代建偉

《中小學(xué)數(shù)學(xué)》（初中版）第12期中刊登了陳志軍老師的《都是“中點(diǎn)”惹的禍》，陳老師對(duì)中考試題的研究非常深入細(xì)致，對(duì)中考試題的練習(xí)研究非常到位，值得我們學(xué)習(xí).筆者想借陳老師的話題談?wù)勛约旱囊恍┫敕?，不?dāng)之處希望各位專家批評(píng)指正.

陳師先研究了2008年北京市高級(jí)中等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)試題第19題的解答，陳老師把這道題叫做原題.

題目1：（2008·北京）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)O在AB上，以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的圓與AC、AB分別交于點(diǎn)D、E，且∠CBD=∠A.

（1）判斷直線BD與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）若AD∶AO=8∶5，BC=2，求⊙O的直徑.

然后研究了2011年廣東省湛江市中考數(shù)學(xué)試卷第25題（筆者查到的資料是第27題），陳老師把這道題叫做改編題.

題目2：（2011·湛江）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，且∠A+∠CDB=90°，過(guò)點(diǎn)A，D作⊙O，使圓心O在AB上，⊙O與AB交于點(diǎn)E.

（1）求證：直線BD與⊙O相切；

（2）若AD∶AE=4∶5，BC=6，求⊙O的直徑.

題目2是在題目1的基礎(chǔ)上改編的，陳老師對(duì)題目2進(jìn)行了認(rèn)真研究，對(duì)題目2的（2）做出了三種矛盾的答案（筆者認(rèn)為也是一種情況，只不過(guò)是沒(méi)有用“中點(diǎn)”這個(gè)條件做出的答案）.筆者對(duì)陳老師的解法進(jìn)行了研究，這三種解法確實(shí)沒(méi)有問(wèn)題，都是從已知出發(fā)的，解題的根據(jù)也是正確的，解題過(guò)程也是符合邏輯的.從兩道題目的形式來(lái)看，題目2多了條件“點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)”，陳老師認(rèn)為都是“中點(diǎn)”惹的禍，不用條件“點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)”能求出AE=.這樣的條件能不能隨意添加？添加這樣條件的后果是什么？筆者在陳老師研究的基礎(chǔ)上進(jìn)行了思考，發(fā)現(xiàn)這道題目的條件“點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)”和條件“AD∶AE=4∶5”是相互矛盾的，這兩個(gè)條件中有一個(gè)是多余的，只要留其中一個(gè)條件，即可求出⊙O的直徑.

筆者對(duì)這道題的思考如下：

假設(shè)點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，設(shè)AD=a，則DC=a，AC=2a.

易知，△ADE∽△ACB；

所以BC=AC·DC=a·2a=2a，

所以BC=a

AB===a

AE=AB=a

AD∶AE=a∶a=2∶=∶3≠4∶5

由此得出矛盾，說(shuō)明這兩個(gè)條件是矛盾的，是一道錯(cuò)題，這就是題目2的（2）做出三種矛盾答案的原因.這道題怎樣修改比較合理呢？筆者對(duì)這道題提出了兩種修改方法.

修改方法1：去掉條件“點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)”.

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，且∠A+∠CDB=90°，過(guò)點(diǎn)A，D作⊙O，使圓心O在AB上，⊙O與AB交于點(diǎn)E.

（1）求證：直線BD與⊙O相切；

（2）若AD∶AE=4∶5，BC=6，求⊙O的直徑.

這樣修改后，已知條件和題目1相似，解題思路和題目1的解法相似.計(jì)算結(jié)果也就是陳老師所說(shuō)的“如果不添加條件‘點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，那么通過(guò)計(jì)算可以得出⊙O的直徑AE=”.

修改方法2：去掉條件AD∶AE=4∶5.

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，且∠A+∠CDB=90°，過(guò)點(diǎn)A，D作⊙O，使圓心O在AB上，⊙O與AB交于點(diǎn)E.

（1）求證：直線BD與⊙O相切；

（2）若BC=6，求⊙O的直徑.

這樣修改后條件也是充分的，由前面推理和已知可得：

BC=a=6，所以a=3，

所以AE=AB=a=×3=3.

中考命題可以改編一些舊題，但是不能隨意改編，不能主觀臆斷，給出的條件不能矛盾，不然就是一道錯(cuò)題.