陳靜安，黃啟亮，凡加云，鄔鴻欽

(1.廣東第二師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系， 廣東 廣州 510303；2.六盤水第七中學(xué)， 貴州 六盤水 555300)

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中學(xué)生對(duì)“字母表示數(shù)”認(rèn)知發(fā)展的歷史相似性研究

陳靜安1，黃啟亮1，凡加云2，鄔鴻欽1

(1.廣東第二師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系， 廣東 廣州 510303；2.六盤水第七中學(xué)， 貴州 六盤水 555300)

摘要:“用字母表示數(shù)”是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，同時(shí)也是中學(xué)生從文字代數(shù)向符號(hào)代數(shù)過渡的重要階段.運(yùn)用測(cè)試卷對(duì)七年級(jí)和高一年級(jí)學(xué)生關(guān)于“用字母表示數(shù)”的理解進(jìn)行抽樣測(cè)試的結(jié)果顯示，學(xué)生對(duì)“用字母表示數(shù)”的認(rèn)知發(fā)展過程與“字母表示數(shù)”意義演進(jìn)的歷史發(fā)展過程存在顯著的相似性.這種歷史相似性對(duì)“用字母表示數(shù)”相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)與教材的編寫都有著重要的啟示意義.

關(guān)鍵詞:用字母表示數(shù)；文字代數(shù)；簡(jiǎn)寫代數(shù)；符號(hào)代數(shù)；歷史相似性

1問題背景

在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長(zhǎng)河中，從算數(shù)到代數(shù)飛躍的標(biāo)志是數(shù)學(xué)符號(hào)的引進(jìn).符號(hào)的引進(jìn)，是數(shù)學(xué)準(zhǔn)確并簡(jiǎn)捷地表達(dá)概念、命題、證明及方法的必由之路[1]75.沒有符號(hào)的數(shù)學(xué)猶如沒有文字的語言一樣難以傳承、發(fā)展和不可思議.特別地，“用字母表示數(shù)”不僅是人類由自然的“算術(shù)語言”向抽象的“代數(shù)語言”過渡的開始，也是學(xué)生代數(shù)學(xué)習(xí)的入門知識(shí)以及后續(xù)學(xué)習(xí)方程式、不等式、函數(shù)等知識(shí)的重要基礎(chǔ).為此，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在各學(xué)段中都將“數(shù)與代數(shù)”作為數(shù)學(xué)課程的重要組成部分，并且在第二學(xué)段目標(biāo)明確要求“在具體的情景中能用字母表示數(shù)；了解等量關(guān)系，并能用字母表示”，在第三學(xué)段目標(biāo)強(qiáng)調(diào)“借助現(xiàn)實(shí)情景了解代數(shù)式，進(jìn)一步理解用字母表示數(shù)的意義.能分析具體問題中的簡(jiǎn)單數(shù)量關(guān)系，并用代數(shù)式表示.”[2]

但是，教學(xué)實(shí)踐中，對(duì)“用字母表示數(shù)”的認(rèn)知、理解和運(yùn)用是學(xué)生代數(shù)學(xué)習(xí)中的難題和高門坎，因此成為課堂教學(xué)的難點(diǎn).如蒲淑萍和汪曉勤研究了上海市七年級(jí)學(xué)生對(duì)字母的認(rèn)知水平，結(jié)果顯示學(xué)生對(duì)字母意義的認(rèn)知水平大多停留在“記數(shù)符號(hào)”和“未知量”的層次，對(duì)于字母表示“一類量”的思想存在認(rèn)知困難[3]；虞琳娜針對(duì)小學(xué)生在自然數(shù)的表示中感悟字母的含義的研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)“用字母表示數(shù)”的理解停留在“理解用字母表示一個(gè)數(shù)，但是難以想象這里字母表示的數(shù)可以是任意的”[4]；薛文敘關(guān)于學(xué)生對(duì)數(shù)和數(shù)的表示形式認(rèn)知情況的案例研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生關(guān)于“用字母表示數(shù)”的理解存在諸多問題和障礙，例如學(xué)習(xí)了字母表示數(shù)后，對(duì)字母表示一類量并不理解、依然依賴于文字?jǐn)⑹龅姆绞浇忸}[5].受斯賓塞、波利亞等人關(guān)于“個(gè)體知識(shí)發(fā)生過程遵循人類知識(shí)的發(fā)生過程”的歷史發(fā)生原理，以及克萊因“生物發(fā)生學(xué)的一項(xiàng)基本定律指出,個(gè)體的成長(zhǎng)要經(jīng)歷種族成長(zhǎng)的所有階段,順序相同,只是所經(jīng)歷的時(shí)間縮短……我想教授數(shù)學(xué)和其他任何事情一樣,至少在原則上要遵照這項(xiàng)定律”的啟發(fā)，本研究選取中學(xué)學(xué)段七年級(jí)和高一年級(jí)兩個(gè)具有典型代表性的年級(jí)作為樣本進(jìn)行測(cè)試分析，并比對(duì)“用字母代表數(shù)”的歷史演進(jìn)過程，旨在了解七年級(jí)和高一年級(jí)學(xué)生對(duì)“用字母表示數(shù)”的認(rèn)識(shí)、理解和運(yùn)用與歷史發(fā)展的相似性，以期對(duì)用字母表示數(shù)相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)提供一些有益的啟示.

2研究過程與方法

為檢驗(yàn)歷史相似性，首先采用文獻(xiàn)分析法，以厘清“用字母代表數(shù)”的歷史發(fā)展和已有研究對(duì)學(xué)生“用字母代表數(shù)”理解存在的困難分析.其次，為檢驗(yàn)歷史相似性，運(yùn)用問卷測(cè)試法和隨機(jī)抽樣對(duì)云南省某中學(xué)七年級(jí)30人和高一年級(jí)28人進(jìn)行調(diào)查測(cè)試.問卷選取文[3]設(shè)置的3道測(cè)試題，測(cè)試卷緊扣《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)“用字母表示數(shù)”的目標(biāo)要求:“在具體的情景中能用字母表示數(shù)；了解等量關(guān)系，并能用字母表示”，圍繞“用字母表示數(shù)”的意義理解及其對(duì)應(yīng)的3個(gè)歷史發(fā)展階段，旨在了解學(xué)生對(duì)用字母表示數(shù)的理解和運(yùn)用水平，由此分析學(xué)生對(duì)字母表示數(shù)的認(rèn)知發(fā)展過程與該知識(shí)發(fā)展的歷史是否存在相似性.具體測(cè)試題目如下： 試題1：游樂場(chǎng)的大轉(zhuǎn)盤的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)分別距離地面110m、10m，這個(gè)大轉(zhuǎn)盤的半徑是多少？

試題2：已知圓的周長(zhǎng)為r，圓的面積是多少？

試題3：已知兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差，求這兩個(gè)數(shù)？

3字母表示數(shù)的歷史演進(jìn)過程

追溯歷史，不難發(fā)現(xiàn)，“用字母表示數(shù)”作為代數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)的內(nèi)容，是四大文明古國(guó)和希臘人、阿拉伯人、西歐人接力完成的偉大成就，其間主要經(jīng)歷了古老的文字表達(dá)算術(shù)、丟番圖用字母表示未知數(shù)、直至韋達(dá)與笛卡爾系統(tǒng)的符號(hào)表達(dá)3個(gè)質(zhì)變、關(guān)鍵時(shí)期.19世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)史家內(nèi)塞爾曼依據(jù)時(shí)間順序并結(jié)合代數(shù)的表達(dá)方式在其《希臘代數(shù)》中首次將代數(shù)學(xué)的歷史演進(jìn)過程劃分為3個(gè)主要階段：文字代數(shù)、縮寫代數(shù)、符號(hào)代數(shù)(或者修辭代數(shù)→縮略代數(shù)→符號(hào)代數(shù))[1]75.

3.1文字代數(shù)階段

公元3世紀(jì)以前、即古希臘丟番圖以前的時(shí)期，無論是河谷文明著稱的四大文明古國(guó)、還是海洋文明的領(lǐng)軍者古希臘，人們都還沒有想到使用任何符號(hào)表示數(shù)，所有數(shù)學(xué)問題及討論解決都是用文字來表達(dá)和說明[6]65.如我國(guó)用天、地、人、物表示未知數(shù)，甲、乙、丙、丁表示已知數(shù)而命名的天元術(shù)、四元術(shù)等代數(shù).總之?dāng)?shù)學(xué)停留在用文字作為記數(shù)符號(hào)階段，故這一時(shí)期的代數(shù)史稱文字代數(shù)或文詞代數(shù)、修辭代數(shù).

3.2簡(jiǎn)寫代數(shù)階段

公元3世紀(jì)到15世紀(jì)的代數(shù)以引入字母代表未知量為典型特征，其中公元250年左右的數(shù)學(xué)家丟番圖被稱為古希臘代數(shù)學(xué)的鼻祖，是這一時(shí)期的典型代表.他在其《算術(shù)》中首次創(chuàng)用了一套縮寫符號(hào)，特別是他使用特殊的符號(hào)ζ表示未知數(shù)并用于計(jì)算，使得后人相信，盡管他的思想受到前期古希臘的深刻影響，但是他已經(jīng)完全擺脫古典時(shí)期的束縛.此外，他還創(chuàng)用↑表示減號(hào)，用專門的符號(hào)表達(dá)乘冪等[6]65.之后盡管越來越多的數(shù)學(xué)家使用不同的字母表示不同的量，但是可以看出字母總是表示未知量，而沒有一帆風(fēng)順地朝著代表“一般量”、“一類量”繼續(xù)發(fā)展.這一時(shí)期是真正的符號(hào)代數(shù)出現(xiàn)之前的一個(gè)重要階段，數(shù)學(xué)史上稱為簡(jiǎn)寫代數(shù)或縮寫代數(shù)、縮略代數(shù)階段.

3.3符號(hào)代數(shù)階段

16世紀(jì)法國(guó)杰出的數(shù)學(xué)家韋達(dá)在其1591年的著作《分析引論》中第一次有意識(shí)地系統(tǒng)引進(jìn)字母來表示未知量、系數(shù)和方冪，體現(xiàn)了他對(duì)符號(hào)系統(tǒng)深刻的認(rèn)識(shí).他采用輔音字母表示已知量，元音字母表示未知量.同時(shí)規(guī)定算術(shù)與代數(shù)的分界，他認(rèn)為算術(shù)運(yùn)算是施行于具體的數(shù)，而代數(shù)運(yùn)算則施行于事物的類或者形式，因此把符號(hào)代數(shù)稱作“類的算術(shù)”以區(qū)別舊的“數(shù)的算術(shù)”，使代數(shù)學(xué)成為研究一般類型的形式和方程的學(xué)問，因其抽象而應(yīng)用更為廣泛[6]129，為算術(shù)到代數(shù)的飛躍作出了卓越的貢獻(xiàn).值得一提的是，17世紀(jì)的笛卡爾進(jìn)一步對(duì)韋達(dá)使用的字母作了改進(jìn)，創(chuàng)造性地用拉丁字母前面的字母a,b,c,d,…等表示已知數(shù)，用后面的字母x,y,z,w,…等表示未知數(shù)，使字母表示得到了統(tǒng)一[7]，并且一目了然、系統(tǒng)全面，基本形成了現(xiàn)今的習(xí)慣用法.至此，代數(shù)學(xué)進(jìn)入了符號(hào)代數(shù)、又稱字母代數(shù)的時(shí)代.

總之，人類對(duì)“用字母表示數(shù)”及其意義的認(rèn)知呈循環(huán)往復(fù)、螺旋上升的過程，并經(jīng)歷了“表示特定的數(shù)→表示未知量→表示一類量”的歷史演進(jìn)過程，代數(shù)學(xué)歷經(jīng)3個(gè)階段、3 000多年緩慢曲折和艱辛的發(fā)展，最終得以演進(jìn)成今天成熟、完善的符號(hào)代數(shù)體系.

4問卷測(cè)試結(jié)果與分析

4.1問題1的測(cè)試結(jié)果及分析

測(cè)試結(jié)果包括如下3類：

(i)沒有使用字母的文字解法：此圓半徑為(110-10)/2=50m.七年級(jí)和高一年級(jí)學(xué)生對(duì)應(yīng)的解題方法和過程：(110-10)÷2=100÷2=50(m),答:半徑是50m.

(ii) 使用字母表示半徑的簡(jiǎn)寫代數(shù)解法：R=(110-10)/2=50m.七年級(jí)和高一年級(jí)學(xué)生對(duì)應(yīng)的解法:

(iii)沒有或者不能解決問題(換言之，學(xué)生的解法中缺失用字母表示未知數(shù)、解一元一次方程的符號(hào)代數(shù)方法).

圖1七年級(jí)使用字母情況統(tǒng)計(jì)

結(jié)果分析：七年級(jí)和高一年級(jí)在問題1解法中使用字母的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖1和圖2所示.其中，采用算術(shù)解法(i)、即沒有使用字母的七年級(jí)學(xué)生有28人，占被試的93.3%；高一年級(jí)有7人，占比25%.這表明剛從小學(xué)升入初中的七年級(jí)學(xué)生總體還停留在代數(shù)初始階段的文字代數(shù)即小學(xué)算術(shù)思維水平，而高一年級(jí)學(xué)生雖然在課堂教學(xué)上已經(jīng)進(jìn)入符號(hào)代數(shù)階段，依然有兩成多的學(xué)生習(xí)慣于文字代數(shù)思維，尚未養(yǎng)成用字母表示數(shù)的意識(shí)和習(xí)慣，沒能夠與時(shí)俱進(jìn)上升到簡(jiǎn)寫代數(shù)與符號(hào)代數(shù)認(rèn)知水平.

采用R表示半徑的簡(jiǎn)寫代數(shù)解法(ii)，七年級(jí)學(xué)生人數(shù)為0，高一年級(jí)學(xué)生有20人、占被試的71.4%；但高中生被試中依然沒人采用字母表示未知量的方程解法.這說明七年級(jí)學(xué)生雖然已經(jīng)接觸簡(jiǎn)寫代數(shù)方法，但是他們習(xí)慣于或更擅長(zhǎng)用算術(shù)方法分析和解決問題；高一年級(jí)相對(duì)七年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)和運(yùn)用簡(jiǎn)寫代數(shù)與符號(hào)代數(shù)的時(shí)間較久，七成進(jìn)入了簡(jiǎn)寫代數(shù)水平，但仍然沒有學(xué)生用字母表示未知量，總體仍停留在較低層次的“記數(shù)符號(hào)”認(rèn)知水平.此外，有初中生被試2人和高中生被試1人沒有或者不能解決問題(iii).綜上，或許說明相對(duì)于用字母表示特定的數(shù)，用字母表示未知量除了解題策略不同，還因?yàn)樯婕皩?duì)字母表示數(shù)的意義的認(rèn)知水平、思維和表達(dá)習(xí)慣等多個(gè)層面的質(zhì)變，無論對(duì)于初中生或者高中生都更為困難，而成為認(rèn)知和教學(xué)的難點(diǎn)與高門檻.

這啟示我們：一方面，簡(jiǎn)寫代數(shù)與符號(hào)代數(shù)思想的獲得不是一帆風(fēng)順、一蹴而就的，學(xué)生需要相對(duì)較長(zhǎng)的時(shí)間來理解和接受；另一方面，高一年級(jí)被試隨著年級(jí)遞進(jìn)、浸泡在字母代數(shù)里的時(shí)間增加，“用字母表示數(shù)”的意識(shí)與能力相比七年級(jí)學(xué)生得以增強(qiáng).這從兩個(gè)方面映射出學(xué)生對(duì)于“用字母表示數(shù)”意義的認(rèn)知演進(jìn)過程與簡(jiǎn)寫代數(shù)到符號(hào)代數(shù)歷經(jīng)3 000年漫長(zhǎng)的歷史發(fā)展過程存在明顯的相似性.

4.2問題2的測(cè)試結(jié)果及分析

測(cè)試結(jié)果包括如下3類：

(i) 把字母r視為半徑和已知量求得面積的錯(cuò)誤算法：這個(gè)圓的面積是πr2.

(iii)其他，即沒有或者不能解決問題.

結(jié)果分析：?jiǎn)栴}2解法中七年級(jí)和高一年級(jí)學(xué)生對(duì)字母r的理解的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖3和圖4所示.其中，采用錯(cuò)誤解法(i),即把r視為半徑并看做已知量的學(xué)生，七年級(jí)被試有6人，占20%；高一年級(jí)有3人，占了10.7%.甚至有些學(xué)生以為題目出錯(cuò)了，把題目中的周長(zhǎng)改為半徑.究其原因，這或許受制于被試在小學(xué)通常用字母r表示圓的半徑的影響，一味地、機(jī)械認(rèn)為r只能表示半徑，對(duì)字母r可以表示任意未知量還存在困難，沒有達(dá)到字母可以“表示一類量”的認(rèn)知水平，因此這部分學(xué)生對(duì)字母意義的理解與運(yùn)用還停留在簡(jiǎn)寫代數(shù)的記數(shù)水平.

采用解法(ii),即把r看作已知量周長(zhǎng)，并得到正確結(jié)果的七年級(jí)學(xué)生有16人，占53.3%；高一年級(jí)有21人，占70%.值得注意的是，在大多數(shù)學(xué)生采用的解法(ii)中，r既表示已知量周長(zhǎng)、同時(shí)又表示未知量半徑，這或許說明這部分七年級(jí)和高一學(xué)生對(duì)用字母表示數(shù)中的已知量和未知量都有一定的認(rèn)知，但同時(shí)受小學(xué)一個(gè)字母常常表示一個(gè)特定的數(shù)的影響，對(duì)于字母作為“記數(shù)符號(hào)→表示未知量→表示一類量”3個(gè)層級(jí)意義的區(qū)別與聯(lián)系的認(rèn)知還不夠明確與清晰，以致在具體的情景中涉及用字母表示數(shù)去解決問題時(shí)，往往容易陷入模糊不清和混亂膠著狀態(tài).

圖2高一年級(jí)使用字母情況統(tǒng)計(jì)

測(cè)試結(jié)果(iii),即沒有或者不能解答此題的被試比例如圖3和圖4中的其他所示.排除學(xué)生粗心等原因，并結(jié)合測(cè)試結(jié)果(i)中“將字母r當(dāng)作半徑的理解, 甚至有些學(xué)生以為題目出錯(cuò)了，把題目中的周長(zhǎng)改為半徑”的做法，這一方面折射出學(xué)生心目中r這個(gè)字母的特定意義對(duì)認(rèn)知和理解具體問題(這里表現(xiàn)為本測(cè)試題)中字母r的意義形成負(fù)面干擾，導(dǎo)致被試不知所措、無從下手；同時(shí)也反映了這部分學(xué)生對(duì)字母表示數(shù)的認(rèn)知水平停留在“一個(gè)字母只能代表一個(gè)確定的量”的認(rèn)知水平.這與歷史上曾經(jīng)只用某個(gè)字母表示一個(gè)特定的量不謀而合、具有相似性.

總之，七年級(jí)有近五成、高一年級(jí)有三成的被試對(duì)于字母r可以表示任意一類量的認(rèn)知存在困難，沒有達(dá)到字母可以表示一類量的認(rèn)知水平；高一年級(jí)相對(duì)七年級(jí)學(xué)生，把r看作已知量周長(zhǎng)并得到正確結(jié)果的學(xué)生數(shù)提高了近20個(gè)點(diǎn).這清楚地表明，學(xué)生隨著學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的豐富、年級(jí)的遞增，對(duì)字母表示數(shù)的認(rèn)知與運(yùn)用得到了提升和發(fā)展，整體上符合人類對(duì)“用字母表示數(shù)”意義的認(rèn)知呈循環(huán)反復(fù)、螺旋狀緩慢上升的過程.

4.3問題3的測(cè)試結(jié)果及分析

測(cè)試結(jié)果包括如下3類：

(i) 文字代數(shù)解法：文字表達(dá).

七年級(jí)和高一年級(jí)對(duì)應(yīng)的文字代數(shù)解法：把這兩個(gè)數(shù)的和和差加起來，設(shè)其中一個(gè)數(shù)為x，另一個(gè)數(shù)為y，那么x+y和x-y加起來可以寫成x+y+x-y，化簡(jiǎn)為2x,2x就等于這兩個(gè)數(shù)的和加差，把這個(gè)方程化簡(jiǎn)出來就得到了x,再用這兩個(gè)數(shù)的和減去x的值就等于y.(注：題目中已知兩個(gè)數(shù)的和與差)

(ii)簡(jiǎn)寫代數(shù)的解法，以丟番圖的解法為例：設(shè)兩數(shù)之和為m，兩數(shù)之差為n，設(shè)較小數(shù)為x，則較大數(shù)為x+n，據(jù)題設(shè)有2x+n=m，所以較小數(shù)為(m-n)/2，較大數(shù)為(m+n)/2.

學(xué)生對(duì)應(yīng)的解法：

甲-乙=19,甲+乙=29，

設(shè)乙為x；當(dāng)甲-乙=19時(shí)，則甲=乙+19.又甲+乙=29.即(乙+19)+乙=29,(x+19)+x=29,2x=29-19,2x=10,x=5.所以甲=乙+19=5+19=24.答:乙為5，甲為24.

(iii)符號(hào)代數(shù)的解法，以韋達(dá)的解法為例：設(shè)兩數(shù)之和為a，兩數(shù)之差為b，其中a、b為常數(shù)，又設(shè)大數(shù)為x，小數(shù)為y，則有x+y=a，x-y=b構(gòu)成方程組，解得x=(a+b)/2；y=(a-b)/2.

七年級(jí)和高一年級(jí)被試對(duì)問題4具體解法的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖5和圖6所示.其中，使用文字代數(shù)解法(i)的七年級(jí)學(xué)生有4人、占13.3%，高一只有1人、占3.6%.高中生接觸較長(zhǎng)時(shí)間的簡(jiǎn)寫代數(shù)和符號(hào)代數(shù)后，依然有少部分學(xué)生用文字?jǐn)⑹龅姆绞浇鉀Q該問題，說明少部分學(xué)生與學(xué)生整體認(rèn)知水平的差異客觀存在.

采用丟番圖解法(ii)的七年級(jí)中僅有兩2人，占比7%.究其原因，或許因?yàn)槠吣昙?jí)學(xué)生的學(xué)習(xí)限于一元一次方程解法，對(duì)于二元一次方程組簡(jiǎn)寫代數(shù)和符號(hào)代數(shù)的解法尚未系統(tǒng)學(xué)習(xí)，客觀上存在困難.高一年級(jí)則沒有人使用這種方法，他們更傾向于運(yùn)用符號(hào)代數(shù)中的韋達(dá)法，整體而言符合高初中學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律和水平.

采用韋達(dá)解法(iii)的七年級(jí)學(xué)生數(shù)為0，高一年級(jí)有26人、占被試的92.9%.究其原因，或許因?yàn)槠吣昙?jí)尚未學(xué)習(xí)解二元一次方程組，而高中生則在八年級(jí)系統(tǒng)學(xué)習(xí)了二元一次方程組的代數(shù)解法，采用韋達(dá)的符號(hào)代數(shù)解法相對(duì)駕輕就熟、便捷簡(jiǎn)單.

總體測(cè)試結(jié)果顯示，七年級(jí)只有極少數(shù)(20%)的被試能用文字代數(shù)和丟番圖法解決此題，但完全沒有呈現(xiàn)符號(hào)代數(shù)的策略與方法，考慮到七年級(jí)學(xué)生尚未學(xué)習(xí)含兩個(gè)未知量的方程，大多數(shù)被試不能解決此問題(即圖5中的其他)，其表現(xiàn)與其認(rèn)知發(fā)展水平一致.高一年級(jí)則有九成多的被試采用了韋達(dá)法成功解決問題，僅有一位學(xué)生未能解答此題.整體而言再次印證了隨著學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的豐富、年級(jí)的遞增，學(xué)生對(duì)字母表示數(shù)的認(rèn)知和運(yùn)用得到了顯著提升和發(fā)展.

5結(jié)論與思考

“用字母表示數(shù)” 意義的演進(jìn)伴隨代數(shù)學(xué)3 000年的發(fā)展歷程，經(jīng)歷了“表示特定的數(shù)→表示特定未知量→表示一類量(任意的已知量或未知量)”的發(fā)展過程；“用字母表示數(shù)”的發(fā)展并不是一帆風(fēng)順的，其發(fā)展路徑是緩慢、艱辛而曲折的，總體呈螺旋上升.“用字母表示數(shù)”的功能在人類探索現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系中，經(jīng)由從特殊到一般、由具體到抽象的反復(fù)認(rèn)知與發(fā)展過程才得以逐步推進(jìn)和完善.

測(cè)試結(jié)果表明，七年級(jí)和高一年級(jí)的學(xué)生雖然已經(jīng)或多或少學(xué)習(xí)過符號(hào)代數(shù)，但是對(duì)應(yīng)于“用字母表示數(shù)”3個(gè)發(fā)展階段的3種方法仍然出現(xiàn)在這兩個(gè)學(xué)段學(xué)生的解法中，為數(shù)不少的七年級(jí)和高一年級(jí)學(xué)生對(duì)“字母表示數(shù)”的理解與運(yùn)用還停留在文字代數(shù)和簡(jiǎn)寫代數(shù)階段，對(duì)字母意義的認(rèn)知水平大多停留在記數(shù)符號(hào)和未知量的水平.特別地，對(duì)于符號(hào)代數(shù)的“一類量”思想無論是七年級(jí)還是高一年級(jí)學(xué)生都存在認(rèn)知困難，但是隨著年級(jí)遞增,尤其到高一年級(jí)，學(xué)生理解和運(yùn)用字母表示“一類量”的思想解決問題的能力顯著增強(qiáng).

綜上對(duì)比發(fā)現(xiàn)，中學(xué)生對(duì)“用字母表示數(shù)”的認(rèn)知發(fā)展過程與歷史上從文字代數(shù)到符號(hào)代數(shù)“字母表示數(shù)”意義演進(jìn)的發(fā)展過程存在明顯的相似性；學(xué)生對(duì)“用字母表示數(shù)”的認(rèn)知發(fā)展與知識(shí)的歷史演進(jìn)過程一樣，并非一帆風(fēng)順、而是呈循環(huán)反復(fù)、螺旋狀緩慢上升，期間需要經(jīng)歷緩慢、曲折甚至反復(fù)的過程.研究結(jié)果印證和支持斯賓塞、波利亞、克萊因等人關(guān)于“個(gè)體知識(shí)發(fā)生過程必然遵循人類知識(shí)的發(fā)生過程”的歷史發(fā)生原理，以及蒲淑萍、汪曉勤等人的相關(guān)研究結(jié)論.

以上研究結(jié)論啟示我們，中學(xué)生對(duì)“用字母表示數(shù)”的理解與運(yùn)用不會(huì)一蹴而就、一帆風(fēng)順，學(xué)生對(duì)于用字母表示的數(shù)“從已知數(shù)到未知量，從有個(gè)限數(shù)到無限個(gè)數(shù)、進(jìn)而到一類量”每一個(gè)水平層次字母意義的認(rèn)知、理解、運(yùn)用，都是困難重重、甚至?xí)ハ喔蓴_，常常表現(xiàn)為在具體的情景中涉及用字母表示數(shù)和解決問題時(shí)，容易陷入模糊不清和混亂膠著狀態(tài).因此，在教學(xué)中教師要深入了解和把握“用字母表示數(shù)”的歷史發(fā)展脈絡(luò)，以“記數(shù)符號(hào)→表示未知量→表示一類量”這3個(gè)認(rèn)知水平的過渡環(huán)節(jié)為抓手，注重憶舊迎新，創(chuàng)設(shè)并借助豐富的問題情景，引領(lǐng)學(xué)生對(duì)新舊對(duì)象進(jìn)行比較，為“用字母表示數(shù)”每一個(gè)認(rèn)知水平層次的新知探究搭建相應(yīng)的思維臺(tái)階，用適合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的方式去設(shè)計(jì)和組織教學(xué)，以幫助學(xué)生跨越“歷史障礙”，促進(jìn)學(xué)生對(duì)“用字母表示數(shù)”的理解和掌握，提高課堂教學(xué)的質(zhì)量和效率.

來自課堂實(shí)踐的觀察還發(fā)現(xiàn)，具備數(shù)學(xué)史知識(shí)的教師比較善于在知識(shí)的具體源頭和抽象形式之間構(gòu)建通往學(xué)生理解的橋梁.在一個(gè)缺乏數(shù)學(xué)史知識(shí)的教師眼中，往往只看到一堆形式化的符號(hào)與邏輯關(guān)系，因此難以從數(shù)學(xué)知識(shí)的歷史發(fā)生視角、依據(jù)知識(shí)的發(fā)展規(guī)律來設(shè)計(jì)教學(xué)，促成學(xué)生的理解，難以引領(lǐng)學(xué)生透過數(shù)學(xué)史的獨(dú)特視角把握其中蘊(yùn)含的思維方法.可見數(shù)學(xué)史素養(yǎng)是每位數(shù)學(xué)教師必備的素養(yǎng)之一.

研究結(jié)果還在思想方法上啟示著教材編寫者，在教材的編寫中應(yīng)適度關(guān)注相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的歷史根源及變遷，適當(dāng)呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生、建構(gòu)的思想方法和背景，這樣的背景、過程和方法對(duì)于學(xué)生體會(huì)與把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)無疑是有益的.如果教材編寫時(shí)能夠兼顧歷史發(fā)生原理，這樣的教材會(huì)給予師生的教與學(xué)更多啟迪和智慧.

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收稿日期：2015-08-30

基金項(xiàng)目：國(guó)家級(jí)大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練項(xiàng)目(1427815032)；廣東第二師范學(xué)院教授博士專項(xiàng)科研項(xiàng)目(2013ARF21)

作者簡(jiǎn)介：陳靜安, 女，云南昆明人,廣東第二師范學(xué)院數(shù)學(xué)系教授.

中圖分類號(hào)：G 633.6

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：2095-3798(2016)03-0090-06

A Study of Historical Parallelism on Middle School Students’UnderstandingoftheLettersRepresentingNumbers

CHENJing-an1，HUANGQi-liang1，F(xiàn)ANJia-yun2，WUHong-qin1

(1.DepartmentofMathematics,GuangdongUniversityofEducation,Guangzhou,Guangdong,510303,P.R.China;2.LiupanshuiNo.7MiddleSchool,Liupanshui,Guizhou, 555300,P.R.China)

Abstract:"Letters Represent Numbers" is an important part of middle school mathematics, and also a significant stage for middle school students to learn the transition from rhetorical algebra to symbolic algebra. Sample tests for the Seventh Grade students and Senior Grade One students on their understanding of "Letters Represent Numbers" have been conducted. The results indicated that the development process of students′understanding of "Letters Represent Numbers" is similar to the historical evolvement process of the meaning of "Letters Represent Numbers" itself. Such similarity is essential to assist the preparation of teaching method and learning materials that are related to the topic of "Letters Represent Numbers".

Key words:to represent numbers in letters; rhetorical algebra; syncopated algebra; symbolic algebra; historical parallelism