湖南省長沙市雅禮教育集團南雅中學(xué) (410129)
石向陽
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函數(shù)中雙變量的任意與存在混搭的等式問題
湖南省長沙市雅禮教育集團南雅中學(xué)(410129)
石向陽
近幾年高考,函數(shù)中雙變量的任意與存在混搭的等式問題,越來越受命題人的青睞.對于這類問題,學(xué)生很是困惑.下面就此類問題總結(jié)歸納如下:
命題1 ?x1∈A,?x2∈B,使得f(x1)=g(x2)成立?f(x)的值域包含于g(x)的值域?{f(x)|x∈A}?{g(x)|x∈B}.
命題2 ?x1∈A,?x2∈B,都有f(x1)=g(x2)成立?等價于f(x)的值域等于g(x)的值域?{f(x)|x∈A}={g(x)|x∈B}.
命題3 ?x1∈A,?x2∈B,使得f(x1)=g(x2)成立?f(x)的值域與g(x)的值域相交非空 ?{f(x)|x∈A}∩{g(x)|x∈B}≠?.
命題4 ?x1∈A,?x2∈B,都有f(x1)≠g(x2)成立?f(x)的值域與g(x)的值域相交為空集?{f(x)|x∈A}∩{g(x)|x∈B}=?.
從集合子集的定義、集合相等的定義、集合交集的定義,不難理解上述命題的合理性.有了這些命題的幫助,我們能很好地破解與此相關(guān)的一些難題.
解:當(dāng)x<0時,有q′(x)=f′(x)=3x2-2(k2-k+1)x+5;當(dāng)x>0時,有q′(x)=g′(x)=2k2x+k,因為當(dāng)k=0時不合題意,因此k≠0.
下面討論k≠0的情形,記A={g′(x)|x>0},B={f′(x)|x<0,則A=(k,+∞),B=(5,+∞).
(ⅰ)當(dāng)x1>0時,q′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以要使q′(x2)=q′(x1)成立,只能x2<0,由命題1知A?B,因此有k≥5;
(ⅱ)當(dāng)x1<0時,q′(x)在(-∞,0)在上單調(diào)遞減,所以要使q′(x2)=q′(x1)成立,只能x2>0,由命題1知B?A,因此k≤5.
綜合(ⅰ)(ⅱ)k=5.
當(dāng)k=5時有A=B.則?x1<0,q′(x1)∈B=A,即?x2>0,使得q′(x2)=q′(x1)成立,因為q′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以x2的值是唯一的;同理,?x1<0,即存在唯一的非零實數(shù)x2(x2≠x1),要使q′(x2)=q′(x1)成立.
所以k=5滿足題意.
(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和值域;
(Ⅱ)設(shè)a≥1,函數(shù)g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1],若對于任意x1∈[0,1],總存在x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立,求a的取值范圍.
(Ⅱ)對函數(shù)g(x)求導(dǎo),得g′(x)=3(x2-a2).因為a≥1,當(dāng)x∈(0,1)時,g′(x)<3(1-a2)≤0.因此當(dāng)x∈(0,1)時,g(x)為減函數(shù),從而當(dāng)x∈[0,1]時有g(shù)(x)∈[g(1),g(0)].又g(1)=1-2a-3a2,g(0)=-2a,即x∈[0,1]時有g(shù)(x)∈[1-2a-3a2,-2a].
例3已知函數(shù)f(x)=x-4,g(x)=x3-3a2x-2a(其中a≥1),
(Ⅰ)若對于任意x1∈[0,2],x2∈[0,1],都有f(x1)=g(x2)成立,求a的取值范圍.
(Ⅱ)若存在x1,x2∈[0,1]使得f(x1)=g(x2)成立,求a的取值范圍.
解:(Ⅰ)當(dāng)x∈[0,2]時,f(x)單調(diào)遞增,所以f(x)∈[f(0),f(2)]即f(x)∈[-4,-2].由例2知g(x)∈[1-2a-3a2,-2a].
由命題2知,f(x)的值域等于g(x)的值域?[1-2a-3a2,-2a]=[-4,-2].即
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知f(x)∈[f(0),f(1)]=[-4,-3],g(x)∈[1-2a-3a2,-2a],由命題3知問題轉(zhuǎn)化為[-4,-3]∩[1-2a-3a2,-2a]≠?.當(dāng)a≥1時有1-2a-3a2≤-4,所以只需-2a≥-4,即a≤2.又a≥1,所以1≤a≤2.
設(shè)h(x)=f′(x)+2ax=3x2+2x-a(a+2),當(dāng)x∈[-1,1]時,h(x)∈[-a2-2a+1,5-a2-2a].
幾點補充說明:
(1)雙變量中任意與存在性混搭的等式問題,可轉(zhuǎn)為兩個函數(shù)的值域問題;
總之,雙變量中任意與存在混搭等式問題,實質(zhì)是研究相應(yīng)函數(shù)值域問題,把任意與存在混搭等式問題化歸為值域問題是解決問題的關(guān)鍵所在.