錯解分析］上述解法錯在錯用了先求導函數(shù)再代值這個方法來求函數(shù)在一點的導數(shù)值。當函數(shù)f（x）在點x0處可導，即f'（x0）存在，并且導函數(shù)f'（x）在點x0處有定義時，要求f'（x0），可以先求出導函數(shù)f'（x），再把點x0代入。但是絕對不能由f'（x）在點x0處沒有定義，得出f'（x0）不存在的結(jié)論，f'（x0）也有可能存在，此時必須用導數(shù)的定義來判斷。因此本解法是錯誤的。［正確解法］本題只能用導數(shù)的定義來求，即

注5分段函數(shù)在分段點處的導數(shù)一般需要用定義來求，如果在分段點的左右兩側(cè)函數(shù)的表達式不一樣，還需要求左、右導數(shù)，如例3如果改為，則需要分別求出左導數(shù)f'（0）和右導數(shù)（0），再判斷f'（0）是否存在。

注6例3只是學員在求分段函數(shù)在分段點處的導數(shù)時出現(xiàn)的錯誤之一，其實學員在解這類題目時還經(jīng)常犯例4中所出現(xiàn)的3類錯誤。

例4［3］.設(shè)，求f′（1）。

當x>1時，f'（x）=（x2）'=2x，所以f'（1）=2，

綜上，f'（1）=2。

所以，f'（1）=2。

［錯解分析］錯解1錯誤的原因是這種解法是沒有理論依據(jù)的，是毫無意義的，該解法是學員“隨心所欲”地“創(chuàng)造”出來的，但是這種錯誤解法也是學員經(jīng)常所出現(xiàn)的。

所以，f'（1）不存在。

注7分段函數(shù)在分段點處的導數(shù)最好用定義來求，盡管也可以利用導函數(shù)極限定理來求，但是需要判斷函數(shù)是否滿足定理的條件，這個過程有時也是比較麻煩的，所以不建議大家利用導函數(shù)極限定理來求段函數(shù)在分段點處的導數(shù)。

四、求參數(shù)方程所確定的函數(shù)的高階導數(shù)時常犯的錯誤

例5［5］.設(shè)函數(shù)y=y（x）由所確定，求。

［錯解分析］上述解法錯在“（y'）'=（tant）'”這一步。因為函數(shù)的自變量是x，而不是t，且二階導是一階導再對x求導，而不是對t求導，因此上述解法所以是錯誤的。其實，上述解法中是等于（tant）'的。

［正確解法］

以上就是學員們在求函數(shù)的導數(shù)時經(jīng)常出現(xiàn)的錯誤，其實只要學員真正理解了導數(shù)的概念，掌握了求導數(shù)的各種方法的本質(zhì)及使用范圍和技巧，上述錯誤是完全可以避免的。當然，教員也應(yīng)允許學員在學習過程中出錯，學員對概念理解有偏差、解題過程出現(xiàn)錯誤都是正常的，都是符合實際情況的。另外，教員也要正確看待這些“錯題”資源，這些資源都是非常寶貴的教學資源，心理學家蓋耶曾說過：“誰不考慮嘗試錯誤，不允許學生犯錯誤，就將錯過最富成效的學習時刻。”［6］所以，在教學中，教員要主動挖掘?qū)W員“錯題”中的“閃光點”，及時進行探究、分析和講評，這不但可以為學員創(chuàng)造新的學習機會，而且還可以培養(yǎng)學員的問題意識［7］，培養(yǎng)和提高學員發(fā)現(xiàn)問題的能力。

參考文獻

［1］馬知恩，王綿森.高等數(shù)學疑難問題選講［M］.第一版.北京：高等教育出版社，2014：77-80.

［2］陳文燈，武海燕，李冬紅.高等數(shù)學復習指導-思路、方法與技巧［M］.第二版.北京：清華大學出版社，2011：103.

［3］同濟大學應(yīng)用數(shù)學系.高等數(shù)學（上）［M］.第七版.北京：高等教育出版社，2014：83.

［4］華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析（上）［M］.第三版.北京：高等教育出版社，2002：122.

［5］高等學校工科數(shù)學課程教學指導委員會本科組.高等數(shù)學釋疑解難［M］.第一版.北京：高等教育出版社，1992：48.

［6］錢怡杰.基于錯題的高三基礎(chǔ)會計教學探究［J］.經(jīng)營管理者，2015，2：372-373.

［7］景慧麗.第二類曲面積分易錯題分析研究［J］.商丘職業(yè)技術(shù)學院學報，2015，5：4-8.

中圖分類號：O172

文獻標志碼：A

文章編號：2096-000X（2016）10-0260-03

*基金項目：火箭軍工程大學2015年度教育教學立項課題（項目編號：EPGC2015008）

作者簡介：景慧麗（1983-），女，漢族，河南平頂山人，碩士，講師，研究方向：大學數(shù)學教育，最優(yōu)化理論與應(yīng)用。