李建波　李志遠(yuǎn)　林皋

摘要：基于積分變換、對偶方程與精細(xì)積分算法求解多層地基任意形狀剛性基礎(chǔ)的動力剛度，構(gòu)建頻域框架內(nèi)的地基動力分析模型，以MATLAB為平臺開發(fā)了相關(guān)軟件。利用子結(jié)構(gòu)法在對某百萬千瓦級大型核電站進(jìn)行了結(jié)構(gòu)一地基相互作用分析，得到了該廠房的樓層反應(yīng)譜。數(shù)值算例驗證了動力剛度算法的準(zhǔn)確性、可行性與工程適用性，對于復(fù)雜層狀地基上的核電抗震設(shè)計具有指導(dǎo)意義。

關(guān)鍵詞：層狀地基；動剛度；核電抗震；樓層反應(yīng)譜

中圖分類號：TU352 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1000-0666（2016）01-0028-06

0 引言

核電以其清潔高效的特點，在我國的能源發(fā)展規(guī)劃中占有重要地位。核電從誕生之初，其安全性就成為了決策層最關(guān)注的問題，核電設(shè)計也一直秉承“保守決策”的原則（孔憲京，林皋，2013）。我國是一個多地震的國家，地震活動頻度高、強(qiáng)度大、次生災(zāi)害多，在核電安全設(shè)計中，抗震安全設(shè)計就顯得尤為重要。另一方面，隨著城市化、工業(yè)化的飛速發(fā)展，促使核電站建設(shè)不得不轉(zhuǎn)向內(nèi)陸地區(qū)。內(nèi)陸地區(qū)完整的、穩(wěn)定性好的巖基日益稀缺，大多為復(fù)雜的層狀地基，而且地基的層狀特性對核電結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)有重要影響，求解時應(yīng)加以考慮。但是我國的核電規(guī)范中并沒有明確地給出如何考慮層狀地基動力響應(yīng)的方法。復(fù)雜層狀地基上的核電反應(yīng)分析模型的研究，對于保障核電工程結(jié)構(gòu)的“可靠與安全”有著重要的意義和工程應(yīng)用價值。

地基-結(jié)構(gòu)體系在地震作用下的反應(yīng)計算，基本有兩種方法：直接法和子結(jié)構(gòu)法。直接法是將地基和結(jié)構(gòu)作為一個總的體系進(jìn)行分析，地基和結(jié)構(gòu)之間的相互作用直接包含在計算系統(tǒng)內(nèi)。直接法最大的優(yōu)點是可以在計算模型中考慮實際地基的復(fù)雜情況及其非線性性質(zhì)。直接法的缺點在于必須截取有限的部分進(jìn)行分析，邊界的引進(jìn)會造成實際上不存在的波的反射。這使得采用直接法需要復(fù)雜的邊界處理，在保證精度的同時需要耗費大量的計算時間和費用。

子結(jié)構(gòu)法將總的地基一結(jié)構(gòu)體系分解為幾個子結(jié)構(gòu)體系，對各個子結(jié)構(gòu)在頻域中進(jìn)行求解，根據(jù)子結(jié)構(gòu)之間邊界面的相容條件，將子結(jié)構(gòu)組裝成完整體系，得到總的地震反應(yīng)。本文采用子結(jié)構(gòu)法，將體系分成復(fù)雜層狀地基和上部結(jié)構(gòu)兩部分（蔣通，田治見宏，2009）。上部結(jié)構(gòu)可以通過有限元進(jìn)行模擬，這樣問題的關(guān)鍵就變成了求解復(fù)雜層狀地基的動力剛度。

Reissner（1936）利用彈性波動理論，對機(jī)械基礎(chǔ)動力響應(yīng)做了求解，首先提出了無限地基的動阻抗的求法。隨后，Luco和Westmann（1971），Luco和Apsel（1983），Veletsos和Wei（1971）利用積分方程得出了剛性圓盤在豎直、水平作用力和轉(zhuǎn)動、扭轉(zhuǎn)力矩作用下的解析解。這些學(xué)者在理論上進(jìn)行了分析，但是很難應(yīng)用到實際工程中。近些年許多學(xué)者針對層狀地基動剛度的計算提出了一些有效的計算模型和求解方法（Park，Kau-sel，2004），但往往在精度和效率兩方面不能兼得。

Lin等（2013）提出了一種高精度的混合變量法，該方法對于層狀地基有廣泛的適用性，且數(shù)值求解穩(wěn)定。混合變量法基于層狀地基動力方程的積分變換，結(jié)合精細(xì)積分算法、對偶波動方程和有限元方法，適用于求解復(fù)雜層狀地基上明置或埋置基礎(chǔ)動力剛度矩陣，應(yīng)力-位移關(guān)系被表示成對偶形式，采用Zhong等（2004）提出的精細(xì)積分方法求解，可以達(dá)到任意理想的精度。通過混合變量法得到層狀地基的動力剛度，利用子結(jié)構(gòu)法可將無限地基的動力剛度加到上部結(jié)構(gòu)的動力分析中，這樣可以建立頻域內(nèi)層狀地基上的核電結(jié)構(gòu)的動力分析模型。本文首先簡要回顧混合變量法，列舉典型算例對混合變量法進(jìn)行驗證。其次，以某百萬千瓦的核電站為研究對象，采用有限元的模型進(jìn)行動力學(xué)模型模擬。最后通過子結(jié)構(gòu)法將地基動力剛度加到結(jié)構(gòu)剛度上，得到總體的剛度，最后得到關(guān)鍵點的加速度反應(yīng)譜。本文提供的頻域內(nèi)的層狀地基上的核電站的分析模型，對于復(fù)雜層狀地基上的核電抗震設(shè)計具有指導(dǎo)意義。

1 混合變量計算層狀地基動剛度

為了充分地利用位移和作用的對稱性（Woff，1985），本文選擇建立圓柱坐標(biāo)系。位移函數(shù)沿r向做Hankl展開，在環(huán)向做傅里葉展開，對位移函數(shù)轉(zhuǎn)化得到的頻域一波數(shù)域進(jìn)行處理。同時，在地表采用圓形微元建立層狀地基的格林影響函數(shù)，可使問題得到簡化。圓柱坐標(biāo)系下波動方程的表達(dá)式如下：式中，θ_t為體積應(yīng)變；ω^'_r、ω^'₂和ω^'_z為位移的轉(zhuǎn)動分量。對于層狀地基頻率一空間域內(nèi)的動力響應(yīng)分析，一種較好的途徑就是將Hankel變換到頻率-波數(shù)內(nèi)。頻率-波數(shù)域和頻率-空間域之間的Hankel變換定義為利用Hankel正變換可以得到層狀地基頻率波數(shù)域內(nèi)的波動方程統(tǒng)一形式為其中系數(shù)矩陣由層狀地基的材料屬性確定。利用精細(xì)積分算法求解方程（3），可以得到頻率一波數(shù)域內(nèi)層狀地基內(nèi)部點的格林函數(shù)，在柱坐標(biāo)系下利用Hankel反變換即可得到頻率空間域內(nèi)圓形均布荷載作用下的格林函數(shù)：其中，θ為接受點和激勵點水平面上的夾角；P_i和△r分別為圓形均布荷載的幅值和半徑；F_ij（0，k，z，ω）為頻率-波數(shù)域內(nèi)層狀地基內(nèi)部點的格林函數(shù)。

定義[H_p]為荷載在笛卡爾坐標(biāo)系和圓柱坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)換函數(shù)，[N]為轉(zhuǎn)換函數(shù)，F(xiàn)_u為計算得到的格林影響函數(shù)。將任意形狀剛性基礎(chǔ)與地基的交界面離散化為一系列圓形微元，利用頻率一空間域的格林影響函數(shù)建立其平動與轉(zhuǎn)動動力剛度的矩陣方程：

2 層狀地基-結(jié)構(gòu)動力相互作用分析

定義結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)的位移{U_o（ω）}，上部結(jié)構(gòu)絕對位移{U_b（ω）}和作用在基礎(chǔ)底板的激振力{F_s（ω）}。則上部結(jié)構(gòu)的運動方程可寫為：式中，{S_ij（ω）}為基礎(chǔ)和上部結(jié)構(gòu)的動力剛度矩陣，腳標(biāo)o，b分別表示基礎(chǔ)和上部結(jié)構(gòu)，腳標(biāo)s表示接觸面。在自由場運動作用下無質(zhì)量基礎(chǔ)的反應(yīng)，工程上一般稱為基礎(chǔ)的輸入運動。求解驅(qū)動力可以看成是先求解在地震波入射下為使基礎(chǔ)不發(fā)生運動需要施加的廣義約束，然后計算在解除約束后基礎(chǔ)的運動。[K（ω）]為地基的動力剛度矩陣，設(shè)廣義約束為{F^*_f（ω）}，則基礎(chǔ)位移可表示為求解上述方程即可得到頻域中的基礎(chǔ)反應(yīng){U_o（ω）}和上部結(jié)構(gòu)的反應(yīng){U_b（ω）}。

3 剛性方形基礎(chǔ)置于層狀半無限彈性地基動剛度

將邊長為2b×2b的剛性方形基礎(chǔ)置于層狀半無限地基之上。均質(zhì)半無限地基之上是厚度為b的彈性薄層。底部半無限地基和彈性層剪切波速之比取為C_SR/C_SL=1.25，密度比為ρ_R和ρ_L=1.13，泊松比均為0.33，兩者材料阻尼比分別取為0.05和0.03。計算得到的水平、豎直、搖擺和扭轉(zhuǎn)動力剛度矩陣系數(shù)按照公式（9）轉(zhuǎn)化為無量綱阻抗函數(shù)的形式，其實部（Re）和虛部（Im）的值見圖1。將求得的計算結(jié)果與wong和Luco（1985）根據(jù)積分方程求解的格林函數(shù)計算獲得的結(jié)果進(jìn)行對比。由圖1可見，基于混合變量求得的結(jié)果與wong和Luco（1985）的結(jié)果吻合得很好，只在高頻段有微小的差別，表明該算法可以取得十分精確的結(jié)果。

4 復(fù)雜層狀地基上某百萬千瓦級核電站樓層反應(yīng)譜

4.1 多層場地的動力剛度

場地上部結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)為寬度為50m，長度為60m的矩形。地基共包含5層不同的材料。每一層的材料屬性及層厚見表1。通過混合變量法，計算得到剛性基礎(chǔ)的水平、豎直、搖擺向和轉(zhuǎn)動向的動力剛度（圖2）。

4.2 反應(yīng)譜對比

在計算過程中采用的地震波的加速度時程曲線見圖3。輸入位置為基巖底部。分別計算3種不同計算模型的加速反應(yīng)譜。本文給出關(guān)鍵點處的反應(yīng)譜，反應(yīng)譜對比見圖4。

5 結(jié)論與討論

本文基于層狀地基的混合變量的精細(xì)化算法，得到了層狀地基的動力剛度矩陣。通過與wong和Luco（1985）得出的計算結(jié)果對比，可以驗證混合變量法的準(zhǔn)確性?；旌献兞糠椒ㄅc邊界元傳遞矩陣算法等相比，對任意各向同性層狀地基具有廣泛的適用性，對地基的厚度、彈性地基材料屬性沒有任何限制；此算法基于矩陣數(shù)值計算，數(shù)值求解穩(wěn)定。利用子結(jié)構(gòu)法，將復(fù)雜的層狀地基的動力剛度與核電上部結(jié)構(gòu)的剛度合成總動剛度，分成3種不同的連接方式，并得到了上部結(jié)構(gòu)的加速度反應(yīng)譜。本文建議的頻域內(nèi)的核電廠房分析模型，可以考慮層狀地基對結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的影響，這對保障核電工程結(jié)構(gòu)的“可靠與安全”具有重要的理論意義和工程應(yīng)用價值。