薛崗 張云春 劉笛 姚紹文

摘要：針對系統(tǒng)多層嵌套式結(jié)構(gòu)范疇模型的動態(tài)行為描述與分析問題，提出一種基于端口自動機的行為表達方法（PAM）。該方法基于系統(tǒng)狀態(tài)、輸入和輸出端口來定義對象和結(jié)構(gòu)上的運算。通過證明發(fā)現(xiàn)：PAM在運算上具有結(jié)構(gòu)保持特征，是一個函子。基于PAM，還就并行、串行和反饋等行為組合，以及應(yīng)用等相關(guān)問題進行了討論和分析，相關(guān)結(jié)論表明PAM可被應(yīng)用于描述或分析具有嵌套式結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)動態(tài)行為。

關(guān)鍵詞：

系統(tǒng)行為表達方法；嵌套式系統(tǒng)結(jié)構(gòu)；端口自動機；范疇論

中圖分類號： TP301.2 文獻標志碼：A

0引言

模塊間相互嵌套的結(jié)構(gòu)是信息系統(tǒng)中最常見的結(jié)構(gòu)之一。在應(yīng)用系統(tǒng)中，為了實現(xiàn)復(fù)雜的功能，具有一定功能的模塊可嵌入并組合到其他模塊中；同樣，組合后的模塊還可被嵌入到更大的外部模塊中。近期，美國麻省理工學(xué)院Spivak等[1-3]使用“對稱多范疇”（symmetric multicategory）來討論自相似對象的嵌套結(jié)構(gòu)以及相關(guān)計算特征。該系列研究的核心思想是：范疇對象間存在“多對一”態(tài)射，當使用集合概念替代范疇對象時，可實現(xiàn)表示內(nèi)部結(jié)構(gòu)的多個集合與一個表示外部結(jié)構(gòu)的集合之間的嵌套組合關(guān)系；而且使用“函子”（functor）可基于結(jié)構(gòu)特征分析出結(jié)構(gòu)上的計算特征。2015年，該方法還被應(yīng)用于“模塊化網(wǎng)絡(luò)”的靜態(tài)結(jié)構(gòu)描述與動態(tài)特性表達上[4]。在該系列研究基礎(chǔ)上，本文基于“端口自動機”建立面向嵌套式結(jié)構(gòu)的行為表達方法PAM，并就該方法相關(guān)理論基礎(chǔ)和應(yīng)用方法等內(nèi)容進行分析和討論。區(qū)別于文獻[4]所闡述方法，本文所提出的PAM方法是一個伴隨域為Sets（對象為集合的對稱多范疇）的函子，本文所提出的PAM方法是一個函子，該函子的伴隨域為：在狀態(tài)集上進行運算的動態(tài)系統(tǒng)，這也說明PAM運算具有結(jié)構(gòu)保持特征，可將結(jié)構(gòu)與集合上的運算相互聯(lián)系起來。

1相關(guān)技術(shù)基礎(chǔ)

“范疇”概念來源于范疇論（Category Theory）[5-6]。自20世紀80年代開始，范疇論被廣泛應(yīng)用于開發(fā)邏輯系統(tǒng)、構(gòu)建編程語言的數(shù)學(xué)語義[7]、分析自動機[8]和并發(fā)模型[9]等計算機科學(xué)領(lǐng)域。在國內(nèi)，早在1989年，文獻[10]就范疇論應(yīng)用于計算機科學(xué)的相關(guān)問題進行了討論。另外，文獻[11]利用范疇定義構(gòu)件之間的關(guān)系；文獻[12]基于范疇定義構(gòu)件行為組合，并將該方法應(yīng)用于實現(xiàn)復(fù)雜的業(yè)務(wù)功能等。

范疇在定義上包含4個基本組成[5-6]：對象集、態(tài)射集、恒等態(tài)射和組合；范疇運算必須滿足兩個規(guī)則：恒等律和結(jié)合律。其中，對象是范疇的組成單元，對象由元素構(gòu)成；態(tài)射（morphism，用箭頭表示）是對象間的對應(yīng)關(guān)系；恒等態(tài)射（identity morphism， id）是對象與其自身的對應(yīng)關(guān)系；組合（composition，運算符為“”）支持將多個態(tài)射連接形成新態(tài)射。另外，范疇論使用函子來揭示兩個范疇之間的對應(yīng)關(guān)系，其定義涉及到兩個部分：對象和態(tài)射，函子所涉及運算必須滿足兩個規(guī)則：恒等保持和組合保持[5-6]。

范疇可被實例化，例如集合范疇Set就是一個實例化范疇。Set中的對象為集合，態(tài)射為集合上的函數(shù)[1]。當Set中的對象被限定為有限集合時，所形成的范疇為有限集合范疇，使用Fin表示；Fin是Set的全子范疇[1]。

1.1對稱多范疇

定義1對稱多范疇[1]。設(shè)對稱多范疇為M，其定義包含4個基本組成：a）對象，b）態(tài)射，c）恒等態(tài)射，d）態(tài)射組合。范疇中的運算必須滿足兩個規(guī)則：a）結(jié)合率，b）恒等率。

1）4個基本組成。

a）對稱多范疇中的對象集合為Ob（M）。集合中的元素是范疇中的對象。

b）態(tài)射集合使用Mn（xx-；y）表示，其中：y∈Ob（M），n∈Ob（Fin）是一個有限集合，x：n → Ob（M）是n索引對象集合。Mn（x；y）中的元素為態(tài)射。當態(tài)射φ∈Mn（x；y），則φ：x → y或φ：（x1，x2，…，xn） → y，其中：xi被稱為域?qū)ο?，y被稱為伴隨域?qū)ο蟆?/p>

c）若x∈Ob（M），恒等態(tài)射idx∈M1（x；x）。

d）若s：m → n是Fin中的態(tài)射，對象z∈Ob（M），有限集合m，n∈Ob（Fin），x：m → Ob（M）是m索引對象集合，y：n → Ob（M）是n索引對象集合。若元素i∈n，mi是態(tài)射s對于i的原像，使用xi：=x|mi：mi → Ob（M）表示mi對應(yīng)的x對象集合，則態(tài)射組合為：

：Mn（y；z）×∏i∈nMmi（xi：yi） → Mm（x；z）

2）兩個規(guī)則。

a）運算必須滿足結(jié)合率，相關(guān)形式化定義可參考文獻[1]。

b）對于態(tài)射φ：（x1，x2，…，xn） → y，恒等率表示為：

當對稱多范疇中的對象實例化為集合時，形成范疇Sets[1]。Sets中的對象是集合，態(tài)射是集合間的“多對一”函數(shù)（函數(shù)定義域為多集合，伴隨域為單集合；區(qū)別于Sets，Set中的函數(shù)沒有“多對一”的限制）。

定義2對稱多范疇上的函子[1]。設(shè)M和M′為對稱多范疇，從M到M′的函子F：M → M′定義包含兩種運算：a）對象上的運算，b）態(tài)射上的運算。所有運算必須滿足：a）恒等保持規(guī)則，b）組合保持規(guī)則。

基于對稱多范疇上的函子可定義對稱多范疇上的代數(shù)運算[1]，例如：C是對稱多范疇M上的運算，則C：M → Sets。

1.2系統(tǒng)的嵌套式結(jié)構(gòu)

當以外部觀察為依據(jù)，一個系統(tǒng)模塊可被視為一個黑盒。黑盒與外部通過“端口”來進行交互，端口是交互發(fā)生的位置，交互的內(nèi)容是信息?；凇邦愋图稀盵4]，一個模塊黑盒可表示成為：

X=（（Xin，τin），（Xout，τout））

其中：Xin為輸入端口集，Xout輸出端口集，端口集滿足Xin，Xout∈Ob（Fin）；τ為端口類型函數(shù)，該函數(shù)用于獲得端口上交互信息的類型。對任意端口集P，類型函數(shù)的定義是τ：P → Ob（Set）。端口集P上可交互信息[4]表示為：

其中：p為P中的端口，τ（p）為p上的信息類型，（P，τ）為整個端口集上可交互的信息類型。

性質(zhì)1[4]設(shè)f：（P，τ） → （P′，τ′）為兩個類型端口集上的態(tài)射，則 f-：（P′，τ′） → （P，τ）。

對嵌套結(jié)構(gòu)，若X表示內(nèi)層結(jié)構(gòu)，Y表示外層結(jié)構(gòu)，則d：X → Y表示X與Y之間的嵌套關(guān)系。結(jié)構(gòu)d中內(nèi)外層次上端口間的對應(yīng)關(guān)系必修滿足：

規(guī)則1[4]若使用φ=（φin，φout）表示單層嵌套結(jié)構(gòu)端口映射規(guī)則，其中，φin：Xin → Yin∪Xout，φout：Yout → Xout。

這里，φout規(guī)定外層結(jié)構(gòu)的輸出端口必須與內(nèi)層結(jié)構(gòu)上的部分輸出接口相對應(yīng)；φin規(guī)定內(nèi)層結(jié)構(gòu)的輸入端口必須與部分外層結(jié)構(gòu)的輸入端口，以及部分內(nèi)層結(jié)構(gòu)的部分輸出端口相對應(yīng)。

基于上述說明，設(shè)范疇NS是描述系統(tǒng)嵌套結(jié)構(gòu)的對稱多范疇[3-4]，則該范疇包含以下技術(shù)特征。

1）范疇中的對象集合為Ob（NS），設(shè)X為端口集合，則：X=（（Xin，τin），（Xout，τout））∈Ob（NS）；

2）范疇中的態(tài)射集合為NSn（x；y）；其中，n為自然數(shù)，若d∈NSn（x；y），則d：（X1，X2，…，Xn） → y為單層嵌套結(jié)構(gòu)，而且端口映射滿足規(guī)則1，態(tài)射d中（X1，X2，…，Xn）為n索引對象集x，且X1，X2，…，Xn，Y∈Ob（NS）。

3）恒等態(tài)射為NS1（x；x），即idX：（X） → X。

4）當X，Y，Z∈Ob（NS），若存在結(jié)構(gòu)d：X → Y，以及d′：Y → Z，則兩層嵌套結(jié)構(gòu)為：d′d：X → Z。

5）組合運算必須滿足結(jié)合率，當存在多層嵌套結(jié)構(gòu)：d″d′d，則（d″d′）d=d″（d′d），即：整體嵌套結(jié)構(gòu)與系統(tǒng)組成時的嵌套順序無關(guān)。

6）態(tài)射運算滿足恒等率。

圖1中使用矩形表示了三個對象：P、Q和C。P對象和Q對象構(gòu)成內(nèi)層結(jié)構(gòu)X：=P∪Q；外層結(jié)構(gòu)為對象C，定義Y：=C。使用d：X → Y表示圖中嵌套關(guān)系，結(jié)構(gòu)中各層次所包含端口間的連線表示了不同對象上端口之間的對應(yīng)關(guān)系。具體而言，Y結(jié)構(gòu)的o端口對應(yīng)X結(jié)構(gòu)的q3端口（形成φout規(guī)則）；X結(jié)構(gòu)的q1端口對應(yīng)于p2端口，且p1和q2端口對應(yīng)Y結(jié)構(gòu)的i1和i2端口（形成φin規(guī)則）。通過性質(zhì)1可知：q3端口上的輸出決定o端口上的輸出；端口i1和i2上的輸入，以及p2端口的輸出決定p1、q2和q1端口的輸入。

1.3端口自動機

在NS范疇所描述的結(jié)構(gòu)上，使用函子可定義相關(guān)代數(shù)運算。這樣的運算本質(zhì)上是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)上動態(tài)特征的表現(xiàn)。為了揭示這樣的特征，本文使用“端口自動機”來定義系統(tǒng)行為。

端口自動機[13]是一種Moore機模型，可用于表達抽象系統(tǒng)的行為。該模型以外部觀察為基礎(chǔ)，把系統(tǒng)與外界交互端口作為行為考察的對象。定義上，端口自動機是一個七元組[13]：（P，Q，q0，X，Y，T，O）；其中，P為端口集合，Q為狀態(tài)集合，q0為初始狀態(tài)，X為端口上的輸入值集合，Y為端口上的輸出值集合，T為輸入變遷函數(shù)，O為輸出狀態(tài)函數(shù)。

2嵌套式結(jié)構(gòu)上的行為

基于端口自動機[13]和文獻[4]所闡述方法，本文定義NS范疇對象上的行為為：

定義3NS中對象上的行為。對于對象X∈Ob（NS），其行為表示為：

PAM（X）：={（S，（fin， fout））|S∈Ob（Set）， fin：Xin×S → S， fout：S → Xout}

其中：S為對象狀態(tài)集； fin為輸入函數(shù)；Xin是輸入數(shù)據(jù)集； fout為輸出函數(shù)；Xout是輸出數(shù)據(jù)集。 fin說明對象根據(jù)輸入信息更新系統(tǒng)狀態(tài)； fout說明對象根據(jù)當前狀態(tài)進行輸出。若f=（fin， fout），則PAM（X）可表示為：（S， f）。

當系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中包含兩個并行對象X和Y，表示為X∪Y，運算為PAM（X∪Y）：=（SX×SY， fX×fY）。另外，根據(jù)定義3可知：PAM運算中的輸入和輸出操作為“確定的”，即任何操作的結(jié)果唯一。

定義4NS中態(tài)射上的行為。當X，Y∈Ob（NS），對于態(tài)射d：X → Y，φ=（φin，φout）是對象之間端口映射規(guī)則φin：Xin → Yin∪Xout，φout：Yout → Xout。若內(nèi)層對象行為PAM（X） ：=（S， f），則d上的行為定義為：

PAM（d）：=（S，g）

其中S為嵌套結(jié)構(gòu)上的狀態(tài)集，該集合由內(nèi)層系統(tǒng)的狀態(tài)集決定，運行時S不允許被改變。另外，g=（gin，gout），其中，gin為d上的輸入函數(shù)，gout為d上的輸出函數(shù)。

對于結(jié)構(gòu)d上映射規(guī)則φ，基于性質(zhì)1可獲得：

φout：Xout → Yout，φin：Yin∪Xout → Xin

其中：Yin∪Xout使用Yin×Xout進行計算。

性質(zhì)2定義4中，若s∈S，y∈Yin，則gin和gout為：

gout（s）=φout（fout（s））

gin（y，s）=fin（φin（y， fout（s）），s）

證明對于gout，從圖2（a）可獲得相關(guān)結(jié)論。根據(jù)映射規(guī)則φ，外層輸出端口Yout與內(nèi)層輸出端口Xout相連，φout說明信息從X流向Y，為了實現(xiàn)φout，需要經(jīng)過fout計算產(chǎn)生X的輸出。

對于gin：式子gin（y，s）=fin（φin（y， fout（s）），s）可從圖2（b）部分獲得。由于嵌套結(jié)構(gòu)的狀態(tài)集合與內(nèi)層系統(tǒng)狀態(tài)集合相同，根據(jù)φ，內(nèi)層輸入端口Xin對應(yīng)于：Xout和Yin。為了獲得Xout首先需要進行fout運算，而Yin為外部直接輸入。通過Xout與Yin可獲得內(nèi)層系統(tǒng)的輸入Xin（由φin說明）。經(jīng)過計算fin，系統(tǒng)狀態(tài)根據(jù)輸入被更新。

因此，性質(zhì)2成立。

NS范疇中對象和態(tài)射可進行PAM運算：若X是一個對象，則運算為PAM（X）；若態(tài)射d：X → Y，則運算為PAM（d）。由于范疇中的態(tài)射可組合，基于定義3和定義4，若PAM運算滿足組合運算，則PAM是一個函子。

作者修改了性質(zhì)3

性質(zhì)3PAM是對稱多范疇NS上的一個函子，該函子的計算結(jié)果是在指定狀態(tài)集上進行運算的動態(tài)系統(tǒng)。

性質(zhì)3PAM是從對稱多范疇NS到Sets的一個函子，即PAM：NS → Sets。

證明

1）對象上的運算如本文定義3所述。

2）態(tài)射上的運算如本文定義4所述。

3）恒等保持方面，若idX：（X） → X，則：

PAM（idX）：PAM（X） → PAM（X）=id（PAM（X））

4）組合保持方面，設(shè)：

5）最后，PAM運算的結(jié)果是集合，且運算f和g是“多對一”函數(shù)。所以，PAM的伴隨域是Sets。

綜上所述，PAM：NS → Sets是一個函子。

性質(zhì)3說明：1）本文所構(gòu)建的PAM運算是一個伴隨域為Sets的函子，運算具有結(jié)構(gòu)保持特征。

綜上所述，PAM可在NS范疇的對象和態(tài)射上進行運算，而且運算具有結(jié)構(gòu)保持特征，因此，PAM是一個函子，其伴隨域為指定狀態(tài)集上進行運算的動態(tài)系統(tǒng)。

性質(zhì)3說明：1）本文所構(gòu)建的PAM一個函子，可揭示結(jié)嵌套式系統(tǒng)結(jié)構(gòu)上的輸入和輸出行為，以及相關(guān)的系統(tǒng)狀態(tài)變化情況。

2）區(qū)別于文獻[4]所闡述方法，PAM可直接以端口自動機方式來表達嵌套結(jié)構(gòu)上的行為。

3行為的組合

使用NS范疇所建立的結(jié)構(gòu)模型可從局部和整體兩個方面來進行理解。局部上，同一層次結(jié)構(gòu)上可存在多個模塊，這些模塊相互交互、彼此組合形成一個工作單元，共同實現(xiàn)所在層次的行為。整體上，嵌套結(jié)構(gòu)可涉及多個層次；外部結(jié)構(gòu)的行為通過其內(nèi)部結(jié)構(gòu)的行為來實現(xiàn)，內(nèi)部結(jié)構(gòu)的行為再通過其更內(nèi)部的結(jié)構(gòu)行為來實現(xiàn)，以此類推，因此，層次結(jié)構(gòu)上的局部行為是系統(tǒng)整體行為的組成部分。

同層次上模塊間的行為組合可歸納為4種類型[14-15]：重命名、并行組合、串行組合、反饋。4個類型中，當模塊的端口直接與其他端口進行連接時，即可實現(xiàn)所謂“重命名”。舉例來說，設(shè)某模塊具有端口p，該端口與外部端口q連接，則p上傳輸?shù)男畔嶋H上也是q上傳輸?shù)男畔?；p和q之間的連接結(jié)構(gòu)就是一種“重命名”實現(xiàn)。本部分后續(xù)內(nèi)容將對其他3種行為的組合情況進行討論。

3.1并行組合

同一層次中，多個并行工作模塊間如果不存在信息交互時，它們的行為相互獨立。以圖4所表示的結(jié)構(gòu)為例，該圖中包含3個對象：A、B和E，配置為：

內(nèi)層結(jié)構(gòu)由行為相互獨立的A和B組成，外層結(jié)構(gòu)為E。設(shè)X：=A∪B，Y：=E，則：

Xin={q1，p1}，Xout={q2，p2}，Yin={i1，i2}，Yout={o1，o2}

使用p：X → Y表示結(jié)構(gòu)嵌套，根據(jù)定義4指定端口映射規(guī)則：

φinp：Xin → Yin，φoutp：Yout → Xout

圖4中X和Y之間的端口映射情況已通過連線進行表示，例如：E的輸入端口i1與A中的輸入端口q1相連，E的輸出端口o2與B中的輸出端口p2相連等。端口間交互情況為：

3.2串行組合

當同一層次中的模塊間存在信息交互時，它們的行為之間會產(chǎn)生依賴。以圖5所表示的結(jié)構(gòu)為例，該圖中包含3個對象：C、D和E此處是否應(yīng)該是E'？請明確?；貜?fù)： 關(guān)于注釋中的問題處是E，不是E‘。謝謝您。

，配置為：

3.3反饋

對于反饋，以圖6表示的結(jié)構(gòu)為例，使用F表示可反饋的模塊，使用E″作為外部環(huán)境，配置為：

4應(yīng)用示例

實際應(yīng)用中，首先根據(jù)需求設(shè)計模塊結(jié)構(gòu)，基于NS范疇描述結(jié)構(gòu)；然后基于PAM來分析模塊的工作情況。

示例1設(shè)兩個傳感器：測距模塊、電機編碼器，其中電機編碼器用于檢測電機的轉(zhuǎn)速。兩個模塊的基本狀態(tài)及狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況總結(jié)在表1中。對于測距模塊，存在兩個狀態(tài)（s0為預(yù)備態(tài)，s1為測距態(tài)），輸出為測試結(jié)果d（d為實數(shù)，使用-1.0表示無讀數(shù)），輸入包含兩個命令（measure和reset）。對于電機編碼器，存在兩個狀態(tài)（s′0為預(yù)備態(tài)，s′1為讀數(shù)態(tài)），輸出為測試結(jié)果v（v為整數(shù)，使用0表示無讀數(shù)），輸入包含兩個命令（read和reset′）。

示例2當需要利用伺服電機來控制測距模塊的朝向時，可設(shè)計一個驅(qū)動模塊實現(xiàn)兩個功能：1）驅(qū)動伺服電機旋轉(zhuǎn)；2）啟動測距模塊進行測距。驅(qū)動模塊基本狀態(tài)及狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況總結(jié)在表2中。該模塊有兩個基本狀態(tài)（b為預(yù)備態(tài)，t為轉(zhuǎn)向態(tài)），輸出包含兩個命令（measure和reset），輸入為轉(zhuǎn)向角度a（a∈{0，1，…，180}，使用0表示預(yù)備）。

基于3.2節(jié)的討論，驅(qū)動模塊首先需要驅(qū)動伺服電機調(diào)整測距模塊的朝向，再啟動獲得距離，因此，輸入命令指定為：{a，0}，其中，a為轉(zhuǎn)動角度。假設(shè)現(xiàn)在需要獲得伺服電機在90°角時測距模塊檢測的距離，輸入命令為{90，0}；若系統(tǒng)當前狀態(tài)為（b，s0），執(zhí)行命令中的第一個值（角度為90°），系統(tǒng)首先獲得D和U狀態(tài)輸出：（reset，-1.0）； fin更新系統(tǒng)狀態(tài)，D模塊驅(qū)動伺服電機旋轉(zhuǎn)90°；同時，由于U模塊執(zhí)行命令（reset），狀態(tài)為s0。再執(zhí)行命令的第2個值（角度為0°），系統(tǒng)獲得當前D和U狀態(tài)輸出：（measure，-1.0）， fin更新系統(tǒng)狀態(tài)，D模塊驅(qū)動伺服電機轉(zhuǎn)角0°；同時，U模塊執(zhí)行命令（measure），系統(tǒng)當前可獲得輸出為實測距離d，因此可見：串聯(lián)的D和U基本可以工作。

5結(jié)語

使用“對稱多范疇”可建立系統(tǒng)多層嵌套式結(jié)構(gòu)的模型。針對這樣的結(jié)構(gòu)模型，本文基于端口自動機提出一種結(jié)構(gòu)上的行為表達方法PAM，該方法在理論上是一個伴隨域為Sets的函子。在PAM支撐下，本文還對并行、串行和反饋等常見組合行為進行了分析和討論。本文首先提出一種基于端口自動機的行為表達方法：PAM，然后總結(jié)了與方法相關(guān)的理論性質(zhì)，最后討論分析了PAM的應(yīng)用方法。

通過本文工作可以看出：PAM方法支持以端口自動機方式揭示嵌套式結(jié)構(gòu)上的動態(tài)行為，因此，該方法可被應(yīng)用于描述或分析嵌套式系統(tǒng)結(jié)構(gòu)上的行為。

未來的工作還可構(gòu)建、討論和分析NS范疇上的其他行為表達方法。

參考文獻：

[1]

SPIVAK D I. The operad of wiring diagrams： formalizing a graphical language for databases， recursion， and plugandplay circuits [EB/OL]. [20151210]. http：//arxiv.org/abs/1305.0297.

[2]

RUPEL D， SPIVAK D I. The operad of temporal wiring diagrams： formalizing a graphical language for discrete time processes [EB/OL]. [20151208]. http：//arxiv.org/abs/1307.6894.

[3]

WISNESKY R， SPIVAK D I， SCHUITZ P， et al. Algebras of open dynamical systems on the operad of wiring diagrams [EB/OL]. [20151207]. http：//arxiv.org/pdf/1408.1598.

[4]

SPIVAK D I. Nesting of dynamic systems and modedependent networks [EB/OL]. [20151205]. http：//arxiv.org/abs/1502.07380.

[5]

LAWVERE F W， SCHANUEL S H. Conceptual Mathematics： A First Introduction to Categories [M]. 2nd ed. Cambridge， UK： Cambridge University Press， 2009： 13-21.

[6]

SIMMONS H. An Introduction to Category Theory [M]. Cambridge， UK： Cambridge University Press， 2011： 1-5.

[7]

SCOTT P J. Handbook of Algebra （Vol. 2） [M]. Amsterdam： Elsevier， 2000： 3-77.

[8]

LYNCH N A， STARK E W. A proof of Kahn principle for input/output automata [J]. Information and Computation， 1989， 82（1）： 81-92.

[9]

SASSON V， NIELSEN M， WINSKEL. G. Models for concurrency： towards a classification [J]. Theoretical Computer Science， 1996， 170（1/2）： 297-348.

[10]

徐家福，費宗銘.范疇論在計算機科學(xué)中的若干應(yīng)用[J].計算機科學(xué)，1989，16，（3）：11-17.（XU J F， FEI Z M. Several applications of category theory in computer science [J]. Computer Science， 1989，16（3）： 11-17.）

[11]

楚旺，錢德沛.以體系結(jié)構(gòu)為中心的構(gòu)件模型的形式化語義[J].軟件學(xué)報，2006，17（6）：1287-1297.（CHU W， QIAN D P. Formal semantic of architecturecentric component model [J]. Journal of Software， 2006， 17（6）： 1287-1297.）

[12]

趙碩，陳中育，肖春水.基于范疇論的構(gòu)件行為組合研究[J].計算機工程，2012，38（15）：53-58.（ZHAO S， CHEN Z Y， XIAO C S. Research on component behavior combination based on category theory [J]. Computer Engineering， 2012， 38（15）： 53-58.）

[13]

STEENSTRUP M， ARBIB M A， MANES E G. Port automata and the algebra of concurrent processes [J]. Journal of Computer and System Sciences， 1983， 27（1）： 29-50.

[14]

STARK E W. Compositional relational semantics for indeterminate dataflow networks [C]// Proceedings of the Sixth International Conference on Category Theory and Computer Science， LNCS 389. Berlin： Springer， 1989： 52-74.

[15]

LEE E A， VINCENTELLIVINCENTELLI A. A framework for comparing models of computation [J]. IEEE Transactions on ComputerAided Design of Integrated Circuits and Systems， 1998， 17（12）： 1217-1229.