策略十三 數(shù)形結(jié)合，化難為易

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中一種重要的思想方法，它將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使代數(shù)問題幾何化或幾何問題代數(shù)化，為問題的解決提供簡(jiǎn)捷明快的途徑。綜觀小學(xué)教材的各個(gè)學(xué)段和各個(gè)領(lǐng)域，適合滲透數(shù)形結(jié)合思想方法的教學(xué)內(nèi)容可謂比比皆是。

1.在數(shù)的認(rèn)識(shí)教學(xué)中利用數(shù)形結(jié)合

數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系。

《標(biāo)準(zhǔn)》把培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感作為義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)教育的一項(xiàng)重要目標(biāo)。只有為學(xué)生提供充分的可感知的現(xiàn)實(shí)背景，才能使學(xué)生真正理解數(shù)的概念。

2.在概念學(xué)習(xí)時(shí)利用數(shù)形結(jié)合

在“中國(guó)教育學(xué)會(huì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)第十三屆年會(huì)”上，北京大學(xué)附屬小學(xué)的李寧老師執(zhí)教的《質(zhì)數(shù)與合數(shù)》一課，就很好地體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”思想在概念教學(xué)中的優(yōu)勢(shì)。本節(jié)課教學(xué)過程清晰流暢、層次清楚、富有新意。下面是其中的教學(xué)片斷：

第一步：課前談話

引導(dǎo)學(xué)生欣賞參加軍訓(xùn)的相片，引發(fā)方陣的問題。

第二步：提出問題

師：剛才我們提到了軍訓(xùn)中的排方陣，今天李老師為每組準(zhǔn)備了一些小方塊，你們能用上所有的小方塊擺出長(zhǎng)方形或正方形嗎？

（學(xué)生分成七組，每組的小方塊數(shù)量分別是4、5、7、9、11、12、24）

生：能。

師：咱比一比哪一組的設(shè)計(jì)方案最多，并將設(shè)計(jì)好的方案記錄在表格里。

[總塊數(shù)＼&每行的塊數(shù)＼&行數(shù)＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&]

（學(xué)生分成七組研究并記錄研究方案。教師巡視，解答學(xué)生研究過程中的問題，并注意收集學(xué)生對(duì)方案多少產(chǎn)生的疑惑，為引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步研究做好準(zhǔn)備。這一環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)的目的主要是引導(dǎo)學(xué)生初步建立數(shù)與形之間的感性認(rèn)識(shí)，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)打基礎(chǔ)。）

第三步：交流并引發(fā)沖突

（1）引導(dǎo)學(xué)生分組匯報(bào)研究成果（教師幫助學(xué)生記錄研究成果）。

第一組：4=4×1=2×2

第二組：5=5×l

第三組：7=7×l

第四組：9=9×1=3×3

第五組：11=11×1

第六組：12=12×l=6×2=4×3

第七組：24=24×1=12×2=8×3=6×4

師：第七組太棒了！你們真了不起，設(shè)計(jì)的方案最多。你們是今天當(dāng)之無愧的冠軍！

生：不公平。

（2）教師收集學(xué)生的意見并記錄下來。

教師板書學(xué)生的質(zhì)疑：數(shù)的大小、奇數(shù)偶數(shù)、因數(shù)個(gè)數(shù)。

（3）教師適時(shí)評(píng)價(jià)，引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步研究。

師：相信你們說的都有各自的道理，剛才我看到了每個(gè)組的同學(xué)都在想辦法，想使方案盡可能多，但有些數(shù)擺完后，方案只有一種，有的就不止一種，我們一起來看一看。

（教師引導(dǎo)學(xué)生將方案中只有一種和方案不止一種的數(shù)形圖選出來，分別呈現(xiàn)在黑板上。）

師：那么方案的多少到底與什么有關(guān)呢？剛才老師提供的學(xué)具不公平，如果讓同學(xué)自己選你們?cè)敢鈫幔?/p>

（教師通過課堂評(píng)價(jià)有意制造矛盾沖突，由此引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探索和研究的欲望。）

第四步：再次嘗試

首先，教師呈現(xiàn)再次可供選擇的塊數(shù)：46、25、59、32、36、51；

其次，各組學(xué)生分別派代表自主選擇并進(jìn)行研究；

最后，引導(dǎo)學(xué)生交流研究體驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)因數(shù)的個(gè)數(shù)是影響方案多少的決定性因素。通過再次體驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)與因數(shù)之間的關(guān)系。

第五步：比較歸納

首先，觀察歸納。

師：既然因數(shù)的個(gè)數(shù)是決定性因素，就讓我們共同觀察我們?cè)?jīng)研究過的數(shù)的因數(shù)。方案只有一種的這些數(shù)有什么特點(diǎn)？

（引導(dǎo)學(xué)生從因數(shù)的特點(diǎn)、因數(shù)的個(gè)數(shù)和數(shù)形圖不同的維度進(jìn)行觀察。）

其次，引導(dǎo)學(xué)生歸納質(zhì)數(shù)的概念。

最后，在學(xué)生準(zhǔn)確歸納質(zhì)數(shù)的基礎(chǔ)上歸納合數(shù)的概念。

以上教學(xué)片斷，教師用軍訓(xùn)方陣的具體情景引出用方塊擺“方陣”的操作活動(dòng)。操作生成的豐富方案引發(fā)學(xué)生思考：擺出長(zhǎng)方形（或正方形）的多少，可能與方塊的個(gè)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)、大小或因數(shù)的個(gè)數(shù)有關(guān)。在此基礎(chǔ)上，教師組織學(xué)生再次操作探索“什么是影響方案多少的決定因素”，直指質(zhì)數(shù)、合數(shù)概念的內(nèi)涵。數(shù)與形相結(jié)合，操作與思考融為一體，幫助學(xué)生清晰地構(gòu)建了質(zhì)數(shù)、合數(shù)的概念。

3.在理解算理、歸納法則時(shí)利用數(shù)形結(jié)合

算理是四則運(yùn)算的理論依據(jù)，它由數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算定律、運(yùn)算性質(zhì)等構(gòu)成；運(yùn)算法則是四則運(yùn)算的基本程序和方法。運(yùn)算是基于法則進(jìn)行的，而法則又要滿足運(yùn)算定律等。所以，算理為法則提供了理論依據(jù)，法則又使算理可操作。

數(shù)軸不但將抽象的數(shù)直觀形象化，而且也有助于理解運(yùn)算，將運(yùn)算直觀形象化。加法就是在數(shù)軸上繼續(xù)向右數(shù)，或者看做是向右平移若干個(gè)單位；減法就是在數(shù)軸上先找到“被減數(shù)”，然后再向左數(shù)，或者看做是向左平移若干個(gè)單位；乘法就是在數(shù)軸上幾個(gè)幾個(gè)地向右數(shù)，或者把一“線段”拉長(zhǎng)幾倍；除法就是在數(shù)軸上先找到“被除數(shù)”，然后向左幾個(gè)幾個(gè)地?cái)?shù)，如果恰好數(shù)到0，則就是“除盡”，數(shù)了幾次，商就是幾，當(dāng)不能恰好數(shù)到0，就產(chǎn)生了余數(shù)。

4.在解決問題時(shí)利用數(shù)形結(jié)合

小學(xué)生在解決問題的過程中，實(shí)質(zhì)上是完成了兩個(gè)認(rèn)識(shí)上的轉(zhuǎn)化。第一個(gè)轉(zhuǎn)化是指從紛亂的實(shí)際問題中，收集、觀察、比較、篩選出有用的信息，從而抽象成數(shù)學(xué)問題；第二個(gè)轉(zhuǎn)化是根據(jù)已抽象出來的數(shù)學(xué)問題，全面分析其中的數(shù)量關(guān)系，探索出解決問題的方法并求解。

實(shí)際問題變化多端，把它們抽象成數(shù)學(xué)問題，有的結(jié)構(gòu)也較特殊，因此，對(duì)學(xué)生來講，并非所有的題目一開始就能發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)量關(guān)系。如果能為學(xué)生提供一些有效的解決問題的策略，將有助于提高他們解決問題的能力和數(shù)學(xué)思維能力。

美國(guó)數(shù)學(xué)家斯蒂思曾說過，如果—個(gè)特定的問題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形，那么就整體地把握了問題，并且能創(chuàng)造性地思考問題的解法。教師要讓學(xué)生嘗試把“應(yīng)用問題”畫出來，提高學(xué)生的畫圖能力。

5.在探索規(guī)律時(shí)利用數(shù)形結(jié)合

為了進(jìn)一步理解倒數(shù)概念的內(nèi)涵，教師可以安排快速求倒數(shù)的練習(xí)，并利用線段圖，突出一個(gè)數(shù)與它的倒數(shù)的相互依存關(guān)系及真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)的倒數(shù)和單位“1”的關(guān)系，使學(xué)生體會(huì)到單位“1”的重要地位。之后，又通過讓學(xué)生把剛才的一組組倒數(shù)作為長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬想象長(zhǎng)方形的環(huán)節(jié)，再次借助幾何直觀，在線段（一維）直觀的基礎(chǔ)上，進(jìn)入面積（二維）直觀，將“圖”與“數(shù)”聯(lián)系，直觀與思辨并重，使學(xué)生獲得了比較深刻的情感體驗(yàn)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。

6.在突破難點(diǎn)時(shí)利用數(shù)形結(jié)合

經(jīng)常使用直觀模型。在日常教學(xué)中，教師應(yīng)有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)多種直觀模型。例如：實(shí)物、點(diǎn)子圖、面積模型和數(shù)線等。這些模型在課堂上不斷呈現(xiàn)，可以使學(xué)生認(rèn)識(shí)到在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中直觀模型的重要作用。

鼓勵(lì)使用多元表征。鼓勵(lì)學(xué)生早期使用多元表征，不僅有助于培養(yǎng)學(xué)生用自己的方式解決問題的興趣，而且這是未來學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。

培養(yǎng)數(shù)形轉(zhuǎn)化意識(shí)。在日常教學(xué)中，應(yīng)結(jié)合具體內(nèi)容，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生見數(shù)想形、因形思數(shù)，使數(shù)與形結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形相互轉(zhuǎn)化的意識(shí)。

總之，“數(shù)”輔助“形”，可以將“數(shù)”形象化；“形”輔助“數(shù)”，可以使“數(shù)”直觀化。數(shù)形結(jié)合是一種重要的教學(xué)手段。

策略十四 善于舉例，幫助理解

南京大學(xué)鄭毓信教授曾撰文談數(shù)學(xué)教師的三項(xiàng)基本功，包括：善于舉例、善于提問、善于比較與優(yōu)化。他首先談到的就是“善于舉例”。

1.教師舉例要符合學(xué)生的接受水平

要從學(xué)生的知識(shí)水平、理解能力、生活經(jīng)歷等出發(fā)，選用學(xué)生容易觀察、便于想象的例子，或者親身經(jīng)歷的事情。這樣的例子可感性強(qiáng)，易于理解和接受。所舉事例要淺顯、貼切、自然，富有生活氣息，語言要生動(dòng)、幽默，這樣才易于促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，才易于集中學(xué)生的注意力。

2.教師舉例要恰當(dāng)、確切，具有典型性和說服力

若所舉事例在同類事物中具有代表性，則對(duì)學(xué)生理解觀點(diǎn)具有普遍指導(dǎo)意義。即所舉事例既要使學(xué)生較全面、清晰地感知事物的形象和基本屬性，便于學(xué)生準(zhǔn)確與加深理解觀點(diǎn)的實(shí)質(zhì)，又要能啟發(fā)學(xué)生思維，提高學(xué)生分析解決問題的能力，達(dá)到舉一反三、遷移知識(shí)的效果與目的，防止就事論事。

3.教師舉例要具體而又形象

所舉的例子形式要新穎，內(nèi)容要形象、具體、生動(dòng)，可感性要強(qiáng)，表述要言簡(jiǎn)意賅、通俗易懂、具有較強(qiáng)的感染力。

為了幫助學(xué)生理解乘法分配律，教師可以舉下面的例子：

a代表爸爸、b代表媽媽、×代表愛、c代表我。

（a+b）×c=a×c+b×c爸爸和媽媽愛我，也就是爸爸愛我，媽媽也愛我。或c×（a+b）=c×a+c×b，我愛爸爸和媽媽，也就是我愛爸爸，我也愛媽媽。

4.教師舉例要內(nèi)容豐富、形式多樣

兩步計(jì)算的應(yīng)用題，第一步需要求出的是一個(gè)“隱蔽條件”（或者說“中間問題”）。對(duì)于這樣一個(gè)既是條件，又是問題的數(shù)量，學(xué)生理解起來是很困難的。著名特級(jí)教師劉德武曾給學(xué)生舉過這樣一個(gè)例子：

“如果我們從虎坊橋出發(fā)，乘公共汽車到頤和園，有沒有直達(dá)汽車？”

“沒有?！?/p>

“那怎么辦？”

“坐15路，到動(dòng)物園再倒車。”

“對(duì)！”

劉老師邊說邊在黑板上畫了一幅示意圖。

然后劉老師問學(xué)生：“虎坊橋是我們出發(fā)的起點(diǎn)，頤和園是到達(dá)的終點(diǎn)，那么動(dòng)物園是起點(diǎn)，還是終點(diǎn)？”

“動(dòng)物園既是起點(diǎn)，又是終點(diǎn)。它是15路的終點(diǎn)，又是332路的起點(diǎn)?！?/p>

這樣，再結(jié)合具體應(yīng)用題進(jìn)行分析，學(xué)生對(duì)兩步應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)和思路就十分清楚了。他們?cè)诨ハ嘀v題時(shí)甚至都愛說：“你先得把這道題的‘動(dòng)物園求出來?！薄皠?dòng)物園”簡(jiǎn)直成了隱蔽條件的代名詞。

5.舉例要能夠突出學(xué)科特點(diǎn)

在教學(xué)同分母分?jǐn)?shù)的加法時(shí)，教師將分母比成媽媽，分子比成小孩，跟小朋友說媽媽只能有一個(gè)，所以是不會(huì)變的，不能相加，小孩的數(shù)量可以改變，所以要相加，所以：[25+25=45]，而不是[25+25=410]。

當(dāng)然，比方終究只是比方，它的意義只在于幫助理解，不能代替嚴(yán)密的數(shù)學(xué)論證，但是，它的重要性確實(shí)不可小覷。

責(zé)任編輯 劉玉琴