唐曉偉

(1.齊魯師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，山東 濟(jì)南 250200；2.山東師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 濟(jì)南 250014)

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一類脈沖捕食微分系統(tǒng)周期解的局部穩(wěn)定性分析

唐曉偉1 ,2*

(1.齊魯師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，山東 濟(jì)南 250200；2.山東師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 濟(jì)南 250014)

本文通過建立轉(zhuǎn)換集并引入映射結(jié)構(gòu)研究了一類脈沖捕食微分系統(tǒng)周期解的局部穩(wěn)定性，給出了其周期解局部穩(wěn)定性分析的充分條件，克服了因脈沖影響而帶來(lái)的系統(tǒng)不連續(xù)的困難。

周期解；穩(wěn)定性；脈沖

在對(duì)生物種群的管理和利用中，維持種群的生態(tài)平衡至關(guān)重要。通常人們會(huì)采取一些措施以保證種群維持最佳的狀態(tài)，例如通過收獲或投放一定數(shù)量的目標(biāo)物種等。人們對(duì)種群管理和利用的目的與程度不同會(huì)導(dǎo)致對(duì)種群的干預(yù)手段也不同，這些干預(yù)手段可以是連續(xù)性的也可以是間斷性的。間斷性的干預(yù)手段相對(duì)于種群的整個(gè)生存過程是短暫的，瞬時(shí)的，但是對(duì)種群的影響是不容忽視的。因此，用連續(xù)種群動(dòng)力系統(tǒng)來(lái)描述種群的動(dòng)力學(xué)行為是不夠的，在連續(xù)種群動(dòng)力系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，通過增加符合實(shí)際的脈沖條件建立脈沖種群動(dòng)力系統(tǒng)[1-3]，用脈沖種群動(dòng)力系統(tǒng)來(lái)研究種群動(dòng)力學(xué)行為的復(fù)雜性和多樣性更符合現(xiàn)實(shí)情況的需要。

脈沖捕食微分系統(tǒng)是一類常見的脈沖種群動(dòng)力系統(tǒng)[2-3]，很多學(xué)者致力于其周期解的穩(wěn)定性研究[3-8]。文獻(xiàn)[8]利用常微分方程的定性理論和幾何方法給出了具有狀態(tài)脈沖的脈沖種群微分系統(tǒng)周期解存在性的結(jié)果。文獻(xiàn)[9]在研究不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為時(shí)，提出了一種基于轉(zhuǎn)換平面和映射結(jié)構(gòu)的方法，這種方法在研究周期解的穩(wěn)定性時(shí)只需根據(jù)周期解所滿足的微分系統(tǒng)，建立映射結(jié)構(gòu)，通過映射結(jié)構(gòu)所決定的廣義特征值就能確定周期解的局部穩(wěn)定性和分支情況，克服了脈沖影響造成的系統(tǒng)在脈沖點(diǎn)處不連續(xù)的困難。在此基礎(chǔ)上，本文利用映射結(jié)構(gòu)研究一類具有狀態(tài)脈沖的兩種群捕食微分系統(tǒng)周期解的局部穩(wěn)定性和分支情況，給出了系統(tǒng)周期解局部穩(wěn)定性和分支情況判斷的充分條件。

1　預(yù)備知識(shí)和基本結(jié)果

考慮如下的兩種群捕食微分系統(tǒng)：

(1)

式(1)可以用來(lái)描述捕食者與被捕食者之間的相互作用,其中x(t)表示被捕食者的種群密度,y(t)表示捕食者的種群密度,a>0為被捕食者的增長(zhǎng)率,d>0為捕食者的死亡率,r≥0為種群競(jìng)爭(zhēng)系數(shù),b>0為捕食者的捕食率,c>0為被捕食者轉(zhuǎn)化為捕食者的轉(zhuǎn)化率。

(2)

由于相鄰區(qū)域Ωi,Ωj的邊界均為直線,故由Albert C.J.Luo[9]的流轉(zhuǎn)換理論,給出如下定理。

定理1若系統(tǒng)(1)滿足(H1),則系統(tǒng)(1)的從Ω1出發(fā)的軌線必將都進(jìn)入Ω2,從Ω2出發(fā)的軌線必將都進(jìn)入Ω3,從Ω3出發(fā)的軌線必將都進(jìn)入Ω4,從Ω4出發(fā)的軌線必將都進(jìn)入Ω1。

證明相鄰區(qū)域Ωi,Ωj的邊界?Ωij的法向量分別為

設(shè)系統(tǒng)(1)從Ω1出發(fā)的軌線在時(shí)刻tm到達(dá)邊界?Ω12,此時(shí)

nΤ?Ω12·F(1)(X(tm-))

=x(tm-)·(a-rx(tm-)-by(tm-))<0。

同時(shí),nΤ?Ω12·F(2)(X(tm+))<0,其中tm-表示此時(shí)軌線位于Ω1內(nèi),tm+表示此時(shí)軌線位于Ω2內(nèi),故從Ω1出發(fā)的軌線若到達(dá)邊界?Ω12,則必進(jìn)入?yún)^(qū)域Ω2。

另一方面,我們證明從Ω1出發(fā)的軌線若能在時(shí)刻tn到達(dá)邊界?Ω14,則其必不能穿過?Ω14。此時(shí)

=(-r)·[x(tn-)·(a-rx(tn-)-by(tn-))]-

by(tn-)·[cx(tn-)-d]<0,

同樣的,可以證明從Ω2出發(fā)的軌線必將都進(jìn)入Ω3,從Ω3出發(fā)的軌線必將進(jìn)入Ω4,從Ω4出發(fā)的軌線必將都進(jìn)入Ω1。

2　主要結(jié)果及其證明

當(dāng)被捕食者的密度x到達(dá)被捕食者種群最大容量ET時(shí),可以采取人工捕捉被捕食者或投放捕食者的控制措施,以達(dá)到保持生態(tài)平衡的目的。于是,考慮如下的具有狀態(tài)脈沖的脈沖捕食微分系統(tǒng):

(3)

其中00。

定理2[10]若系統(tǒng)(3)有周期解,且滿足(H1)和如下的(H2), (H3),其中

則系統(tǒng)(3)的周期解是唯一的。

定理3若系統(tǒng)(3)滿足假設(shè)(H1),那么其周期解的局部穩(wěn)定性分析可由廣義特征值理論得到。

Σ={(x,y)|x=ET,y>0}。

于是映射Pi的控制方程為:

(4)

(5)

滿足P(ET,y)=(ET,y),(ET,y)是轉(zhuǎn)換集Σ中的一點(diǎn),i=1,2,…，k。對(duì)于擾動(dòng)ΔZi=Δ(xi,yi)Τ,周期解Z(t)穩(wěn)定性分析的變分方程為ΔZi+NT=DP·ΔZi,其中T表示Z(t)的周期,N為正整數(shù),

由(4)和(5),可作出復(fù)合映射DP的廣義特征方程為det(DP-λE)=0,其中E為單位矩陣,求出周期運(yùn)動(dòng)Z(t)的廣義特征值λ1,λ2,由λ1,λ2的符號(hào)及模的大小可得如下結(jié)論:

(i) 若λ1,λ2的模均小于1,則系統(tǒng)(3)的周期解Z(t)是穩(wěn)定的;

(ii) 若λ1,λ2中至少有一個(gè)模大于1,則系統(tǒng)(3)的周期解Z(t)是不穩(wěn)定的;

(iii) 若λ1,λ2中一個(gè)為1,而另一個(gè)在單位圓內(nèi),則系統(tǒng)(3)的周期解Z(t)存在鞍結(jié)分支;

(iv) 若λ1,λ2其中一個(gè)為-1,而另一個(gè)在單位圓內(nèi),則系統(tǒng)(3)的周期解Z(t)存在倍周期分支;

(v) 若λ1,λ2為一對(duì)共軛復(fù)根,且模為1,則系統(tǒng)(3)的周期解Z(t)存在Neimark分支；

(vi) 若λ1,λ2中至少一個(gè)為0,此時(shí)為退化情形。

證畢。

[1] 陳蘭蓀,宋新宇,陸征一.數(shù)學(xué)生態(tài)模型與研究方法[M].成都:四川科技出版社,2003.

[2] 郭紅建,李景杰,宋新宇.一類具有常數(shù)脈沖投放的三種群捕食系統(tǒng)[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2006,36(18):223-228.

[3] HUANG Mingzhan ,SONG Xinyu ,GUO Hongjian, et al.Study on species cooperative systems with impulsive state feedback control[J]. Journal of Systems Science and Mathematical Sciences,2012,32(3):265-276.

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[5] Kuang Y. Differential equations with applications in population dynamics[M].San Diego: Academic PressINC,1993.

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[10]宋新宇,郭紅建,師向云.脈沖微分方程理論及其應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2011:225-226.

(責(zé)任編輯：周曉南)

Local Stability Analysis of the Periodic Solutions for an Impulsive Predator-Prey Differential Systems

TANG Xiaowei1, 2

(1.Mathematical School, Qilu Normal University, Jinan 250200, China;2. School of Mathematical Science, Shandong Normal University, Jinan 250014, China)

The local stability of periodic solution for a class of impulsive predator- prey differential systems was studied by setting up transition sets and mapping structures. Sufficient conditions for the local stability analysis of the periodic solutions were given, which overcome the difficulty of the discontinuity caused by impulsive effects.

periodic solutions; stability; impulse

A

1000-5269(2016)03-0001-03

10.15958/j.cnki.gdxbzrb.2016.03.01

2015-10-20

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目資助(11571082)；齊魯師范學(xué)院校級(jí)青年教師項(xiàng)目資助(2014L1002)

唐曉偉(1983-)，女，講師，碩士，研究方向：微分方程穩(wěn)定性，Email：dangmy@163.com.

唐曉偉，Email：dangmy@163.com.

O175.14