孫啟柱（云南省曲靖市民族中學(xué)）

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數(shù)學(xué)符號在高中數(shù)學(xué)課堂上的解讀研究

孫啟柱
（云南省曲靖市民族中學(xué)）

摘要：數(shù)學(xué)符號是用以表示數(shù)量關(guān)系的記號，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中具有重要作用。根據(jù)新編教材統(tǒng)計得知，小學(xué)生群體每學(xué)期新增42個數(shù)學(xué)符號，初中生每學(xué)期新增120個數(shù)學(xué)符號，高中生每學(xué)期新增約54個數(shù)學(xué)符號，而這三類學(xué)生群體中，45%的學(xué)生只懂得一個數(shù)學(xué)符號的一種含義，38%的學(xué)生在逐年次的學(xué)習(xí)過程中遺忘了所學(xué)過的數(shù)學(xué)符號，這三類學(xué)生在符號意義獲得能力上經(jīng)統(tǒng)計分析并無顯著性差異。由于學(xué)生年級逐次增長，所接觸的數(shù)學(xué)符號意義越來越抽象，也越來越復(fù)雜，教師在符號教學(xué)中基本都是一筆帶過，導(dǎo)致學(xué)生對數(shù)學(xué)符號意義的掌握情況不理想，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的困難系數(shù)逐年遞增。因此，通過探究數(shù)學(xué)符號的起源、發(fā)展、應(yīng)用歷程，以及數(shù)學(xué)符號在高中數(shù)學(xué)課堂中的解讀方法及其帶來的教學(xué)效益，嘗試建立一種符號與數(shù)學(xué)概念之間的教學(xué)聯(lián)系，從而推動高中數(shù)學(xué)教學(xué)的進一步發(fā)展。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)符號；高中數(shù)學(xué)；教學(xué)；策略

備受青年群體喜愛的韓寒在出版《三重門》和《零下一度》后接受某教育電視臺的采訪，對欄目組記者如是說：將來不從事數(shù)學(xué)研究的孩子，邏輯推理能力練習(xí)到初中二年級的水平就夠了。這種認識后來他也笑稱當(dāng)時年輕胡亂調(diào)侃的話語不足以作為學(xué)習(xí)信條。著名數(shù)學(xué)家華羅庚指出，“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，地球之變，生物之謎，日用之繁”無一能離開數(shù)學(xué)。對數(shù)學(xué)地位如此精辟的概述，可見數(shù)學(xué)傳遞給世界的，除了邏輯推理知識以外，也有其獨特的藝術(shù)魅力。數(shù)學(xué)符號的理解性教學(xué)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，之所以高中年級的學(xué)生對數(shù)學(xué)運算的感知越來越困難，對數(shù)理邏輯系統(tǒng)掌握越來越不熟練，其根源都要追溯到數(shù)學(xué)符號認識的不深刻。重新對數(shù)學(xué)符號內(nèi)容進行“補課”，對學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提升，具有深遠意義。

一、數(shù)學(xué)符號的起源與發(fā)展

“×÷√±≠≡≮≯”是運算符號；“⊥‖∠⌒⊙≡≌△°|a|⊥∽”是幾何符號；“∝∧∨～∫≤≥≈∞”是代數(shù)符號；“∪∩∈Φ?”是集合符號；“Σπ（圓周率）@#※￥ΔΘ∧ΞΟ∏ΣφХΨ”是特殊符號；“←↑→↓↖↗↘↙∵∴：∷”是推理符號。標點符號和其他象征意義的數(shù)理符號就不在此一一列舉了。這些數(shù)學(xué)符號擺在學(xué)生和教師面前，可以肯定的是并非所有學(xué)生都認識它們，并將它們進行科學(xué)正確地歸類。

數(shù)學(xué)符號作為一種語言象征獨立于其他類別的語言符號而存在，它們的出現(xiàn)比數(shù)字要晚得多，人類創(chuàng)造了數(shù)字并付諸實踐，發(fā)現(xiàn)單純的數(shù)字呈現(xiàn)并不能完整意義地說明數(shù)量之間的邏輯關(guān)系。因此，在早期貨物交換過程中，為了表達數(shù)量之間的邏輯關(guān)系，人們不得不一再進行口語化解釋。后來口語現(xiàn)場解釋解決不了異地、非面對面的交易問題，數(shù)學(xué)符號隨著書面文字的發(fā)展就應(yīng)運而生了。如：“+”來源于十六世紀意大利科學(xué)家塔塔里亞的數(shù)理運算，它用意大利文“plu”的首個字母來表示“加”。隨著時代的遷移最終演變?yōu)椤?”的形態(tài)并沿用至今。

二、數(shù)學(xué)符號的應(yīng)用現(xiàn)狀

1.符號記憶不準確

1885年德國心理學(xué)家艾賓浩斯在實驗報告里展示了一張遺忘曲線圖（下圖），一方面它向全世界的教育學(xué)人士闡述了這樣一個觀點：記憶內(nèi)容的保存量隨著時間的推移逐漸遞減，2天之后記憶存儲的內(nèi)容就剩下知識總量的27.8%。艾賓浩斯給追求記憶效果的人們一個提高記憶存儲量的秘訣：重復(fù)。每20分鐘重復(fù)一遍所記憶的內(nèi)容，曲線就會從58.2%的位置再次開始勾勒，依次重復(fù)下去，重復(fù)間隔時間越短，記憶保存量就越高，直到將知識點全部記憶下來為止。

另一方面，細心的符號界人士不難看出，遺忘曲線是一個由文字、符號、數(shù)字、射線、曲線所組合而成的語言表達。橫坐標代表時間（天），縱坐標代表記憶保存比例，基本解讀即記憶保持比例隨時間推移逐步遞減。這就是數(shù)學(xué)符號的文字學(xué)表達。

學(xué)生從6歲以后步入校門，依次接觸小學(xué)、初中、高中數(shù)學(xué)課程，所涉及的常用數(shù)學(xué)符號達到200多種，涵蓋幾何、代數(shù)、運算、推理等不同類別。如此龐大的符號記憶總量，教師在課堂上“蜻蜓點水”式地講解以后，讓學(xué)生自行在習(xí)題中去消化，學(xué)生對符號含義的理解和掌握情況可見一斑了。如：符號Σ表示“連加”，符號∏表示“連乘”，符號∪表示“并”，符號∩表示“補”，符號∈表示“屬于”，學(xué)生對這些基本符號都不認識，在正常習(xí)題練習(xí)當(dāng)中又怎么可能做到“理解題意并正確作答”呢？

2.符號意義不清晰

人類的某個感官系統(tǒng)只能感知某一個物體的部分屬性，并不能感知到整個客觀事物。因此感知者將感知到的部分屬性賦予意義（表象）后貼上刺激物的標簽（記號），此時標簽與意義之間的人為性連接，就成為了符號。

“×÷±”在符號表現(xiàn)之初賦予的意義較為簡單，加上學(xué)生入學(xué)伊始最早接觸的就是這四個運算符號，因此在記憶層面的理解是最為深刻的。那么“∩”和“∪”在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師會發(fā)現(xiàn)經(jīng)常有學(xué)生把它們弄混淆，最后導(dǎo)致題目意思理解相反而做出錯誤答案。完全不認識符號的可能性相對較小，因為這些符號在日常的教學(xué)過程和作業(yè)練習(xí)過程中會經(jīng)常被應(yīng)用到，但在實際答題過程中將符號意義“張冠李戴”的學(xué)生不在少數(shù)。究其原因，在學(xué)習(xí)符號初始，對符號意義“一筆帶過”式的教學(xué)方法和“囫圇吞棗”式的記憶方法，使得學(xué)生后期答題中頻繁出現(xiàn)差錯，影響數(shù)學(xué)考試成績從根本上得到長足地提高。

數(shù)學(xué)符號是用來表意的，代表數(shù)與數(shù)之間的邏輯關(guān)聯(lián)，忽視符號意義的教學(xué)去大篇幅地講解公式計算應(yīng)用，是舍本逐末的表現(xiàn)，對學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)都會帶來不小的障礙。

3.符號應(yīng)用出現(xiàn)偏差

符號形象記憶不準確，意義理解出現(xiàn)遺漏，帶來的必然是符號應(yīng)用上的偏差。如“∴∵”在試題閱卷中經(jīng)常能見到學(xué)生用錯。盡管這種符號應(yīng)用錯誤對解題結(jié)果起不到較大的影響，但嚴謹、規(guī)范化的數(shù)學(xué)語言表達，是每一個數(shù)學(xué)人應(yīng)該以身作則的。

符號應(yīng)用代表一種邏輯推理過程，邏輯清晰，推理明確，試題會做，但因為符號應(yīng)用錯誤帶來答題丟分，是數(shù)學(xué)考試中最不應(yīng)該也是最遺憾的失誤。因此在符號教學(xué)重新被請回課堂以后，教師在符號書寫形象、表達含義、應(yīng)用方式和方法上都應(yīng)該下足功夫。試想因為符號理解錯誤而在高考中丟失兩三分，最終無緣名校，將改寫一個高三學(xué)生今后不一樣的人生。符號學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)推理一樣，只有勤勤懇懇、嚴謹務(wù)實，方能在高考戰(zhàn)場上獨占鰲頭。

三、數(shù)學(xué)符號的課堂解讀

1.把握數(shù)學(xué)符號的本來含義

數(shù)學(xué)教師用自己的符號語言在黑板上做了如下表述：2x+3y+z= 13，不出現(xiàn)一個漢字。學(xué)生問教師：這些符號是什么意思呢？學(xué)生A回答說：這是個和蘋果有關(guān)的故事，甲小孩拿了2個蘋果，乙小孩拿了3個蘋果，丙小孩拿了1個蘋果，一共拿走了13個蘋果。學(xué)生B回答說：這是一個三元一次方程式，已知數(shù)是“2、3、1和13”，x、y、z是這個不定式方程的求解未知數(shù)。學(xué)生C回答說：將x乘以2，將y乘以3，將z乘以1，三者相加的結(jié)果是13，問x、y、z各是多少？

教師笑了笑說：這些符號語言，就是我們用來進行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的工具——數(shù)學(xué)符號。里面的“2、3、1、+、=”都是符號化的數(shù)學(xué)語言。但是三個學(xué)生的理解都是有偏差的，學(xué)生A看到的是語言情境，學(xué)生B看到的是語言形式，只有學(xué)生C看到的才是符號本來的含義。從句式結(jié)構(gòu)上講，學(xué)生B口中的三元一次方程式既不能是陳述句，也不會是感嘆句，而應(yīng)該是疑問句。方程式在沒有正式解答之前都是疑問句。

2.正確運用數(shù)學(xué)符號的答題方法

（1）符文互譯、分解還原法

在高考試卷呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)試題中，經(jīng)常會出現(xiàn)一些新的數(shù)學(xué)符號，由于出現(xiàn)的新符號學(xué)生并沒有見過，直接導(dǎo)致學(xué)生面對這類新題型的時候六神無主，亂了方寸，也因此影響到學(xué)生整個數(shù)學(xué)試卷的答題思路和答題進程。這時候教師需要教會學(xué)生的就是“如何將新出現(xiàn)的數(shù)學(xué)符號翻譯成我們學(xué)過并理解掌握了的原始符號”，這也就是符號的互譯過程，也叫原始符號的分解還原。數(shù)學(xué)線性函數(shù)圖像也是一種符號表達。

如題：要求學(xué)生畫出y=x-2+1的函數(shù)圖像。教師需要引導(dǎo)學(xué)生回憶原始符號表達（函數(shù)原型）y=x的構(gòu)造，接著協(xié)助畫出y=x的圖像，兩者的區(qū)別在于y=x 的取值范圍都是≥0的。將y=x的圖像整體沿x軸平行向右移動2個單位，即得出當(dāng)x=2時，y=x-2的值為0。再將y=x-2的圖像整體沿y軸平行向上移動1個單位，即得出當(dāng)x=2時，y=x-2的值為1的結(jié)果，也就是y=x-2+1的圖像經(jīng)過點（2，1），符合函數(shù)的題設(shè)要求。

通過上述對函數(shù)圖像符號深入淺出的講解，學(xué)生就能通過最原始的函數(shù)圖像畫出題設(shè)要求的函數(shù)圖像了。接著給出y=x+6-12或者y=3x-2+9函數(shù)要求學(xué)生自行作業(yè)繪圖，對學(xué)生而言就要容易解決得多了。這種方法就是將復(fù)雜的題設(shè)還原到最簡單的符號雛形上來，如上題中的y=x-2+1的函數(shù)圖像就是由最基本的函數(shù)原型y=x轉(zhuǎn)換演變而來的。在理解了原型函數(shù)y=x的結(jié)構(gòu)構(gòu)造和符號含義，掌握了圖形變換數(shù)學(xué)規(guī)律的前提下，將數(shù)理推論定律應(yīng)用到實際解題當(dāng)中，就能推導(dǎo)出y=x-2+1的圖像。

（2）要將符號融入解題方法中去

如題：為確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）。已知加密規(guī)則為：明文a、b、c、d對應(yīng)密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d.例如，明文1、2、3、4對應(yīng)密文5、7、18、16.當(dāng)接收方收到密文14、9、23、28時，則解密得到的明文為（）

A.4、6、1、7B.7、6、1、4C.6、4、1、7D.1、6、4、7

依題意，建立方程組：

解得d=7，c=1，b=4，a=6，選C

試題中表達的都是文字字面意思，需要學(xué)生完成“漢語文字→數(shù)學(xué)符號（方程式）→數(shù)學(xué)結(jié)果→漢語解答”的過程，這一過程就是符號信息的傳遞遷移過程。在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)習(xí)符號解讀、遷移、回歸、再解讀的過程就是數(shù)理邏輯推理的過程，而數(shù)學(xué)帶給人類社會的神秘色彩，也盡顯于此了。

（3）數(shù)學(xué)符號應(yīng)用過程中需要注意的問題

誠然，在數(shù)學(xué)符號應(yīng)用過程中，也有很多方面需要注意的，如分類匯總和理解記憶。前面提到過，數(shù)學(xué)符號的大類里面主要有運算符號、幾何符號、代數(shù)符號、集合符號、推理符號、特殊符號以及標點符號，這些符號在高中數(shù)學(xué)習(xí)題中都有出現(xiàn)過，但近200多種數(shù)學(xué)符號極少有學(xué)生能夠全部辨識。因此在實際教學(xué)過程中，全面轟炸式詳細講解所有的數(shù)學(xué)符號無論是時間上還是精力上都是很不現(xiàn)實的，這個時候分類匯總就起到了關(guān)鍵性作用。

分類匯總的方法因人而異，有些高中教師習(xí)慣按照符號的類別來分，對符號有自己獨特的見解。但這種方法的弊端就是教師的課堂教學(xué)時間有限，串講數(shù)學(xué)符號所占用的課時分量必定很少，如此反復(fù)下去，又會重新回到最初大家看到的畫面：部分學(xué)生不認識數(shù)學(xué)符號，部分學(xué)生認錯數(shù)學(xué)符號，部分學(xué)生用錯數(shù)學(xué)符號。符號添加到教案重難點講解中，根據(jù)符號在高考中出現(xiàn)的頻率和分布狀況，最大限度地解讀符號的深層含義，讓學(xué)生將數(shù)學(xué)符號吃透，盡可能不讓數(shù)學(xué)符號成為學(xué)生高考中的絆腳石。

理解記憶的方法就相對要簡單許多，艾賓浩斯遺忘曲線講的是知識儲存量隨時間推移呈下滑趨勢，心理學(xué)上對優(yōu)秀記憶方法的追溯中首推了理解記憶，這種認知層面的理解比背誦記憶要深刻得多。記憶大師論壇上有這樣一個例子，圓周率π為3.14159的諧音記憶為“山頂一寺一壺酒”，將無意義數(shù)字賦予文字化內(nèi)涵不失為一種理解記憶的優(yōu)秀示范。數(shù)學(xué)符號創(chuàng)造的目的就是為了說明數(shù)量之間的邏輯關(guān)聯(lián)，對數(shù)學(xué)符號的記憶要融入具體的習(xí)題作答中去，融入對習(xí)題中條件和變量之間的推理關(guān)系中去，這樣才能保證長期有效地記下符號。

四、數(shù)學(xué)符號給高中數(shù)學(xué)教學(xué)帶來的啟發(fā)

1.帶給學(xué)生的思維沖擊

與學(xué)生互動交流后不難發(fā)現(xiàn)，無法全面、熟練地理解和掌握數(shù)學(xué)符號的數(shù)理含義，是學(xué)生抵觸、害怕、厭倦數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的首要原因。教師在教學(xué)中對數(shù)學(xué)符號講解的忽視，學(xué)生在做題過程中對數(shù)學(xué)符號的陌生，使學(xué)生對數(shù)學(xué)習(xí)題感到恐懼和害怕，要克服這種恐懼的心理，就要利用科學(xué)有效的方法去解讀它。

數(shù)學(xué)符號就好像是積木，每一個小小游樂園里的建筑物都是由不同形狀、不同顏色的積木塊搭建而成的，而這些積木構(gòu)造中又蘊含了建筑知識的所有信息，需要搭建者去認知、領(lǐng)悟、理解和應(yīng)用。學(xué)生除了要知道積木的“形狀、顏色、構(gòu)造”等本質(zhì)特征以外，還需要進一步掌握A積木與B積木或者C積木之間的建構(gòu)關(guān)系，在積木搭建過程中應(yīng)用好這些積木之間的邏輯關(guān)聯(lián)，從而搭建出理想中城堡的樣子。符號串聯(lián)融入習(xí)題的教學(xué)方法給學(xué)生帶來了一種不一樣的思維模式，傳統(tǒng)課堂上學(xué)生只知道數(shù)學(xué)符號是解題的線索和答題的工具，并不完全了解數(shù)學(xué)符號在數(shù)學(xué)發(fā)展史中舉足輕重的地位。而符號融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，最大限度地將數(shù)學(xué)符號的原始面貌呈現(xiàn)在學(xué)生面前，讓學(xué)生腦洞大開，思維上受到不一樣的洗禮，長遠來看，是非常有數(shù)學(xué)意義的。

2.帶給教師的教學(xué)便利

傳統(tǒng)應(yīng)試教育模式在課程開展上基本固定為“三個中心、一個基本點”，即教材是教學(xué)的中心，教師是教室的中心，教室是課堂的中心，高考是一切教學(xué)方法的基本落腳點。在數(shù)學(xué)教學(xué)上非常流行的“題海戰(zhàn)術(shù)”風(fēng)靡各大講堂，對此，學(xué)生是并不完全接納的。用學(xué)生從心底里不接納的教學(xué)模式、教學(xué)方法，推動學(xué)生學(xué)習(xí)的進步和發(fā)展自然就變成了無稽之談。

加重數(shù)學(xué)符號教學(xué)在高中數(shù)學(xué)課堂上的分量，在表面上看似乎是加重了教師的教學(xué)負擔(dān)，其實不然。俗語有云“工欲善其事必先利其器”，又或者說“磨刀不誤砍柴工”，符號是數(shù)學(xué)邏輯概念形成的基本元素，是進行高考試題解讀和作答的必備元素，將這些基礎(chǔ)性的符號知識普及到每一位學(xué)生身上，對今后的教學(xué)有百利而無一害。學(xué)生與教師通過學(xué)習(xí)內(nèi)容進行互動教學(xué)，數(shù)學(xué)符號給教師帶來的，不單單是知識傳遞上的便利，更是感情交流上的便利。

3.帶給數(shù)學(xué)的意義內(nèi)涵

心理學(xué)的理論知識認為，人類性格特征的外在表現(xiàn)既受到自身天生生理條件的限制，也受到外部社會環(huán)境的影響，情感狀態(tài)處在內(nèi)外部因素交織的關(guān)系結(jié)構(gòu)中。數(shù)學(xué)符號同樣如此，它是外在表現(xiàn)形象和內(nèi)在邏輯意義的統(tǒng)一體，既不能脫離它的表象去談它的意義，也不能脫離它的意義去探究它的表象。

例題：定義集合運算A⊙B=｛z z =xy（x+y），x∈A，y∈B｝，設(shè)集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，則集合A⊙B的所有元素之和為（）

A.0B.6C.12D.18

學(xué)生在認知這一道題的時候分為三個步驟：第一步解讀題干數(shù)學(xué)符號的意思表達；第二步是組合題干中要素與要素之間的邏輯關(guān)系；第三步進行紙上作答。即完全理解符號“⊙”的數(shù)學(xué)含義，也就是A⊙B=｛z z =xy（x+y），x∈A，y∈B｝，z就是A⊙B的集合元素。題干提出z=xy（x+y）和x∈A，y∈B，同時A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，通過代入計算當(dāng)x=0，y=2或3時，z=0；當(dāng)x=1，y=2時，z=6；當(dāng)x=1，y=3時，z=12，這樣就可以知道z=｛0，6，12｝，那么A⊙B的所有元素之和就為0+6+ 12=18，題目的答案就為D選項。

這是數(shù)學(xué)邏輯推理的基本步驟，學(xué)生在高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)中應(yīng)該也必須具備的邏輯分析能力在符號解讀過程中得以全面展現(xiàn)，并在實際操作過程中得到足夠練習(xí)和強化，形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)道路上極為有益的學(xué)習(xí)習(xí)慣。這是數(shù)學(xué)符號教學(xué)帶給整個數(shù)學(xué)的深層次含義。

五、具體案例分析

1.無數(shù)學(xué)符號試題分析

2014年新課標Ⅱ全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)題第二大題的第13小題：甲、乙兩名運動員各自等可能地從紅、白、藍三種顏色的運動服中選擇一種，則他們選擇相同顏色運動服的概率為。

解讀：這是一道只有數(shù)字沒有運算符號的高考試題，針對這樣的練習(xí)，學(xué)生需要經(jīng)歷的過程依然是三個步驟：第一步賦予題設(shè)以數(shù)學(xué)化符號含義，即甲選擇運動服的種類有C13概率，乙選擇運動服的種類也有C13。第二步掌握問題中條件與條件之間的邏輯關(guān)聯(lián)，即甲和乙穿同樣運動服的概率為1。第三步進行紙上作答。

針對無數(shù)學(xué)符號的試題內(nèi)容，學(xué)生答題的重點在于將題目所表達的字面意思進行“數(shù)學(xué)符號化”處理，這種“符號化”處理的過程就是學(xué)生對數(shù)學(xué)符號進一步理解記憶的過程。將文字符號化以后，緊接著要進行數(shù)學(xué)的邏輯思維推斷。培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力是高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中一再強調(diào)的教學(xué)目標，推斷過程要有充足的數(shù)學(xué)邏輯依據(jù)。數(shù)學(xué)邏輯在大腦中進行演算以后，就可以毫無壓力地將答案謄寫在答題紙上了。如若還有剩余時間，可以進行檢查核對。

無符號化的題目在高中數(shù)學(xué)試卷中非常少見，如幾何圖形類、概率計算類、函數(shù)推導(dǎo)類，其題目文字中包含的數(shù)學(xué)符號非常稀少，但在圖形演繹、數(shù)理推理過程中，經(jīng)過文字符號化出來的數(shù)學(xué)符號卻是非常繁多的。針對無符號化的數(shù)學(xué)試題，學(xué)生在解題過程中要堅持“先收集文字表達中的數(shù)學(xué)信息、再探究條件之間的邏輯關(guān)系、最后構(gòu)建邏輯關(guān)系間的符號聯(lián)結(jié)進行運算作答”這一系列答題步驟，對準確完整解決無符號的模擬真題，具有重要作用。

2.帶數(shù)學(xué)符號的試題分析

2014年新課標Ⅱ全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)題第一大題的第1小題：已知集合A=｛-2，0，2｝，B=｛xx 2-x-2=0｝，則A∩B=（）

解讀：問A∩B的結(jié)果，那么在解答這一題的時候，第一步必須認識“∩”的數(shù)學(xué)含義，指既屬于集合A且屬于集合B，A與B的交集表達。符號意思解開以后進入第二步，認識“x2-x-2=0”一元二次方程的數(shù)學(xué)含義，即集合B中所有元素均滿足方程式x2-x-2=0的計算。第三步進行紙上作答，將A集合中的元素帶入B集合的方程式中，結(jié)果只有x=2時滿足方程的計算，因此A∩B=｛2｝。

帶數(shù)學(xué)符號的考試試題比比皆是，隨處可見。獲取符號化數(shù)學(xué)題目中的邏輯信息，結(jié)合所學(xué)的數(shù)學(xué)理論規(guī)律，將信息轉(zhuǎn)換為解題的有效條件，計算出科學(xué)、合理、正確的答案，這就是對帶符號數(shù)學(xué)習(xí)題的解讀。針對帶有數(shù)學(xué)符號的模擬真題，學(xué)生則應(yīng)該堅持“先將題目中的數(shù)學(xué)符號文字化，再構(gòu)建條件之間的邏輯關(guān)聯(lián)，最后運用運算法則對邏輯條件進行分析作答”這樣的答題步驟。

無論模擬考試試題題設(shè)中是否帶有數(shù)學(xué)符號，數(shù)學(xué)解題思路是不會改變的。但學(xué)生對符號的正確認知，會直接影響其對整個數(shù)學(xué)題目的邏輯認知，從而發(fā)生偏差答錯題目的情況。避免這種答題偏差的關(guān)鍵在于基礎(chǔ)符號含義的應(yīng)用性掌握，也就是把數(shù)學(xué)符號放進實際考題中進行深層次地講解，直到所有學(xué)生都理解符號的數(shù)學(xué)含義，并能在練習(xí)題的答題演示過程中展現(xiàn)出來，那么關(guān)于這個符號的教學(xué)才算是成功的。符號認知擺在首位，緊隨其后的是邏輯運算法則，這是另一種數(shù)學(xué)邏輯的符號化表征，同樣需要在解題應(yīng)用中去從根本上把握。最后需要的就是學(xué)生的推理性邏輯思維能力，也可以是發(fā)散思維能力，這種能力是可以通過試題演練培養(yǎng)起來的。這三點都做好了，符號教學(xué)的課程就可以說是非常成功的了。

六、符號化數(shù)學(xué)教學(xué)的生活解讀

市場上流通的貨幣是商品之間進行等價交換的中間媒介。生活中與貨幣和數(shù)學(xué)都有關(guān)聯(lián)的試題，如學(xué)生去超市購買5個蘋果、12個雞蛋、5片面包，手中有且僅有50元人民幣，如何最大限度地利用手中的錢，就要挑選所購買商品最合理的單價。即：假設(shè)蘋果的單價為x元/個，雞蛋的單價為y元/個，面包的單價為z元/個，要做的試題就是5x+12y+5z≤50，在超市中尋找不同價位的蘋果、雞蛋和面包，帶入不等式進行換算，解開題設(shè)即可。這是生活中最常見的數(shù)學(xué)問題，這道題沒有文字描述，沒有數(shù)學(xué)公式，也沒有數(shù)學(xué)符號，但卻可以得出一個有意思的數(shù)學(xué)答案，這就是現(xiàn)實生活帶給數(shù)學(xué)的社會氣息。

在學(xué)生的世界里，數(shù)學(xué)符號和所有奇妙的陌生事物一樣，都在無時無刻地吸引著他們。隨著年齡的增長，接觸到的數(shù)學(xué)試題越來越難，觸碰到的數(shù)學(xué)公式越來越復(fù)雜，相伴而來的是陳舊枯燥的課堂氛圍，單調(diào)乏味的教學(xué)模式，整齊劃一的成績評判標準，家長與家長之間的成績攀比，教師與教師之間的成績歧視，讓學(xué)業(yè)進展到高中階段的學(xué)生手足無措、滿臉無奈。本可以發(fā)展成為終身興趣愛好的數(shù)學(xué)知識，經(jīng)過填鴨式、灌輸式、題海式的教學(xué)打磨以后，變得生機全無。

將數(shù)學(xué)興趣重新還給學(xué)生，帶領(lǐng)數(shù)學(xué)課堂知識重新回歸社會，就教育學(xué)理論而言，可以通過改變教學(xué)方式來部分性地實現(xiàn)這一目標。

學(xué)科之間的互相串聯(lián)。本文開始就提到過，《蒙娜麗莎的微笑》的創(chuàng)作者達·芬奇，通過畫雞蛋來夯實自己的繪畫基礎(chǔ)。音樂藝人通過視唱練耳來鞏固自己的音樂基本功。語言學(xué)家通過研究漢語聲韻母和筆畫構(gòu)造來充實自己的文字底蘊。這些都是與數(shù)學(xué)幾乎沒有太大關(guān)聯(lián)的學(xué)科，但其“基礎(chǔ)很重要”的教學(xué)理念同數(shù)學(xué)“基本符號很重要”的教學(xué)觀念是相吻合的。求同存異、相互學(xué)習(xí)，這是周恩來的外交建樹。在學(xué)科之間同樣要保留這種“求同存異”的教學(xué)觀點，藝術(shù)審美觀念、邏輯推理能力、體育運動能力，這不正是素質(zhì)教育提出的“德智體美勞”全面發(fā)展的教學(xué)目標嗎？

學(xué)生才是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主體。高中數(shù)學(xué)課堂上，教師與學(xué)生之間互動性最顯著的一句話就是：“這個知識點掌握了嗎？”而學(xué)生通常以沉默的方式替代語言上的反饋。這種沉悶無趣的課堂氛圍對以學(xué)生為教學(xué)主體的素質(zhì)教育其實是一種無聲的諷刺。學(xué)生對新事物都是好奇的，對數(shù)字符號化的教學(xué)變革一定是歡迎的，如何將數(shù)字符號的創(chuàng)新教學(xué)理念帶到高中數(shù)學(xué)教室里去，這才是對教師教學(xué)能力的考驗，這才是一切為了學(xué)生、為了一切學(xué)生、為了學(xué)生的一切。學(xué)生覺得好才是真的好，學(xué)生能夠感受到教學(xué)革新帶給他們新鮮活力的元素，自然會積極參與到其中。

課外實踐也可以穿插進來。很多教師偏頗地認為教室才是教學(xué)的唯一陣地，脫離了教室，走出去的教學(xué)都是不務(wù)正業(yè)的表現(xiàn)，其實不然?！皟蓮椧恍恰痹獎族X學(xué)森臨走前發(fā)出了這樣一個世紀之問：為什么我們的學(xué)校培養(yǎng)不出杰出的人才？這個問題引起很多教育界人士以及一線教師的反思，到目前為止，也沒有人能夠全面完整地回答這個問題。那么一線高中數(shù)學(xué)教師能做的，就是盡最大努力在學(xué)生可接受的范圍內(nèi)有效地傳播數(shù)理知識，并開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。數(shù)學(xué)教學(xué)知識點呈“螺旋式”結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)符號是結(jié)構(gòu)的最底層，也是最為重要的一個環(huán)節(jié)。單純地只在課堂上進行教學(xué)勢必會打壓學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，不利于教學(xué)課程的有效開展。那么嘗試把學(xué)生帶出課堂試試，聯(lián)合體育教師舉辦一次體驗式的數(shù)學(xué)戶外拓展活動，讓學(xué)生感受到教師在數(shù)學(xué)教學(xué)方法變革上所做的努力，給學(xué)生呈現(xiàn)一堂新鮮且充滿活力的數(shù)學(xué)課，對學(xué)生、對教師、對數(shù)學(xué)教學(xué)的作用都是利大于弊的。

符號帶來的良性循環(huán)系統(tǒng)。數(shù)學(xué)符號作為一種知識載體，作用于學(xué)生與試題之間，作用于教師與教材之間，也作用于學(xué)生與教師以及學(xué)生與學(xué)生之間。思考數(shù)學(xué)符號帶來的能量，要基于課堂教學(xué)方式改變、學(xué)生學(xué)習(xí)積極性提高、學(xué)生學(xué)習(xí)成績提高的結(jié)果上。數(shù)學(xué)符號作為邏輯推理的城堡，教師作為邏輯關(guān)系的搭橋者，學(xué)生攜帶數(shù)學(xué)知識通過教師搭建的橋梁，將數(shù)學(xué)知識組合成一個龐大的系統(tǒng)。教師是這一龐大系統(tǒng)的源泉，學(xué)生是系統(tǒng)的活水，讓整個數(shù)理知識傳播結(jié)構(gòu)成為一個良性的循環(huán)系統(tǒng)。

七、高三數(shù)學(xué)的符號化生活

知識梳理是在做加法。高中數(shù)學(xué)的教學(xué)技巧相對單一，基本上就是教師示范教學(xué)，學(xué)生聽講做筆記，課后完成作業(yè)，月底教研組出題，學(xué)生進行模擬考試，接著教師進行講評。但知識的數(shù)理方法大體上是不會變動的，都是在引導(dǎo)學(xué)生做加法。梳理出基本的數(shù)理公式、數(shù)學(xué)符號、運算規(guī)則和典型錯題，將高中時期所學(xué)過的知識點依據(jù)高考真題試卷進行類別性整理，最大限度地將分散的知識點連成塊、匯聚成面，建立點線面式的數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)。

真題模擬是在做減法。加法做好了才能著手做減法，高中階段的數(shù)理知識規(guī)整齊全了以后，就要開始必要數(shù)量和程度上的真題模擬練習(xí)。這個時間段就要將自己已經(jīng)爛熟于心的知識包袱放下，對未來的迷茫與困惑放下，身體上、心理上輕裝前行。真題模擬的作用就在于再現(xiàn)考場上可能出現(xiàn)的數(shù)學(xué)符號表征，協(xié)助學(xué)生去再認和辨別高中階段所學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)知識點。這種符號“卸載化”的減法過程，對符號的縱深理解具有不一樣的意義。

總而言之，邏輯推理文字數(shù)學(xué)符號化在數(shù)學(xué)發(fā)展史上是一個偉大的創(chuàng)舉，加減乘除運算符號的出現(xiàn)讓大眾生活多了更多象征意義上的邏輯化色彩，這些色彩被積極應(yīng)用到各行各業(yè)的邏輯推理當(dāng)中，以及各年齡階段的數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中，對人類文明的進步和發(fā)展，做出了重要的貢獻。

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·編輯鄭曉燕