王　璐

(浙江省嘉興市第一中學(xué)，314000)

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一道錯(cuò)題引發(fā)的思考

王璐

(浙江省嘉興市第一中學(xué)，314000)

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)，它的基本特點(diǎn)是應(yīng)用的廣泛性、抽象性和嚴(yán)密性(即邏輯嚴(yán)密、結(jié)論精確).作為一線數(shù)學(xué)教師我們發(fā)現(xiàn)每每問及學(xué)生發(fā)生錯(cuò)解、漏解的原因時(shí),他們最常說的一句話是“我想不到啊”.培養(yǎng)學(xué)生“思維嚴(yán)密性”是高中數(shù)學(xué)的基本學(xué)習(xí)目的,也是高考的一個(gè)主要考察方向.它體現(xiàn)在各種各樣的問題中,比較典型的如“分類討論”等,它是檢驗(yàn)學(xué)生“思維嚴(yán)密性”的一個(gè)很好的載體.雖然說培養(yǎng)思維的嚴(yán)密性是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本目的,但是很多學(xué)生終其三年都很難有所領(lǐng)悟,更別說運(yùn)用自如了.

一、因“錯(cuò)”而起

1. 將錯(cuò)就錯(cuò)

筆者在解析幾何的教學(xué)時(shí),在配套學(xué)案中發(fā)現(xiàn)如下一個(gè)題,確切地說是一個(gè)錯(cuò)題:

引例已知點(diǎn)M(-3,0),N(3,0),B(1,0),動(dòng)圓C與直線MN切于點(diǎn)B,過M,N與圓C相切的兩直線相交于點(diǎn)P,則P點(diǎn)的軌跡方程為()

筆者把這道題交給學(xué)生,讓他們當(dāng)堂來解,并要求有解題過程.

筆者進(jìn)一步提問,大家在解題的過程中有沒有發(fā)現(xiàn)什么問題?學(xué)生思考之后有個(gè)別數(shù)學(xué)基礎(chǔ)扎實(shí)的同學(xué)發(fā)現(xiàn)了問題.

2.刨根問底

出現(xiàn)漏解的原因,主要還是對(duì)于本題中直線與圓相切的情況考慮不充分,使其所作出的圖形只反映了其中一種情況而忽略了另外一種可能,其根仍在于“思維嚴(yán)密性”的欠缺.

二、尋根“錯(cuò)結(jié)”

那么，如何才能提高學(xué)生的思維嚴(yán)密性,使他們能比較輕松地應(yīng)對(duì)這樣或那樣的數(shù)學(xué)問題,從而減少錯(cuò)解漏解呢?筆者認(rèn)為，首先要提高學(xué)生對(duì)于所學(xué)知識(shí)的熟悉程度,只有對(duì)非常熟悉的東西我們才有可能考慮到它的方方面面,才有可能實(shí)現(xiàn)“思維的嚴(yán)密性”.其次要對(duì)經(jīng)常出現(xiàn)錯(cuò)漏的原因分類明確,對(duì)于學(xué)生反映出來的各種各樣的錯(cuò)誤進(jìn)行歸類,并組合到自己的教學(xué)中去,讓學(xué)生多見多想,開拓眼界.以下是筆者所作的一些歸納:

1. 部分圖象缺漏

這種情況在引例中已經(jīng)具體闡述過,但是要想防止這一類問題,提高解題嚴(yán)密性,最重要的還是要加強(qiáng)對(duì)于這類“隱秘”問題的常規(guī)訓(xùn)練,讓學(xué)生多見多想才能起到好的效果.我們?cè)俳o出一例.

5月8日，毛澤東再次收到胡喬木當(dāng)天的來信。信中說，韶山公社食堂已由原有的112個(gè)減為6個(gè)，其中5個(gè)不久都將不辦。對(duì)于在短短的3天時(shí)間內(nèi)基本解決全公社的食堂問題，群眾反應(yīng)熱烈的程度難以想像，有的甚至說這是“第二次解放”。預(yù)計(jì)最近即可在湖南全省范圍內(nèi)解決。9日，毛澤東轉(zhuǎn)發(fā)了此信，認(rèn)為很有用［2］489－490。

例1已知函數(shù)f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______.

這個(gè)問題解決的時(shí)候我們經(jīng)常會(huì)考慮函數(shù)f(x)=|x2+3x|與函數(shù)g(x)=a|x-1|公共點(diǎn)個(gè)數(shù),在處理上學(xué)生經(jīng)常會(huì)畫如圖3的圖形.

這時(shí)得到的a的取值范圍為09

2. 定義理解不透

3. 忽略隱含條件

有時(shí)題目中的條件可以反復(fù)運(yùn)用,而往往條件用過一次之后,學(xué)生就不再去細(xì)“挖”,造成結(jié)果出錯(cuò)或者是出現(xiàn)增根.

(*)

忽略了隱含條件,其結(jié)果自然是出現(xiàn)錯(cuò)誤,這也是思維不嚴(yán)密的一種體現(xiàn),因此思考問題時(shí)要盡量細(xì)致嚴(yán)謹(jǐn),注意挖掘隱含條件.

4. 審題草率不清

高中數(shù)學(xué)對(duì)于學(xué)生思維的嚴(yán)密性提出了較高的要求.數(shù)學(xué)思維嚴(yán)密的學(xué)生,對(duì)所學(xué)知識(shí)的本質(zhì)有深刻的理解,對(duì)知識(shí)之間的聯(lián)系有較好的把握,善于全面地分析問題,擺脫固有模式的束縛,最大限度地避免錯(cuò)解、漏解.因此，教師應(yīng)在平時(shí)的教學(xué)中可以有意識(shí)地多收集同類問題并對(duì)學(xué)生的思維加以指導(dǎo),精心設(shè)置問題,靈活變換,從一些簡(jiǎn)單的或者類似的問題入手，讓他們習(xí)慣于在解決問題時(shí)要考慮到問題的方方面面,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)聯(lián)系,培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性.