麥少鳳 馮大學(xué)

[摘 要] 常規(guī)的章節(jié)復(fù)習(xí)課往往是對本章知識和方法的簡單歸納和整理，這樣對學(xué)生能力的提高作用不是十分明顯，我們嘗試在通過引導(dǎo)學(xué)生對照課本目錄進(jìn)行知識與方法的梳理過后，通過一定的線索，把已經(jīng)解決的一些問題進(jìn)行方法的提煉和提升，給學(xué)生以拓展的空間，通過對幾何計(jì)數(shù)問題的解決，再次介紹我們所倡導(dǎo)的“串題”的思想方法供各位同仁探討.

[關(guān)鍵詞] 計(jì)數(shù)；串題；幾何復(fù)習(xí)課

2011版的《課程標(biāo)準(zhǔn)》明確提出，數(shù)學(xué)教學(xué)要關(guān)注“四基”，而“四基”是指：基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗(yàn). 而其中的數(shù)學(xué)“基本思想”是關(guān)于數(shù)學(xué)科學(xué)最為根本的要旨，是數(shù)學(xué)研究的基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心所在.

初中幾何復(fù)習(xí)課不僅要復(fù)習(xí)知識點(diǎn)，幫助學(xué)生形成系統(tǒng)、清晰的知識網(wǎng)絡(luò)，更重要的是使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中主動理解和掌握數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，引起思維欲望，養(yǎng)成積極、主動、獨(dú)立的思考習(xí)慣，從而有效地促進(jìn)學(xué)生在情感、態(tài)度、價(jià)值觀等方面的全面發(fā)展. 而目前我們的幾何復(fù)習(xí)課普遍存在“重知識，輕能力；重模仿，輕思考”的現(xiàn)象，因而嚴(yán)重制約了學(xué)生的思維發(fā)展，造成學(xué)生學(xué)習(xí)興趣不足，復(fù)習(xí)效率低下的嚴(yán)重后果.

愛因斯坦曾說：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要，因?yàn)榻鉀Q一個問題也許僅是一個數(shù)學(xué)上的技巧而已.而提出新的問題、新的可能性，從新的角度去看舊的問題，卻需要創(chuàng)造力和想象力.”學(xué)習(xí)不再是“記憶”知識，而是利用已有的知識去提出更多的、更新的問題，并在問題解決中改進(jìn)原有知識的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

筆者通過多年的實(shí)踐嘗試，發(fā)現(xiàn)巧用“串題”，可以有效地提高初中幾何復(fù)習(xí)課的效率.

“串題”及其理論依據(jù)

所謂“串題”，是指將一組題目集中在一起來處理，是筆者在1993年率先提出來的一種變題訓(xùn)練（見文3），而這組題目集中的原則是：①圖形結(jié)構(gòu)在本質(zhì)上有類似的地方或在解決方法上有類似之處；②難度逐漸增大，所需知識或者解決的技巧要求逐漸增多，但解決問題的本質(zhì)方法是一樣的（相當(dāng)于“一解多題”），而且前面的題目的解決，往往對后面的題目的解決具有啟發(fā)作用；③盡可能以課本例題、習(xí)題為起始題目進(jìn)行演變.

美國哈佛大學(xué)教授加德納提出的“多元智力理論”（MultipleIntelligences）創(chuàng)建了“以問題為導(dǎo)向的教學(xué)策略”，為創(chuàng)新精神與實(shí)踐能力的培養(yǎng)提供了重要的思路和實(shí)施的方法. 應(yīng)用多元智能理論進(jìn)行教學(xué)，既可以開發(fā)學(xué)生的多元智能，又可以實(shí)現(xiàn)他的個性化發(fā)展，不僅可以使教學(xué)生動化，而且有利于教學(xué)個性化. 而在幾何復(fù)習(xí)課上運(yùn)用“串題”，可以充分體現(xiàn)以問題為導(dǎo)向的教學(xué)策略，學(xué)生通過一系列的問題串，層層深入地對問題展開思考，放飛他們的思維，并在思考中不斷強(qiáng)化對所學(xué)內(nèi)容的理解，更重要的是在這個過程中，學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力可以得到最大限度的提升.

教學(xué)過程與點(diǎn)評

環(huán)節(jié)1：翻到課本目錄第2頁，思考：這個單元學(xué)了些什么？（略）

環(huán)節(jié)2：思考：這個單元有哪些重要的思想方法和補(bǔ)充？（略）

環(huán)節(jié)3：巧用“串題”解決幾何計(jì)數(shù)問題（重點(diǎn)）.

問題1 （1）一直線上有4個點(diǎn)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段有多少條？（此題為前面做過的作業(yè)，學(xué)生通過數(shù)數(shù)的方法得到6條，在引導(dǎo)學(xué)生回憶的基礎(chǔ)上拋出第（2）問）

（2）如圖1，一直線上有n個點(diǎn)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段有多少條？

分析 第（2）問已經(jīng)沒有辦法把所有線段寫出來再數(shù)了，逼著我們必須尋求突破，重新審視第（1）問. 除了寫出來一條一條地?cái)?shù)以外，還有沒有其他辦法？于是得到本題一般性解法：每條線段有兩個端點(diǎn)，解決的突破口就在這里. 因?yàn)槊總€點(diǎn)可以和另外的一個點(diǎn)組成一條線段，這樣，每個點(diǎn)都可以和另外n-1個點(diǎn)中的每一個組成一條線段，但對于一條線段來說，可以分別從兩個端點(diǎn)來計(jì)算，故結(jié)果要除去重復(fù)計(jì)算的，應(yīng)該是n（n-1）.與此類似，平面上有n個點(diǎn)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段也是有n（n-1）條.

問題2 如圖2，平面上有n個點(diǎn)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段有多少條？

問題3 如圖3，這里一共有多少個角（這里的角是指小于或等于∠AOA的角）？

分析 其實(shí)，問題1與問題2、問題3實(shí)際上是同一個問題，答案都是n（n-1），只是“化直為曲”而已. 學(xué)生在理解透問題1的基礎(chǔ)上，問題2和問題3就不難理解了.

問題4 如圖4，n邊形的對角線有多少條？

分析 問題4與前面三個問題都是同類型問題，思想方法一樣，只是稍稍變換了一下背景，因?yàn)槿魏我稽c(diǎn)不能與它本身以及相鄰兩點(diǎn)構(gòu)成對角線，所以本題的答案變成n（n-3）. 如果學(xué)生能看出本題與前面的思想方法一致的話，那么本題同樣也不難解決.

事實(shí)上，上述幾個問題同屬一個數(shù)學(xué)模型：一般地，如果有n個元素（我們所研究的對象），每兩個元素之間構(gòu)成一次聯(lián)系，那么共有多少次聯(lián)系？在我們的學(xué)習(xí)和生活中還有很多數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題都屬于這一數(shù)學(xué)模型：如“在同一平面內(nèi)，n條直線相交，最多有多少個交點(diǎn)”“多人之間的兩兩握手（或互通電話）問題”“球類比賽中單循環(huán)賽場次問題”，等等，都屬于這個數(shù)學(xué)模型. 在初一幾何教學(xué)的時候，我們可以適當(dāng)?shù)亻_始滲透給學(xué)生這種“建模”的思想，然后隨著學(xué)習(xí)的深入，再逐步強(qiáng)化和拓展、延伸.

問題5 平面上有n個點(diǎn)，可以確定多少條直線？（課后思考作業(yè)）

分析 該問題其實(shí)是沒有答案的，但如果沒有非常認(rèn)真進(jìn)行審題的話，這道題就很容易變成有固定答案的題目，思想方法與前面一致，學(xué)生很自然而然通過類比得出n（n-1）這個結(jié)論，包括教師本身也容易做錯. 如果原題目是問“平面上n個點(diǎn)，最多可以確定多少條直線？”那么答案就是n（n-1）；但假若沒有這個限制條件的話，則就要分類，而這道題的分類是無窮無盡的. 出這道題的目的旨在讓學(xué)生學(xué)會用心審題并要養(yǎng)成縝密的思維習(xí)慣，不要理所當(dāng)然.

在學(xué)習(xí)了平行線部分的三線八角后，我們還可以再次在復(fù)習(xí)前面的內(nèi)容的基礎(chǔ)上拋出以下問題讓學(xué)生解決（既達(dá)到復(fù)習(xí)鞏固的目的，又可以讓學(xué)生體會這種解決問題的方式的奇特效應(yīng)）：

問題6 我們知道，兩條直線被第三條直線所截，可以形成4對同位角，請問：在平面上n條直線兩兩相交，無三線共點(diǎn)，可以形成多少對同位角？

分析 這題看似很難做，部分同學(xué)想歸納出來，發(fā)現(xiàn)n=3時是12，n=4時是48，沒有辦法數(shù)，更不好找規(guī)律. 其實(shí)，如果我們注意同位角的定義所指：“兩條直線被第三條直線所截，可以形成4對同位角”，我們只要能夠把這些直線這樣分開，分成一個個的“兩條直線被第三條直線所截”這樣的三線小組，問題就迎刃而解了：每條直線與另外的n-1條直線中的任意一條都可以形成一個兩條直線組合，剩下的（n-2）條中的每一條都可以來截這個兩條直線的組合. 而這樣的兩條直線組合有n（n-1）個，總的就有這樣的三線組合n（n-1）（n-2）個，同位角就有4×n（n-1）·（n-2）=2n（n-1）（n-2）個. 用這種思考方式，我們很容易得到，n條直線交于一點(diǎn)共有n（n-1）對對頂角.

給初一學(xué)生講解有關(guān)幾何計(jì)數(shù)問題往往令許多教師為難，覺得不好講，學(xué)生也不好接受. 著名數(shù)學(xué)家、首屆國家級數(shù)學(xué)名師李尚志先生在他的《數(shù)學(xué)的神韻》中所說：“人們確實(shí)認(rèn)為數(shù)學(xué)是煩瑣的、復(fù)雜的. 數(shù)學(xué)當(dāng)然有算法，算法也許是煩瑣的，具體過程更是煩瑣. 但是，指揮這些算法的想法一定是簡單的，這才是最有威力的.”

上面羅列的6個問題，其實(shí)思想方法都是相同或類似的，學(xué)生只要掌握了問題1的思想方法，接下來那些雖然看上去難度很大，或許很多初三的學(xué)生都完成不了的問題，也不見得有多么深不可測、高不可攀了. 因此，數(shù)學(xué)的幾何復(fù)習(xí)課，一定要徹底講清楚思想方法，然后再通過“串題”把相關(guān)的內(nèi)容連接起來，組成一系列的問題串，一來可以進(jìn)一步熟悉本單元需要學(xué)生掌握的數(shù)學(xué)知識和思想方法；二來也加強(qiáng)了本單元與其他知識的聯(lián)結(jié)，讓學(xué)生的知識網(wǎng)絡(luò)更廣泛、更清晰；三來，以往的復(fù)習(xí)課容易讓學(xué)生覺得沉悶缺乏新意，但現(xiàn)在的“串題”卻能讓學(xué)生興趣盎然，整節(jié)課的思維都能保持在高度活躍的狀態(tài)之下. 因此，在幾何復(fù)習(xí)課上，巧用“串題”的確能有效提高課堂效率.

總之，本堂課打破了“以講為主”的束縛，真正地做到“把課堂還給學(xué)生”，確立了學(xué)生在課堂教學(xué)活動中的主體地位，通過學(xué)生自己獨(dú)立的思考，闡述自己的思想和觀點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)問題、提出問題并解決問題，使學(xué)生形成了良好的思維品質(zhì)，提高了思維水平，發(fā)展了思維能力.通過“串題”串出的一系列問題串，培養(yǎng)學(xué)生良好的思考習(xí)慣和初步的辯證唯物主義觀點(diǎn)，更好地理解、欣賞數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新精神和獨(dú)立解決問題的能力.