邵秀芹,趙德剛
(山東省聊城市第一中學(xué),山東聊城 252059)
最近,很多老師、同學(xué)或者家長都注意到這樣一個問題:高中數(shù)學(xué)成績不好的學(xué)生,即使在高中物理上學(xué)習(xí)非常努力,物理成績也提高甚微。還有一些同學(xué),高中數(shù)學(xué)成績也可以,但是因為不能靈活地將高中數(shù)學(xué)知識運用到物理問題中來,所以解決物理問題的方法也不多,而那些善于運用數(shù)學(xué)方法來分析解決高中物理問題的同學(xué)卻學(xué)得輕松自如。那么,高中數(shù)學(xué)和高中物理在內(nèi)容上有哪些結(jié)合點呢?這里,我們重點介紹三角函數(shù)、不等式、極值、微積分在高中物理中的應(yīng)用。當(dāng)然,許多函數(shù)、幾何知識、數(shù)列等知識在高中物理中都有非常重要的應(yīng)用,在此限于篇幅,不一一贅述。
高中物理問題很多都涉及矢量,而矢量的運算遵循三角形法則,所以三角知識在高中物理問題中的應(yīng)用非常廣泛。比如:設(shè)一條河寬為,水流速度為,船在靜水中的速度為,那么怎樣渡河時間最短,最短時間是多少?
如圖所示,設(shè)船頭斜向上游與河對岸所成角度為,這時船速與y方向的分量為,而渡河所需時間為。由此可以看出,當(dāng)v與l 一定時,隨著的增大而減小;當(dāng)時,即船頭與河岸垂直時,渡河時間最短。
這說明,力學(xué)中的力的合成分解等都需要三角知識來解決。如果三角知識掌握得好,并將其靈活地運用到物理問題中來,解決物理問題會非常得心應(yīng)手。
在高中物理問題中,不等式也有自己的用武之地。例如下面是一個完全非彈性碰撞中能量損失最大化的問題。這個問題完全可以通過球碰撞前后能量的比較進(jìn)行解決,方法是利用不等式知識進(jìn)行直接求解。比如:如下圖所示,有一個帶正電小球,其質(zhì)量為m=0.01kg,帶電量大小為將其置于光滑水平面上的A點,當(dāng)空間存在著斜向上的勻強(qiáng)磁場時,該小球從靜止開始,始終沿著水平面做勻加速直線運動;當(dāng)小球運動至B點時,可以測量到小球的速度為而此時小球的位移為m,求這個勻強(qiáng)電場取值的范圍。
分析:為了使小球一直沿著水平面進(jìn)行移動,電場力在豎直方向上的分力需要不大于重力,即:,所以有
極值方法在高中物理中的應(yīng)用非常廣泛,下面我們將通過一個常見的例子進(jìn)行說明:質(zhì)量為m的小球靜止停放在光滑的 弧形軌道的點A上,圓弧軌道的半徑為R,現(xiàn)在小球從點A開始運動,則這個小球從點A運動到點B的過程中,重力對小球做功的最大功率是多少?
問題分析:設(shè)小球從A點由靜止并釋放并運動到C點時的速度為v,根據(jù)機(jī)械能守恒定律
重力對小球做功的功率為
由上二式得
此時可以用極值法求的的最大值。令,則
要想使得最大,只需使得y最大。將兩端同時取四次方,得
利用,且當(dāng)且僅當(dāng)時取得最大值。
導(dǎo)數(shù)和積分作為高中數(shù)學(xué)的兩個重要內(nèi)容,是新課改以后出現(xiàn)的新內(nèi)容。這兩個內(nèi)容在高中數(shù)學(xué)教材中出現(xiàn)已逾十年。而正因為導(dǎo)數(shù)在高中物理中的應(yīng)用的廣泛性,使得高中學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)知識理解很多物理知識。比如:某物體做直線運動,位移對時間的變化規(guī)律為:,求物體運動的加速度和初始速度各是多少?
問題分析:由速度和導(dǎo)數(shù)的定義有
而初速度是t=0時刻的速度,將t=0代入上式得,而。
微積分思想也經(jīng)常進(jìn)行功率計算。功是一個基本的物理量,能量轉(zhuǎn)化中經(jīng)常能看到功率的身影。而正如我們所熟知,功是能量轉(zhuǎn)化的一個量度。在實際應(yīng)用中,我們經(jīng)常會遇到變力做功的問題,或者是場力對連續(xù)介質(zhì)做功的問題。我們通常采用這樣的處理方法:首先是將力做功的過程或?qū)ο蠓纸獬蔁o數(shù)微元,然后計算出各元功后再求和,一般來說,這一個求和過程經(jīng)常需要依賴積分的計算。
通過上述分析我們知道,微積分思想在解決高中物理問題中的作用非常明顯。比如瞬時速度、瞬時加速度、瞬時電流、電磁感應(yīng)中的電磁感應(yīng)勢等問題。這種情況普遍存在于電學(xué)、力學(xué)以及一些綜合性問題中。因此在物理教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)微積分知識的滲透,在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該加入一些物理背景,使得物理知識和數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)相得益彰。
當(dāng)然,在解決物理問題中,用到的數(shù)學(xué)知識還有很多,由于篇幅所限,這里不再一一贅述。很多物理學(xué)家都是數(shù)學(xué)家。正是由于物理中提出的許多問題,使得物理學(xué)家們想到提出新的數(shù)學(xué)方法去解決它們。從某種意義上講,物理問題的解決是數(shù)學(xué)發(fā)展的源泉和動力所在。
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