湯愛民

(江蘇省鹽城師范學院第一附屬中學，224002)

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在“猜想、驗證、證明”中獲得
——以“函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)”教學片段為例

湯愛民

(江蘇省鹽城師范學院第一附屬中學，224002)

日前,筆者有幸代表學校參加鹽城市市區(qū)學校優(yōu)質(zhì)課比賽.比賽采取微課的形式,指定教學內(nèi)容為“函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)”的一個片段,時間不超過15分鐘．蘇教版“函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)”教材內(nèi)容只給出了一個引例及函數(shù)和、差、積、商的求導法則和兩個例題．分析教材后,筆者認為這節(jié)課的重點是函數(shù)和、差、積、商的求導法則的運用,難點是函數(shù)的積的求導法則的推導,因此決定選擇“函數(shù)的積的求導法則”這一片段參賽．現(xiàn)將教學設(shè)計整理如下，以供參考.

一、類比猜想,啟發(fā)思考

我們剛才通過猜想并用導數(shù)的定義法驗證了:兩個函數(shù)的和(差)的導數(shù),等于這兩個函數(shù)的導數(shù)的和(差),即

[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x).

那么,問: [f(x)g(x)]′與f′(x)和g′(x)有什么樣的關(guān)系呢?

學生猜想后,繼續(xù)問:

[f(x)g(x)]′=f′(x)g′(x)

是否正確?

設(shè)計意圖此設(shè)計意在充分暴露學生的思維.受函數(shù)和(差)求導法則的影響,學生很容易猜想得出[f(x)g(x)]′=f′(x)g′(x)．引導學生運用x·x2這個反例來說明上面的猜想“[f(x)g(x)]′=f′(x)g′(x)”是錯誤的,防止知識負遷移．

問:剛才同學們猜想[f(x)g(x)]′與f′(x)和g′(x)的關(guān)系為[f(x)g(x)]′=f′(x)g′(x)．事實上,我們通過x·x2驗證出[f(x)g(x)]′=f′(x)g′(x)這一猜想是錯誤的．那么,[f(x)g(x)]′與f′(x)和g′(x)究竟是什么樣的關(guān)系呢?

二、問題探究,引出猜想

以函數(shù)f(x)=x和g(x)=x2為例,請同學們觀察:

xx2

12x

與

3x2([f(x)g(x)]′)

之間的關(guān)系．

學生從“系數(shù)”和“項”兩個方面很容易觀察出上面的樣式與“十字相乘法”十分相似,所以可以得出下面的關(guān)系式:

從而猜想出:

f′(x)g(x) +f(x)g′(x)

=[f(x)g(x)]′ .

①

三、實例檢驗,鞏固猜想

現(xiàn)在,我們觀察下表第2、第3列,看看是否滿足①式結(jié)論．

例1請同學們填寫下表：

f(x)g(x)x3x4x4函數(shù)f(x)=x,g(x)=x2f(x)=x2,g(x)=x2f(x)=x3,g(x)=x導數(shù)f(x)=1,g'(x)=2x[f(x)g(x)]'3x2

解填表如下：

f(x)g(x)x3x4x4函數(shù)f(x)=x,g(x)=x2f(x)=x2,g(x)=x2f(x)=x3,g(x)=x導數(shù)f'(x)=1g'(x)=2xf'(x)=2xg'(x)=2xf'(x)=3x2,g'(x)=1[f(x)·g(x)]'3x24x34x3

那么,[f(x)g(x)]′與f′(x)和g′(x)的關(guān)系是否就是[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)?

設(shè)計意圖通過拆分x4為兩函數(shù)積的形式,驗證上面的猜想,讓學生在特例檢驗的過程中對函數(shù)積的求導法則的結(jié)構(gòu)有更深入的了解．

四、證明猜想,得出結(jié)論

對一般情形的猜想,同樣需要嚴格的證明來驗證它的正確性．

證明設(shè)y=f(x)g(x)，則

-f(x)g(x+Δx)

+f(x)g(x+Δx)-f(x)g(x) ].

②

的形式,以便使證明過程方便進行下去.

于是，

+f(x)[g(x+Δx)-g(x)]}

當Δx→0時,由上式可得

[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)

+f(x)g′(x)．

因此,我們有函數(shù)積的求導法則:

[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)

+f(x)g′(x).

特別地,當函數(shù)g(x)=C,C為常數(shù)時,有

[Cf(x)]′=Cf′(x)．

設(shè)計意圖將Cf(x)的求導法則調(diào)整到函數(shù)積的求導法則后面講解,學生更容易理解．

五、當堂檢測,鞏固概念

例2求下列函數(shù)的導數(shù):

(1) f(x)=xsin x;

(2) f(x)=(2x2+3)(3x-2)．

設(shè)計意圖第(2)問沒有照搬課本題目,主要考慮到:一是幫助學生運用函數(shù)積的求導法則;二是對原函數(shù)進行整理,運用函數(shù)和的求導法則解決問題,培養(yǎng)學生轉(zhuǎn)化的思想,幫助學生樹立整體觀念．

六、回顧反思,總結(jié)提升

通過“猜想、驗證、證明”,學生收獲的不僅是“函數(shù)的積的求導法則”,更重要的是收獲了發(fā)現(xiàn)“函數(shù)的積的求導法則”的方法：

(1)由合情猜想引出疑問,提出對猜想結(jié)果的質(zhì)疑．

(2)通過f(x)=x、g(x)=x2和它們的導數(shù)f′(x)=1、g′(x)=2x,引導學生聯(lián)想到“十字相乘法”,發(fā)現(xiàn)1·x2+x·2x=3x2,從而重新猜想出

[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)

+f(x)g′(x).

(3)教會學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律(本質(zhì))的一般方法:

引出疑問——探究猜想——檢驗證明