劉　陽,高興寶,劉　睿

(陜西師范大學 數(shù)學與信息科學學院,西安 710119)

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一種混合聚類的粒子群差分進化算法*

劉陽,高興寶,劉睿

(陜西師范大學 數(shù)學與信息科學學院,西安 710119)

摘要：針對差分進化算法在運行后期收斂速度慢和容易陷入局部最優(yōu)的不足,提出一種混合聚類的粒子群差分進化算法.利用一步K-均值聚類算法改進粒子群優(yōu)化算法的速度更新,使用線性遞減的選擇概率將改進后的粒子群算法與差分進化算法相融合,并在一定條件下對種群中部分較差個體進行重置.對9個典型測試函數(shù)的數(shù)值試驗和與其他三種進化算法的比較結果表明：所提算法收斂速度快,尋優(yōu)能力強并且魯棒性好.

關鍵詞：K-均值聚類;混合算法;差分進化;粒子群優(yōu)化;種群重置

進化算法(Evolutionary Algorithms,EA)起源于達爾文生物進化理論,通常指模擬自然界生物進化的全局優(yōu)化方法[1].由于解決數(shù)值優(yōu)化問題時,進化算法僅需要目標函數(shù)值,而不要求其解析性質,因此被廣泛應用于科學和工程各種領域[2].

差分進化算法[3](Differential Evolution,DE)和粒子群優(yōu)化算法[4](Particle Swarm Optimization,PSO)是進化算法的主要分支,在不同的優(yōu)化問題中表現(xiàn)出很好的性能,且在許多領域均有廣泛應用[5-6].作為一種簡單而有效的隨機搜索算法,DE算法結構簡單,探索能力強,但由于其基向量選取的隨機性,使算法收斂較慢.而作為模仿鳥類覓食行為的群體智能算法,PSO算法具有易于應用,控制參數(shù)少和收斂速度快的優(yōu)點,但在算法后期容易陷入局部最優(yōu).

為解決DE算法收斂速度慢以及PSO算法容易陷入局部最優(yōu)的問題,研究者對DE算法和PSO算法分別進行了改進[7-8],但單一算法不能有效克服算法自身的缺陷,文獻[9]提出了一種新型混合算法,算法采用雙種群進化,對兩個子種群分別執(zhí)行DE算法和PSO算法,并在子種群之間引入信息交流機制,但該機制只針對子種群中的少數(shù)個體進行,不利于種群進化.文獻[10]通過建立粒子早熟判斷機制,在PSO算法中引入差分進化操作.文獻[11]將差分進化算法的變異,雜交和選擇操作引入到粒子群算法中,使算法性能有所提高.但是利用差分進化算子對粒子群優(yōu)化算法的改進,不能充分發(fā)揮兩種算法各自優(yōu)勢.

為充分發(fā)揮DE算法和PSO算法各自優(yōu)勢,本文設計了一種混合聚類的粒子群差分進化算法.算法運用一步K-均值聚類改進了粒子群優(yōu)化算法的速度公式,對DE算法參數(shù)進行適應性選取;基于優(yōu)勢互補原則,利用線性遞減的選擇概率將DE算法和改進后的PSO算法相融合;在種群多樣性較差時重置種群中部分較差個體.與其它三個進化算法相比,用9個典型測試函數(shù)的數(shù)值結果充分說明了本文算法的有效性.

1標準差分進化算法和粒子群算法

1.1標準差分進化算法

標準差分進化算法[12]以種群為基礎,首先對種群中的每個個體(目標向量)加入差分項實現(xiàn)個體變異產生變異向量,該操作利用種群其它個體信息對當前個體進行擾動,使當前個體朝著好的方向前進;其次對變異向量的每個分量執(zhí)行交叉操作生成試驗向量,以保證產生的試驗向量繼承目標向量和變異向量的優(yōu)良信息;最后,在目標個體和對應的試驗向量之間選出適應度更好的一個進入下一代,保證種群中的個體總是朝著好的方向發(fā)展.標準差分進化算法的步驟如下:

① 初始化操作

設N為種群規(guī)模,G=0為當前種群代數(shù),D為種群維數(shù),初始化種群為Pop=(X1,G,X2,G,…,XN,G),Xi,G=(Xi,1,G,Xi,2,G,…,Xi,D,G)(i=1,2,…,N)表示種群中第i個個體,其分量按下式產生:

Xi,j,G=rand(Xi,j,max-Xi,j,min)+Xi,j,min

(1)

其中Xi,j,max和Xi,j,min分別為種群第i個個體第j個分量的最大值和最小值;

② 變異操作

標準差分進化算法有多種變異操作,本文采用應用最多的DE/rand/1策略,該策略對種群中的每個個體進行變異生成變異向量Vi,G=(Vi,1,G,Vi,2,G,…,Vi,D,G) (i=1,2,…,N),變異方式如下:

Vi,G=Xr1,G+F(Xr2,G-Xr3,G)

(2)

其中r1,r2,r3為在區(qū)間[1,N]上隨機產生的互不相同且不等于i的整數(shù),對每個個體均隨機產生一次,F為權衡不同向量的縮放因子,一般情況下F∈[0,1];

③ 交叉操作

對變異向量Vi,G和目標向量Xi,G的每個分量實施交叉操作生成試驗向量Ui,G=(Ui,1,G,Ui,2,G,…,Ui,D,G) (i=1,2,…,N),常用的交叉操作有:二項式交叉和指數(shù)交叉,本文采用如下的二項式交叉:

(3)

其中jrand是區(qū)間[1,D]上的隨機整數(shù),它使得試驗向量至少繼承了變異向量的一個分量,交叉概率CR是由用戶指定的區(qū)間[0,1)上的常數(shù);

④ 選擇操作

若Ui,G(i=1,2,…,N)的某個分量超出預設界限,則按如下規(guī)則產生新的對應分量:

(4)

然后依照下面的貪婪法則選擇進入下一代的個體:

(5)

即在Xi,G和Ui,G之間選擇目標函數(shù)值更小的進入下一代;

⑤ 若滿足終止條件則停止,否則返回步②.標準差分進化算法具有強大的全局探索能力,能使種群中的個體探索到搜索空間的各個領域,并能有效維護種群多樣性.但由于其基向量選取的隨機性,使其比粒子群優(yōu)化算法而言收斂速度慢,不能充分開發(fā)優(yōu)勢個體.

1.2粒子群優(yōu)化算法

在粒子群算法[13]中,一個群體包含D維搜索空間中飛行的N個粒子,第t代第i個粒子Xi,t=(Xi,1,t,Xi,2,t,…,Xi,D,t)(i=1,2,…,N)表示優(yōu)化問題的一個候選解,其中Xi,j,t表示第t代群體中第i個個體的第j(j=1,2,…,D)維分量.在搜索過程中,粒子的位置由粒子自身達到的歷史最優(yōu)位置Pi,t=(Pi,1,t,Pi,2,t,…,Pi,D,t)以及截止到目前群體達到的歷史最優(yōu)位置Pg,t=(Pg,1,t,Pg,2,t,…,Pg,D,t)決定.vi,t=(vi,1,t,vi,2,t,…,vi,D,t) (i=1,2,…,N)表示示第t代群體中第i個個體的當前速度,下一代種群中第i個粒子的速度和位置更新公式為

vi,j,t+1=ω·vi,j,t+c1·r1·(Pi,j,t-Xi,j,t)+c2·r2·(Pg,j,t-Xi,j,t)

(6)

Xi,j,t+1=Xi,j,t+vi,j,t+1

(7)

式中：ω為慣性權重；c1和c2分別為認知學習參數(shù)和社會學習參數(shù),通常情況下取c1=c2=2，r1和r2是(0,1)上均勻分布的隨機數(shù).由于大的ω值能促進算法的全局搜索,而小的ω使算法具有良好的局部搜索能力[13],所以一般使用如下的線性遞減慣性權重

ω=ωmax-(ωmax-ωmin)·G/Gmax

(8)

其中ωmax和ωmin分別為慣性權重的最大值和最小值,通常取ωmax=0.9,ωmin=0.4,使PSO算法在運行初期具有優(yōu)良的的全局搜索能力,在運行后期具有良好的局部搜索能力,Gmax為最大迭代次數(shù).

由式(6)可以看出,粒子由個體歷史最優(yōu)和全局歷史最優(yōu)引導飛行,能快速收斂到最優(yōu)點附近.但當種群中的全局歷史最優(yōu)是目標問題的局部最優(yōu)時,種群中所有粒子都會飛行到當前全局歷史最優(yōu)位置的附近區(qū)域,算法陷入局部最優(yōu).

2混合聚類的粒子群差分進化算法

2.1一步K-均值聚類算法

聚類算法[14]能對種群中個體進行分類,使具有相似性質的個體處于一類中.由于聚類算法計算量大,所需計算時間較長,因此本文采用一步K均值聚類算法來獲取種群的關鍵信息,其主要步驟為

① 從當前種群中隨機選取K個個體作為聚類中心:C1,C2,…,CK

② 當下式成立時:

‖Xi-Cj‖=min‖Xi-Cp‖ (j=1,2,…,K,p=1,2,…,K,p≠j)

將種群中的個體Xi(i=1,2,…,N)分配給聚類中心Cj(j=1,2,…,K),其中‖Xi-Cj‖是Xi和Cj之間的歐幾里德距離;

③ 計算新的聚類中心:

(9)

2.2改進的粒子群算法

由1.2節(jié)知,PSO算法容易陷入局部最優(yōu).因此本節(jié)提出基于一步K-均值聚類的粒子群優(yōu)化算法(Clustering-basedParticleSwarmOptimization,CPSO),該算法首先對當前種群采用一步K-均值聚類對種群中個體進行分類,并計算每一類的歷史最優(yōu)位置gk,t(k=1,2,…,K),然后對群體中第i(i=1,2,…,N)個粒子使用如下的速度更新公式

vi,j,t+1=ω·vi,j,t+c1·r1·(Pi,j,t-Xi,j,t)+c2·r2·(gk,j,t-Xi,j,t)

(10)

其中gk,j,t表示粒子所屬聚類k的歷史最優(yōu)位置gk,t的第j個分量.

不像式(6),式(10)使用粒子飛行的歷史最優(yōu)和其所在聚類飛行過的最優(yōu)位置引導粒子速度,能有效避免所有粒子均由全局歷史最優(yōu)引導而產生的早熟收斂,由于聚類算法根據(jù)粒子位置對粒子進行分類,使用K個不同區(qū)域的歷史最優(yōu)個體對種群中的粒子進行引導有助于粒子跳出局部最優(yōu)所在區(qū)域,使粒子更快地收斂到全局最優(yōu).

又考慮到隨著進化的進行,種群中個體趨于一致,此時若繼續(xù)使用聚類算法對種群進行聚類操作會減緩算法收斂,因此當式(11)

fitmax-fitmin

(11)

成立時,采用式(6)更新粒子速度,加快算法的收斂速度.其中fitmax和fitmin分別表示當前種群最大和最小適應度值.

2.3部分種群重置策略

隨著算法的進行,種群多樣性會逐漸降低,種群容易陷入局部最優(yōu),此外種群中較差的個體對種群進化的貢獻比較小,因此考慮對種群較差的部分個體執(zhí)行重置操作,可以達到維持種群的多樣性的目的,并引導種群走出局部最優(yōu).在滿足不等式(11)的前提下,當種群每一代的最優(yōu)值在連續(xù) m代沒有改進時,對種群中較差的λ%的個體,利用下面的算法對該部分個體進行重置,步驟如下:

① 依下式計算每一維度新解的可能范圍:

rj=max(X(best,j)-Xi,j,min,Xi,j,max-

X(best,j))

(12)

式中：rj為新解在第j維元素搜索范圍的半徑；X(best,j)為當前種群中最優(yōu)個體的第j維分量.

② 生成重置個體:

Xi,j=X(best,j)+rj·yj

(13)

其中Xi,j表示重置新解Xi的第j維分量,yi由以下的Logistic映射[15]得到

yj+1=4·yj·(1-yj)

(14)

③ 當Xi,j超出搜索范圍時,使用下式保證新解在搜索范圍內:

Xi,j=Xi,j,min+Xi,j,max-Xi,j

(15)

不同于文獻[16],這里使用混沌映射來重置新個體的原因在于混沌映射具有隨機性、遍歷性和規(guī)律性的特點,使重置個體能夠分散在搜索空間中,達到維持種群多樣性的目的;同時,重置后的個體分散在搜索空間的其他區(qū)域,能幫助陷入局部最優(yōu)的粒子逃離局部最優(yōu),從而快速收斂到全局最優(yōu).

2.4混合粒子群差分進化算法

鑒于DE算法具有良好的全局探索能力,而CPSO算法又有收斂速度快的特點,本文采用自適應選擇概率融合DE算法和CPSO算法.

由于算法交替使用DE和CPSO算法,首先采用粒子群優(yōu)化算法的初始化方式,即初始化Xi,G(個體當前位置)和Pi,G(個體歷史最優(yōu)),以及vi,G(個體當前速度)(i=1,2,…,N);其次使用如下的選擇概率將DE算法和CPSO算法相融合:

p=1-0.5·FES/MaxFES

(16)

其中FES和MaxFES分別為適應度評估次數(shù)和最大適應度評估次數(shù),對當前種群產生(0,1)區(qū)間上均勻分布的隨機數(shù)r,如果r

由于DE算法每一代均在目標向量和試驗向量之間進行貪婪選擇,其當前種群相當于粒子群優(yōu)化算法中的個體歷史最優(yōu)位置集合.使用DE算法時,首先對種群中的每個個體依照下式在給定范圍內隨機選取不同的縮放因子和交叉概率

Fi=Fmin+rand·(Fmax-Fmin)

(17)

CRi=CRmin+rand·(CRmax-CRmin)

(18)

文中算法參考文獻[17]中的取值，即Fmin=0.5,Fmax=0.6,CRmin=0.1,CRmax=0.3,這樣的取值方式有利于保持種群多樣性,減小算法陷入局部最優(yōu)的概率;其次對目標個體Pi,G執(zhí)行變異和交叉操作生成試驗向量Ui,G,則Xi,G=Ui,G,即采用DE算法時,不在Xi,G和其生成的Ui,G之間進行貪婪選擇,而是用生成的Ui,G代替?zhèn)€體當前位置Xi,G,最后對當前個體速度采用下式更新:

vi,G+1=Xi,G+1-Xi,G

(19)

該速度更新公式是受粒子群算法速度更新公式(7)的啟發(fā)得到,為方便下一次使用CPSO算法做準備.

文中算法步驟如下:

① 設置G=0,FES=0,初始化種群當前位置XG,歷史最優(yōu)位置PG,種群飛行速度vG及其他參數(shù);

② 若滿足部分種群重置的條件時,對較差的部分個體按照重置策略進行重置,并計算重置后個體的適應度值,種群中其他較好個體執(zhí)行③,若不滿足重置條件,則對種群中所有個體執(zhí)行③;

③ 根據(jù)式(16)選擇要使用的算法,若隨機數(shù)r

④ 對種群當前個體Pi,G,使用DE算法產生新的個體Xi,G+1,并對每個個體的速度進行更新,轉⑥;

⑤ 對種群當前個體Xi,G,根據(jù)CPSO算法產生vi,G+1和Xi,G+1;

⑥ 計算新生成個體Xi,G+1(i=1,2…,N)的適應度值f(Xi,G+1),若f(Xi,G+1)

⑦ 若適應度評估次數(shù)不超過預設值,轉②,否則輸出最優(yōu)值,算法結束.

3數(shù)值分析

為測試文中算法的性能,本節(jié)對9個具有不同特點的標準測試函數(shù)進行數(shù)值試驗,并與線性遞減慣性權重的粒子群算法(ParticleSwarmOptimizationwithInertiaWeight,PSO-w)[13]、綜合學習的粒子算法(ComprehensiveLearningParticleSwarmOptimization,CLPSO)[8]算法及復合差分進

化算法(CompositeDifferentialEvolution,CoDE)[18]算法進行比較,測試函數(shù)見表1.

在表1所列出的8個測試函數(shù)中,f1～f2為連續(xù)單峰函數(shù),f3是僅有一個最小值的不連續(xù)階梯函數(shù),f4為嘈雜四次函數(shù),f5～f7為多峰函數(shù)[19],其局部極小的個數(shù)隨問題維數(shù)的增長呈指數(shù)增長,f8～f9為低維多峰函數(shù),其維數(shù)見表1.

在所有試驗中,參數(shù)設置如下:本文算法中種群規(guī)模N=30,粒子速度的最大值和最小值分別為搜索范圍上下界的0.2倍,m=15,λ=33,對測試函數(shù)f1～f7,決策變量維數(shù)D=30,f8和f9的維數(shù)如表1數(shù)據(jù)所示.其他算法參數(shù)設置見對應參考文獻,對于所有算法的終止條件均為適應度評估次數(shù)不超過 次,為公平起見,每個測試函數(shù)均獨立運行25次.

表1　標準測試函數(shù)表

表2給出了對比算法和本文算法對標準測試函數(shù)的優(yōu)化結果,其中Average表示運行結果的平均最優(yōu)值,Median表示運行結果的中值,Std表示運行結果的標準差.

由表2可以看出,對測試函數(shù)f3和f8,所有測試函數(shù)在平均值,中值和標準差三方面均達到了最優(yōu)值;對其他測試函數(shù)而言,文中算法的優(yōu)化結果在平均值和中值兩方面均優(yōu)于或等同于其他算法,只有在解決低維多峰函數(shù)f9時標準差略差于CoDE算法;尤其是對多峰函數(shù)f6和f7,文中算法能夠快速找到測試函數(shù)的全局最優(yōu)解,同時標準差也為零,說明文中算法解決多峰問題具優(yōu)良的尋優(yōu)能力，并且穩(wěn)定性更好.

表2　四種算法尋優(yōu)性能比較

為更直觀反映算法的尋優(yōu)性能,圖1～圖4分別給出四種算法對測試函數(shù)f2、f4、f5和f7的優(yōu)化性能曲線.

圖1　函數(shù)f2進化曲線圖

從圖1可以看出,在處理單峰函數(shù)問題時,本文算法具有較快收斂速度;圖2說明本文算法在解決嘈雜問題時,也能以較快的速度收斂到全局最優(yōu)值點附近,圖3表明文中算法與CoDE算法具有同等尋優(yōu)能力，但文中算法優(yōu)于PSO-W和CLPSO，圖4表明本文算法在解決多峰函數(shù)問題時,能有效跳出局部最優(yōu),快速收斂到全局最優(yōu),這是由于在算法初期使用不同區(qū)域的最優(yōu)個體引導種群進化,后期又對種群中較差的個體實施重置操作,維持了種群的多樣性,有效避免算法陷入局部最優(yōu),使算法更快地收斂到全局最優(yōu).

總之,從表1以及圖1～4的仿真結果可以看出,與其他三種先進進化算法相比,本文算法能有效避免早熟收斂,快速收斂到問題的全局最優(yōu),并且魯棒性更好.

圖2　函數(shù)f4進化曲線圖

圖3　函數(shù)f5進化曲線圖

圖4　函數(shù)f7進化曲線圖

4結 論

1) 為解決差分進化算法收斂速度慢和容易陷入局部最優(yōu)的問題,設計了一種混合聚類的粒子群差分進化算法.運用一步K-均值聚類算法改進了粒子群優(yōu)化算法的速度更新,將改進后的粒子群優(yōu)化算法融合到差分進化算法中,在種群多樣性較差時采用部分種群重置策略.

2) 改進后的算法有效發(fā)揮了差分進化算法和粒子群優(yōu)化算法各自的優(yōu)勢,權衡了算法的全局探索能力和局部開發(fā)能力,賦予了種群中個體逃離局部最優(yōu)的能力.

3) 在9個標準測試函數(shù)的數(shù)值仿真結果表明:改進后的算法在解決單峰函數(shù)、嘈雜函數(shù)以及多峰函數(shù)時均表現(xiàn)出良好的性能,算法的收斂速度也大大提高.

參 考 文 獻：

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(責任編輯、校對張立新)

A Hybrid Clustering Particle Swarm and Differential Evolution Algorithm

LIU Yang,GAO Xingbao,LIU Rui

(School of Mathematics and Information Science,Shaanxi Normal University,Xi’an 710062,China)

Abstract:A hybrid differential evolution algorithm is introduced because the basic differential evolution algorithm has disadvantages of low convergence speed and local optimum.Firstly,K-means cluster algrithm was used to modify the velocity updating formula of the particle swarm optimization algorithm.Then the modified particle swarm optimization algorithm was combined with the differential evolution algorithm by means of a linear decreasing selective probability.Finally some individuals with poor performance were reset under certain conditions.Numerical experiments on nine typical benchmark functions illustrate that the proposed algorithm is fast in convergence speed,strong in search ability and good in robustness.

Key words:K-means clusters;hybrid algorithms;differential evolution;particle swarm optimization;population reset

DOI:10.16185/j.jxatu.edu.cn.2016.05.003

收稿日期：2015-10-14

基金資助：國家自然科學基金(61273311;61173094)

作者簡介：劉陽(1990-),女,陜西師范大學碩士研究生. 通訊作者：高興寶(1966-),男,陜西師范大學教授,主要研究方向為最優(yōu)化理論與方法、智能計算、神經網絡等.E-mail:xinbaog@snnu.edu.cn.

文獻標志碼:中圖號：TP301.6A

文章編號：1673-9965(2016)05-0357-08