代德全 盤如春

【摘要】中學(xué)數(shù)學(xué)研究的對象可分為數(shù)和形兩大部分，數(shù)與形是有聯(lián)系的，這個(gè)聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合，或形數(shù)結(jié)合.一方面，借助于圖形的性質(zhì)可以將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡單化，給人以直覺的啟示.另一方面，將圖形問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，以獲得精確的結(jié)論.筆者從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)多年，下面就談?wù)勎覍?shù)形結(jié)合思想的一些見解.

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；高中教學(xué)；實(shí)例應(yīng)用

【基金項(xiàng)目】本文為重慶市教育學(xué)會(huì)第八屆（2015-2017年）基礎(chǔ)教育科研立項(xiàng)課題（重點(diǎn)課題）“高中數(shù)學(xué)教學(xué)中問題呈現(xiàn)的直觀化對學(xué)生思維的影響”（課題批準(zhǔn)號(hào)：XH2015A15）系列論文之一.

一、“數(shù)形結(jié)合”思想方法概述

（一）數(shù)形結(jié)合思想方法

中學(xué)數(shù)學(xué)研究的對象是現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系（數(shù)）和空間形式（形），數(shù)是數(shù)量關(guān)系的體現(xiàn)，而形則是空間形式的體現(xiàn).“數(shù)”與“形”常依一定的條件相互聯(lián)系，抽象的數(shù)量關(guān)系有形象和直觀的幾何意義，而直觀的圖形性質(zhì)也常用數(shù)量關(guān)系加以精確描述.那么“數(shù)形結(jié)合”就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)與形本是相倚依，焉能分作兩邊飛，數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休，切莫忘幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫分離.”這首小詩形象、生動(dòng)、深刻的指明了數(shù)形結(jié)合的價(jià)值，也揭示了數(shù)形結(jié)合的本質(zhì).

（二）數(shù)形結(jié)合思想的價(jià)值

數(shù)形結(jié)合這種思維方法的應(yīng)用，有助于我們解決許多問題，同時(shí)加深我們對數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，使數(shù)學(xué)更具有創(chuàng)造性.

通過數(shù)形結(jié)合，首先是我們對幾何圖形性質(zhì)的討論更廣泛、更深入了，研究的對象也更寬泛，方法更一般化了.其次是為代數(shù)問題提供了幾何直觀.由于代數(shù)借用了幾何的術(shù)語，運(yùn)用了與幾何類比而獲得新的生命力，如線性代數(shù)正是借用了幾何學(xué)中的空間、線性等概念，用類比的方法把自己充實(shí)起來而迅速發(fā)展的.代數(shù)方法便于精細(xì)計(jì)算，幾何圖形直觀形象，數(shù)形結(jié)合、相互促進(jìn)，使我們加深了對數(shù)量關(guān)系與空間形式的認(rèn)識(shí).數(shù)形結(jié)合把點(diǎn)與數(shù)、曲線與方程之間建立一一對應(yīng)的思考方法，啟發(fā)我們將方程視為點(diǎn)，把某類函數(shù)的全體視作空間.形成了一種聯(lián)想的思維方式，拓展了我們思維的廣度與深度.

（三）“數(shù)形結(jié)合”思想方法在中學(xué)教學(xué)中的地位

1.從新課程對“四基”的要求來看數(shù)形結(jié)合思想

四基是基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).教師應(yīng)幫助學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想方法、掌握知識(shí)與技能，積累經(jīng)驗(yàn).數(shù)學(xué)知識(shí)之間是相互聯(lián)系的，數(shù)學(xué)核心概念、基本思想始終貫穿于中學(xué)教學(xué).由于數(shù)學(xué)高度抽象性，新課標(biāo)把數(shù)形結(jié)合思想作為中學(xué)數(shù)學(xué)的重要思想.

2.從新課標(biāo)對思維能力的要求來看數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想能幫助學(xué)生思維意識(shí)的提升.通過數(shù)形有機(jī)結(jié)合，把形象思維與抽象思維有機(jī)地結(jié)合，讓學(xué)生抽象思維具體化，初步形成辯證思維能力，同時(shí)幫助學(xué)生多角度、多層次思考問題.

3.從新課標(biāo)數(shù)學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)來看數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)學(xué)過于抽象、過于形式化、過于符號(hào)化給人產(chǎn)生遙遠(yuǎn)的距離感.再加上它曲折奧妙的邏輯推理造成學(xué)生認(rèn)知上的特殊難度.可是通過數(shù)形結(jié)合思想可以形象直觀的揭示問題的本質(zhì)，減輕學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān)，引發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣.

4.從教與學(xué)的現(xiàn)狀來看數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想方法已深入中學(xué)解題功能，但在實(shí)際教育中還未真正落實(shí)到位，主要表現(xiàn)在數(shù)形結(jié)合思想方法的教育目標(biāo)不夠明確，課堂教學(xué)隨意性，盲目性大，而計(jì)劃性、系統(tǒng)性、有序性、層次性、過程性則顯得不足.造成學(xué)生用數(shù)形結(jié)合思想方法來分析解決問題能力太差.因此，在教學(xué)中如何充分發(fā)揮數(shù)形結(jié)合思想的作用，重視數(shù)形結(jié)合方法的運(yùn)用，是一個(gè)值得研究的課題.

二、數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的體現(xiàn)

在高中數(shù)學(xué)教材中，許多數(shù)式與方程都有幾何意義，許多圖形又都可以用數(shù)式與方程表示，這種對應(yīng)關(guān)系是相互聯(lián)系密不可分的.如：

（1）實(shí)數(shù)對（a，b）與平面內(nèi)的點(diǎn)（a，b）對應(yīng).

（2）方程y=kx+b的幾何意義是直角坐標(biāo)平面上的一條直線，其中數(shù)k的幾何意義是斜率，即直線傾斜角的正切值；數(shù)b的幾何意義是直線在y軸上的截距.

（3）函數(shù)與圖像的對應(yīng)關(guān)系：如：二次函數(shù)對應(yīng)拋物線；三角函數(shù)對應(yīng)正弦曲線等等.

三、部分案例分析

（一）利用數(shù)形結(jié)合思想解決最值、值域問題

利用數(shù)形結(jié)合思想有時(shí)可以解決一些比較復(fù)雜的最值和值域問題.特別是一些三角函數(shù)的題目.

應(yīng)用數(shù)形結(jié)合解題時(shí)要注意以下兩點(diǎn)：其一數(shù)與形轉(zhuǎn)化的等價(jià)性，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡單、熟知的數(shù)學(xué)問題，轉(zhuǎn)化前后的問題必須是等價(jià)的；其二，利用“數(shù)”的精確性和“形”的直觀性.總之，要讓學(xué)生真正掌握數(shù)形結(jié)合思想的精髓，必須有雄厚的基礎(chǔ)知識(shí)和熟練的基本技巧，如果教師只講解幾個(gè)典型習(xí)題并把學(xué)生講懂了，就認(rèn)為學(xué)生領(lǐng)會(huì)了數(shù)形結(jié)合這一思想方法，是片面的.教師要有做好長期滲透的思想，平時(shí)要求學(xué)生認(rèn)真上好每一堂課，學(xué)好新教材的系統(tǒng)知識(shí)，掌握各種函數(shù)的圖像特點(diǎn)，理解各種幾何圖形的性質(zhì).

【參考文獻(xiàn)】

[1]王后雄.教材完全解讀（人教版）[M].北京：接力出版社，2009-05.

[2]喬家瑞.高中數(shù)學(xué)解題方法與技巧（第一版）[M].北京：首都師范大學(xué)出版社，2008.

[3]朱華偉，錢展望.走進(jìn)教育數(shù)學(xué)：數(shù)學(xué)解題策略[M].北京：科學(xué)出版社，2009-08-01.