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大壩結構靜動力分析的精細化模型

2016-07-04 07:04林皋龐林
地震研究 2016年1期

林皋 龐林

摘要:闡述近期大連理工大學抗震研究所在大壩抗震分析方面所取得的研究成果,為了提高大壩結構靜動力分析的計算精度與效率,提出多邊形單元的計算技術與奇異應力場計算方法,該方法使應力計算成果較有限元法有很大的改進,且計算工作量比較節(jié)省。

關鍵詞:靜動力分析;多邊形單元;奇異應力場

中圖分類號:TU45 文獻標識碼:A 文章編號:1000-0666(2016)01-0001-09

0 前言

大壩結構的安全對城市抗震防災有重要影響。2008年5月12日發(fā)生的汶川8.0級特大地震對位于成都市西北60km岷江上游的紫坪鋪大壩造成了一定的地震損傷,威脅到成都市的安全。吉林市的安全與豐滿大壩的安全息息相關,密云水庫、官廳水庫的安全也對北京市的安全產(chǎn)生一定影響。研究城市防災需要關注周邊大壩的安全設防。

新中國成立以來,特別是改革開放以來,我國水利水電建設迅速發(fā)展。進入21世紀,世界大壩建設中心已經(jīng)轉向中國。一大批世界級的高壩已經(jīng)或正在中國大地上興建,壩高屢破世界紀錄,其成就舉世矚目。我國地處世界兩大活躍地震帶——環(huán)太平洋地震帶和歐亞地震帶的交匯地段,地震活動頻繁。為適應地震危險區(qū)大壩建設的需要,我國的大壩抗震技術也蓬勃發(fā)展,并進入世界先進行列。

自20世紀50年代以來,大連理工大學工程抗震研究所一直根據(jù)我國大壩抗震的需要,致力于研究如何提高大壩抗震分析的水平。大壩抗震的特點在于大壩所處環(huán)境復雜(圖1),參照世界壩工專家Chopra(1992,2008)的意見,大壩抗震的關鍵技術包括壩與庫水的動力相互作用分析,壩與無限地基的動力相互作用分析,筑壩材料的動態(tài)特性及大壩地震損傷發(fā)展與風險分析。在2013年中國工程院舉辦的“中國工程科技論壇——水安全與水利水電可持續(xù)發(fā)展”會議上,林皋(2014)提出了大壩抗震模型的改進意見。關于壩與庫水的動力相互作用分析需要考慮水的可壓縮性以及動水壓力波在水庫邊界的吸收作用,Chopra(2008)采用有限元法(FEM)進行求解,動水壓力按壩的振動模態(tài)展開,計算復雜、難以實際應用。Lin等(2007a,2012a)采用比例邊界有限元法(SBFEM)進行求解,按庫水的模態(tài)進行展開,計算簡便、精度高、便于實際應用。關于壩與無限地基的動力相互作用,由于計算模型比較復雜,文獻中一般都將無限地基簡化為均質地基進行考慮,難以反映實際情況。我們將無限地基分為層狀分布、分塊不均質和近場雜亂不規(guī)則等幾種類型,分別提出了不同的計算模型(Linet al,2015,2007b;Yin et al,2013),計算結果都具有較好的精度與效率。為了提高壩-庫水-地基系統(tǒng)時域分析的計算精度與效率,Lin等(2012b)提出以等幾何分析方法(isogeometric a-nalysis,簡稱IGA)代替FEM來進行壩的應力分析,并將IGA與SBFEM相結合來進行壩與庫水和壩與無限地基的動力相互作用分析。關于壩材料的動力特性方面,混凝土是速率敏感性材料。自從第一顆原子彈1945年在日本廣島爆炸以后,為了防衛(wèi)核爆炸造成的災難,許多國家都加強了混凝土材料抗擊核沖擊的研究。但這種研究偏重單調(diào)瞬時沖擊,而且抗壓性能居多,抗拉性能偏少。地震荷載的特點是不規(guī)則的循環(huán)往復,而且加載速率也偏低。為此,我們開展了2000多試件混凝土在地震作用下的動態(tài)特性的研究,取得了一批有價值的成果(Yan,Lin,2006;Lin et al,2007c)。

筆者認為除了計算模型以外,數(shù)值計算方法也對大壩抗震分析的計算精度與效率產(chǎn)生影響。大壩地震響應分析中,有限元方法的應用比較普遍。有限元法可以適應各種不規(guī)則的幾何邊界條件和分布不規(guī)律的單元材料特性,可以應用于各種類型物理問題的求解,計算能力強,不受問題求解自由度的限制。但有限元法也有其不足之處,其主要采用低階插值函數(shù),連續(xù)性差,應力計算精度低。但在工程設計中應力是對大壩安全性評價的重要依據(jù),所以,有必要尋求更為有效的其它數(shù)值計算方法。根據(jù)我們研究,提出以下計算模型和方法供參考,歡迎批評指正。

1 多邊形單元技術

多邊形單元(PE-Polygon Element)不是一個新概念,但經(jīng)過澳大利亞新南威爾士大學(UN-SW)宋崇民教授團隊的發(fā)展,建立在SBFEM基礎上的多邊形單元已經(jīng)成為與FEM一樣具有廣泛適應性的網(wǎng)格離散技術,對數(shù)值計算具有強大的功能。PE可稱為廣義的FE。

大連理工大學發(fā)展了PE技術在結構靜動力分析中的應用,主要工作為:(1)單元細化與連續(xù)性升階可以只在PE的邊界上進行,不改變網(wǎng)格的拓樸結構,使應力計算精度顯著提高,但計算工作量則很節(jié)約;(2)將PE與曲線邊界相結合,既可構造純直線邊的PE,也可構造曲線邊的PE,或直線邊與曲線邊相結合的PE;(3)將PE應用于結構的奇異應力場分析,可以達到很高的計算精度。

多邊形單元按SBFEM進行建模(圖2)。單元域內(nèi)選擇一點0作為比例相似中心,其要求是從0點可以看見邊界上各點,或0點可與邊界上任意點用直線連接,沒有障礙。單元各邊上可以任意劃分子單元和結點,數(shù)目不限。如圖2所示,PE為六邊形,每邊可以只劃分一個子單元,每個子單元含3個結點,則具有2階精度。AB邊也可以劃分2個子單元,每個子單元各3個結點共5個結點,這就相當于網(wǎng)格加密。各子單元用SBFEM進行建模,由于SBFEM為半解析方法,從0點至邊界AM上任意點相連的射線上,變量具有解析解,這就使PE計算域具有很高的連續(xù)性,使應力計算達到很高的計算精度。

含有曲線邊的多邊形單元如圖3所示。這時,含曲線邊AF的子單元1e按等幾何分析(IGA)建模,采用非均勻有理B樣條(NURBS)作為插值基函數(shù),即使在很粗網(wǎng)格的條件下也可以準確地描述幾何外形。IGA充分利用了NURBS的優(yōu)點,可以在保持幾何外形不變的條件下方便地進行網(wǎng)格細分,提升插值的階次,提高計算的精度,所以很適于曲線形結構的建模。NURBS基函數(shù)由控制點進行描述,不具有插值性。圖3中BE、CD、DE各邊相應的子單元由SBFEM進行建模,AB、EF邊相對應的兩個子單元2e和6e按SBFEM建模,但是由于和1#相連需作一定調(diào)整。亦即A點的位移需用控制點1、2、3的位移加以表示,F(xiàn)點的位移需用控制點2、3、4的位移加以表示,這樣就保持了PE單元位移場的連續(xù)性。

PE由域內(nèi)三角形單元形心點連線加周邊三角形單元中點連線構成(圖4),所以建模非常方便。單元便于細分和拼合,如圖5所示。

多邊形單元具有以下特點:(1)適于各種幾何形體的建模,具有高度靈活性;(2)單元具備單位分解性與線性完備性,通過分片檢驗;

(3)可以將網(wǎng)格加密進行單元細化,也可在不改變網(wǎng)格拓撲結構的條件下,在單元各邊上增加結點實現(xiàn)單元細化和連續(xù)性升階;(4)可以方便地進行粗細網(wǎng)格過度,只需在不同網(wǎng)格交界面上增加結點即可(圖6);(5)可以和FE和NuRBS兼容。

2 數(shù)值算例

為了檢驗PE的效果,通過以下算例加以說明。

2.1 厚壁圓筒承受均勻內(nèi)壓作用

本例有解析解。利用對稱性,只取厚壁圓筒的1/4進行離散。假設內(nèi)壓力p=1,徑向與環(huán)向應力只和內(nèi)徑和外徑的比值有關,假設r/R=1/3。將PE與FE(二階單元)的計算結果進行對比,兩種方法的網(wǎng)格劃分如圖7所示。兩種方法計算精度與解析解相比的誤差隨網(wǎng)格結點數(shù)的變化的對比如圖8所示,圖中PE代表直線邊界網(wǎng)格,CPE代表內(nèi)外曲線邊界網(wǎng)格,由圖可見PE的計算優(yōu)越性是明顯的。

2.2 曲線形溢流壩受靜水壓力作用

某工程溢流壩,高H=66m,受靜水壓力作用。壩材料參數(shù)假設為:彈性模量E=36.5GPa;泊松比γ=0.167。采用PE與FE兩種方法對該工程溢流壩進行計算對比。壩體兩種方法網(wǎng)格劃分如圖9所示,廊道部位網(wǎng)格劃分如圖10所示。圖10圖題中p表示單元離散所用的插值階數(shù)。廊道上部曲線邊界的應力分量對比如圖11所示,廊道周邊第一主應力分布如圖12所示。由圖可見,有限元網(wǎng)格即使在廊道角點O附近細分,應力奇異性仍無法反映。

3 異應力場分析

有限元方法無法處理應力奇異性問題。SBFEM由于徑向具有解析解,所以特別有利于處理應力奇異性問題。關鍵是須將應力奇異點設置于相似中心處。但是SBFEM中,通過相似中心的邊界不能進行離散,只能將此邊界上作用的外力或變形轉化為相應的邊界條件,在計算方程中加以體現(xiàn)。我們通過算例來加以說明。

研究壩踵點在水壓力作用下的奇異應力分布。圖13表示PE和FE兩種網(wǎng)格劃分。

圖14表示PE與FE在壩踵點附近的網(wǎng)格形狀和節(jié)點分布。圖15表示各種方法的計算結果。圖中SBFEM相似中心位于域內(nèi),但采用不同的結點數(shù)進行離散。PE為相似中心位于壩踵A點,但采用不同的邊界條件。由圖可見,F(xiàn)EM即使進行網(wǎng)格細分都無法表示奇異應力場的分布,采用SBFEM時,如不將相似中心置于應力奇異點處也難以描述壩踵點附近的奇異應力分布。采用PE方法同時將相似中心置于壩踵點有可能獲得接近奇異應力場分布的結果。這時需通過其它方法求得AB和AC兩邊界面上的位移,以建立相應的AB和AC邊的Dirichlet邊界條件。但處理方式不同所取得的效果也有差別。筆者采用了兩種方式處理。PE1中AB和AC兩邊界均按其它方法計算出的位移建立Dirichlet邊界條件進行計算,而PE2中邊界AC采用已知水壓力建立Neumann邊界條件,AB邊界仍采用其它方法計算的位移建立Dirichlet邊界條件??梢钥闯鯬E2的效果比較好,這是因為AC邊的邊界條件比較準確,同時AC邊上的水壓力也對奇異應力場影響比較大的緣故。因此,為了取得良好的奇異應力場的效果,建立邊界面的準確邊界條件仍然很重要。

動力問題奇異應力場的分析也可采用相同的方法進行處理。圖16~20為地震波作用下壩踵點奇異應力場的分析結果。采用的材料參數(shù)列入表1,為了表示PE的優(yōu)越性,將PE結果與比較準確的IGA的計算結果進行比較。IGA的各級網(wǎng)格均可自動加密,網(wǎng)格采用2階單元。圖18表示奇異應力場分析結果的比較。由圖可見,在距壩踵點水平距離x=1.0m以外,各種網(wǎng)格的計算結果都收斂而且相符性比較好。但距離壩踵點x=0.5m范圍以內(nèi),IGA1-IGA3偏差較大,IGA4結果與本文方法吻合良好,達到收斂要求。圖19為壩踵點的位移與加速度響應時程比較。由于位移不存奇性,與應力結果不同,各網(wǎng)格計算結果相差不大。

4 結語

按比例邊界有限元法(SBFEM)原理建立的多邊形單元(PE)是一種提高應力計算精度的高效數(shù)值方法。多邊形單元可以進一步發(fā)展為多面體單元,即將二維問題發(fā)展到三維問題,具有廣闊的發(fā)展前景。

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