龐良緒

(上海市市西中學,200040)

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以平面向量為背景的數(shù)列問題

龐良緒

(上海市市西中學,200040)

平面向量作為代數(shù)與幾何的紐帶,具有代數(shù)與幾何的雙重身份,素有“與解幾交匯,與立幾聯(lián)姻,與代數(shù)牽手”之美稱.平面向量與數(shù)列問題的綜合及應用通常涉及到向量夾角、平行、垂直、共線、共點等問題的處理,目標是將問題坐標化,符號化,數(shù)量化,從而將推理轉化為運算.以平面向量為背景的數(shù)列問題由于綜合性較強,因此對培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維和創(chuàng)新意識都有一定的幫助.

一、以向量夾角為背景構造等比數(shù)列

(1)求向量an+1與an的夾角;

∴a1∥a3∥a5∥a7∥…

令b1=a1,b2=a3,…,bn=a2n-1(n∈N*)，顯然

解(1)∵ |an+1|

∴數(shù)列{|an|}是等比數(shù)列.

∴a1∥a5∥a9∥a13∥….

借助圖象及相鄰兩向量夾角,知a1∥a5∥a9∥a13∥…，且a1、a5、a9、a13、…相鄰兩個向量方向相反,

二、以向量垂直為載體，構造等差數(shù)列

例2已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和,a=(Sn,1),b=(-1,2an+2n+1),a⊥b.

解(1)∵a⊥b,

∴-Sn+2an+2n+1=0，

①

-Sn+1+2an+1+2n+2=0.

②

①-②，得an+1=2an-2n+1,

∴an=-(n+1)·2n,

∴bn=(2 015-n)·2n.

∴2 013≤n≤2 014,

∴bn的最大項為b2 013=b2 014,

∴n0=2 013或2 014.

評注本題關鍵銜接轉換點是由a⊥b得a·b=0,建立Sn與an的關系式.

三、以共線向量為紐帶巧得三點共線

評注本題看似貌不驚人,但是它巧妙地把數(shù)列與平面向量整合在一塊,運用三點共線得到解決,同時也體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想方法.

四、以向量運算為先導結合面積之差得通項

(2)若四邊形AnBnBn+1An+1的面積構成數(shù)列{an},求{an}(n∈N*)的通項公式.

=j+(i+j)=i+2j=(1,2),

=2i+3j=(2,3),

=j+(n-1)(i+j)=(n-1,n),

∴An(n-1,n),它滿足直線方程y=x+1,因此點An在直線y=x+1上.

設直線y=x+1交x軸于P(-1,0),則

an=S?PAn+1Bn+1-S?PAnBn

評注解決本題的關鍵是實現(xiàn)向量語言的轉化,借助于向量和運算的坐標形式使問題得到解決.

本文通過例題揭示了平面向量與數(shù)列問題的融合,也體現(xiàn)了知識間的相互融合相互貫通,可見在高三的數(shù)學復習中應加強平面向量與立體幾何、解析幾何、三角函數(shù)等知識的綜合應用.

(*)