郜舒竹

時下經(jīng)常聽到一種說法，就是一節(jié)課的設(shè)計在引入環(huán)節(jié)一定要有“生活情境”。因此在教科書以及各種教學(xué)設(shè)計中充斥了大量諸如購物、吃飯、裝修、乘車等所謂的生活情境。而這樣的情境某種意義上貼近的是人物質(zhì)層面的生活，并不一定符合學(xué)生思維方面的規(guī)律。

讓學(xué)生所學(xué)習(xí)的知識與其所熟悉的自然以及人的社會活動建立聯(lián)系，無疑是好的做法，但并非必須如此。因為數(shù)學(xué)課程中一些內(nèi)容的發(fā)生與發(fā)展，是遵循數(shù)學(xué)知識之間的邏輯關(guān)系而展開的。因此，在變教為學(xué)的教學(xué)改革中如何充分利用數(shù)學(xué)知識之間的邏輯關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生提出并解決自然的問題，由此開展學(xué)習(xí)活動，是一個值得研究的課題。

一、自然的問題

對于低齡兒童，常常會有“想知道”下面問題的愿望：

天上有多少顆星星？

我是從哪里來的？

鳥能夠飛上天空，而人為什么不能？

聲音能夠穿過墻讓人聽到，光線為什么不能穿過墻讓人看到？等等。

這樣的問題往往是在特定的情境中，在沒有什么行為層面的需求的情況下，意識中產(chǎn)生出“想知道”的某種愿望，這種“想知道”的愿望也可以看作是一種精神層面的需求。不妨把這樣的問題叫作“自然的問題”。

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，這種“自然的問題”會不斷涌現(xiàn)。比如，在學(xué)習(xí)了長方形面積公式后，自然就會產(chǎn)生想知道其他平面圖形面積公式的愿望，因此在平行四邊形、三角形、梯形以及圓形面積公式的教學(xué)中，未必非要有生活情境的引入，因為研究這些圖形的面積公式是繼長方形面積之后自然而然的事情。

與之不同的是對于平面圖形周長的學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)了長方形周長公式后，自然產(chǎn)生想知道其他圖形周長公式的愿望，但教科書中卻沒有出現(xiàn)平行四邊形、三角形以及梯形周長公式的內(nèi)容。因此就會出現(xiàn)想知道“為什么這些圖形沒有周長公式”的愿望。諸如此類“自然的問題”，應(yīng)當(dāng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源和內(nèi)容。

“變教為學(xué)”的教學(xué)改革是期望讓學(xué)生“學(xué)”的過程由“被動接受”變?yōu)椤爸鲃由伞?，教師“教”的過程由單一的“傳授”變?yōu)槎鄻拥摹耙l(fā)”。為此就需要充分利用學(xué)生意識中這種自然的問題，誘發(fā)學(xué)生積極主動地思考和探索。

“自然的問題”通常源于事物間的某種聯(lián)系以及人思維中的聯(lián)想。比如前面所說長方形的面積公式，揭示的是長方形的大小與制約長方形大小的要素（長和寬）之間的關(guān)系，由此自然會聯(lián)想到制約平行四邊形（三角形、梯形、圓形等）面積大小的要素是什么？平行四邊形（三角形、梯形、圓形等）面積的大小與這些要素具有什么樣的關(guān)系？

不同平面圖形的共性溝通了它們之間的聯(lián)系，從而引發(fā)了人們“由此及彼”的聯(lián)想，這樣的聯(lián)想自然而然地產(chǎn)生出要解決或者要回答的問題。因此在“變教為學(xué)”教學(xué)改革的研究中，一個重要課題是如何為學(xué)生提供或者誘發(fā)學(xué)生產(chǎn)生“自然的問題”，通過對此類問題的思考和討論，實現(xiàn)積極主動地學(xué)習(xí)。

二、相對意義的聯(lián)系與對立統(tǒng)一的規(guī)律

數(shù)學(xué)知識以及方法之間的聯(lián)系可以有諸多不同的方式，其中一種是“相對意義的聯(lián)系”，比如，如果把整數(shù)理解為描述整體與整體之間關(guān)系的語言，那么分?jǐn)?shù)就是描述整體被分割后局部與整體關(guān)系的語言；如果把正數(shù)用于描述收入的過程，那么負(fù)數(shù)就可以描述與收入過程相反的支出過程。這樣相對意義的聯(lián)系通常同時具有“對立”和“統(tǒng)一”的特征，所謂“對立”指的是一種“是與非”的關(guān)系，比如可以把分?jǐn)?shù)粗略地理解為“非整數(shù)”，負(fù)數(shù)粗略地理解為“非正數(shù)”，奇數(shù)也可以認(rèn)為是“非偶數(shù)”等等。

正是這樣對立的關(guān)系可以誘發(fā)“自然的問題”，在初步“認(rèn)識分?jǐn)?shù)”的時候，如果知道了“甲是乙的2倍”，自然的問題就是這句話反過來怎么說、怎么寫？進(jìn)而引出對“二分之一”的讀法和寫法的學(xué)習(xí)。在學(xué)習(xí)“初步認(rèn)識負(fù)數(shù)”的時候，可以模擬記賬的過程，如果用“100”表示收入100元，那么“自然的問題”就是如何表示支出100元？引起對“-100”讀法和寫法的思考。在學(xué)習(xí)奇數(shù)和偶數(shù)概念的時候，如果知道了“能被2整除的數(shù)叫作偶數(shù)”，自然就想知道“非偶數(shù)”，也就是不能被2整除的數(shù)是什么樣子？應(yīng)當(dāng)叫什么名字？從而引出奇數(shù)的概念。

數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中，具有這種相對意義聯(lián)系的概念是很多的，比如：整數(shù)與小數(shù)、質(zhì)數(shù)與合數(shù)、數(shù)與倒數(shù)、已知數(shù)與未知數(shù)，在中學(xué)乃至大學(xué)學(xué)習(xí)的還有有理數(shù)與無理數(shù)、實數(shù)與虛數(shù)、指數(shù)與對數(shù)、函數(shù)與反函數(shù)等等。在運算領(lǐng)域中，加法與減法、乘法與除法、通分與約分，中學(xué)數(shù)學(xué)課程中的乘方與開方。在圖形與幾何領(lǐng)域中類似的關(guān)系有：直線與曲線、長方形中的長和寬、有限和無限，描述數(shù)量關(guān)系的正比例和反比例等等。

相對意義的聯(lián)系除了對立的特征，通常還會有統(tǒng)一的關(guān)系，也就是對立的雙方在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化、相互制約或者相互表達(dá)。比如分?jǐn)?shù)，實質(zhì)上是用整數(shù)表達(dá)的，分?jǐn)?shù)三分之二用其符號語言寫為“”，其中的“3”和“2”都是整數(shù)，表達(dá)的含義是將一個整體平均分為3份，其中的2份與整體的關(guān)系，因此這里的兩個整數(shù)“3”和“2”就制約了分?jǐn)?shù)“”的含義。

反過來，有時也需要把整數(shù)看作分?jǐn)?shù)，比如計算分?jǐn)?shù)加法“2+”，就需要把整數(shù)“2”變?yōu)椤啊保@時的整數(shù)“2”就有了分?jǐn)?shù)的意義，即將一個整體平均分為3份，其中的6份與一個整體的關(guān)系，也即相當(dāng)于2個整體與一個整體的關(guān)系。因此分?jǐn)?shù)概念的出現(xiàn)應(yīng)當(dāng)認(rèn)為是在原有整數(shù)基礎(chǔ)上的擴(kuò)充與完善。

再比如正數(shù)與負(fù)數(shù)，如前所說，如果用正數(shù)表示收入，那么負(fù)數(shù)就表示相反的支出。但如果用正數(shù)表示支出，那么負(fù)數(shù)就表示相反的收入。這不僅顯示出正數(shù)與負(fù)數(shù)對立意義的關(guān)系，也表明了二者相互依賴和并存的關(guān)系。除此之外，正數(shù)與負(fù)數(shù)還可以相互表達(dá)以及相互轉(zhuǎn)化，這一點可以從“負(fù)負(fù)得正”，也就是“a=-（-a）”看出。

從更廣泛的意義上說，數(shù)學(xué)中的某種運算一般會有一個“逆（Inverse）”的概念，比如加法運算，對于一個數(shù)a，如果有另外一個數(shù)與數(shù)a加法運算后的結(jié)果等于0，那么這個數(shù)就叫作a相對于加法運算的逆，表示為“-a”，也就是a+（-a）=0?！?a”可以理解為對a求逆，“-（-a）”相當(dāng)于對“-a”求逆，其基本規(guī)律是“對逆求逆則復(fù)原”，也就是“-（-a）=a”。這樣的規(guī)律充分體現(xiàn)了正數(shù)與負(fù)數(shù)在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系，同時也是辯證唯物主義哲學(xué)中“否定之否定”規(guī)律在數(shù)學(xué)課程中的體現(xiàn)。

對于乘法運算也有類似的現(xiàn)象，與數(shù)a乘積等于1的數(shù)就叫作數(shù)a相對于乘法的逆，也就是小學(xué)數(shù)學(xué)中的倒數(shù)“”，其基本性質(zhì)與加法運算是類似的，一方面滿足“a×=1”，同時也滿足“對逆求逆則復(fù)原”的規(guī)律。如果把“”看作是在乘法運算中對數(shù)a求逆，那么“”就是對“1÷”求逆，其結(jié)果應(yīng)當(dāng)?shù)扔赼。事實上，如果把“”寫為除法運算“1÷”，其結(jié)果等于a就是顯而易見的。這也就表明了“數(shù)與倒數(shù)”不僅是對立的，同時也具有統(tǒng)一性。

以上內(nèi)容不僅說明了“正數(shù)與負(fù)數(shù)”以及“數(shù)與倒數(shù)”的對立統(tǒng)一關(guān)系，同時也顯示出“加法與減法”以及“乘法與除法”作為運算的對立同一關(guān)系。有了負(fù)數(shù)的概念，對于加法和減法這兩種運算完全可以統(tǒng)一為一種運算，比如“3+5-2”就可以寫為“3+5+（-2）”。同樣，有了倒數(shù)的概念，乘法和除法運算也可以統(tǒng)一為一種運算，比如“3×5÷2”可以寫為“3×5×”。

“對立統(tǒng)一”作為自然與社會發(fā)展的一般規(guī)律，在數(shù)學(xué)概念中得以充分體現(xiàn)。學(xué)生如果長期經(jīng)歷這樣的學(xué)習(xí)活動，對于逐步感悟辯證唯物主義基本思想無疑是有益的。

三、對立統(tǒng)一作為方法的方法

對立統(tǒng)一的關(guān)系是事物之間一種普遍的聯(lián)系方式，是事物發(fā)生與發(fā)展的一般規(guī)律。而對立的雙方在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化也可以視為是一種解決問題的方法，因此對立統(tǒng)一的規(guī)律還具有方法論的意義，可以成為人們思考并解決問題的指導(dǎo)思想。

數(shù)學(xué)教師經(jīng)常會教導(dǎo)學(xué)生說解決問題應(yīng)當(dāng)要掌握方法，事實上，掌握方法不僅僅是學(xué)會使用方法，還應(yīng)當(dāng)了解方法是怎么想出來的，也就是需要研究“想出方法的方法是什么”。比如面對這樣一個問題： 在平面上畫10條直線，每兩條直線都不重合，那么最多可以形成多少個交點？

缺少數(shù)學(xué)經(jīng)驗的小學(xué)生遇到這樣的問題時，通常都是在紙上嘗試去畫出10條直線，而后試圖數(shù)出交點的個數(shù)，這樣的做法很難得到正確答案，原因就是要數(shù)的交點數(shù)太多。因此，“多”就成為了解決這個問題的障礙。

事實上，如果只有2條直線或3條直線，學(xué)生通常都不會感覺困難。現(xiàn)在就出現(xiàn)了“少”就會，而“多”就不會的現(xiàn)象。因此，“多”與“少”的對立關(guān)系就成為了解決問題的基本矛盾。如何處理這一對矛盾就成為尋找解題方法的關(guān)鍵。

鑒于矛盾的雙方在一定的條件下可以互相轉(zhuǎn)化的啟示，自然應(yīng)該去尋求“多”與“少”的轉(zhuǎn)化方式。首先從最少的1條直線的情況入手，發(fā)現(xiàn)沒有交點。再考慮2條直線的情況，由于問題的已知信息要求“每兩條直線都不重合”，所以這2條直線的位置關(guān)系有兩種，一種是平行，另一種是相交。而平行的情況沒有交點，不符合已知條件中的“最多”。所以，2條直線的情況最多形成1個交點（見圖1）。

對于3條直線的情況，為了使得這種情況與前面的情況緊密聯(lián)系，應(yīng)該把3條直線的情況看作是在2條直線的基礎(chǔ)上添加1條直線。依據(jù)前面的啟發(fā)，第三條直線不能與前面的任何一條直線平行。即使如此，第三條直線的添加還會出現(xiàn)兩種情況，一種是經(jīng)過前面2條直線的交點（如圖2）。

另一種是不經(jīng)過前面2條直線的交點（見圖3）。

為了使得交點個數(shù)最多，第三條直線不能夠經(jīng)過前面兩條直線的交點。這樣就可以知道，第三條直線與前面兩條直線各有一個交點，所以3條直線的情況最多形成（1+2=3）個交點。

至此，已經(jīng)可以歸納出新的已知信息。為了滿足交點個數(shù)最多，所畫的直線必須符合如下兩個條件：

1. 每兩條直線不能平行。

2. 每三條直線不能共點。

現(xiàn)在已經(jīng)建構(gòu)出了聯(lián)系“多”與“少”的模式，這一模式可以從下表中清晰地看出來。

解決這個問題所用到的方法可以叫作“多的不會想少的”，想出它的思想基礎(chǔ)就是辯證唯物主義對立統(tǒng)一的觀點所倡導(dǎo)的“化繁為簡”，或者叫作“化未知為已知”，也就是對立統(tǒng)一的規(guī)律。

在美國阿爾法出版公司1994年出版的書名為《數(shù)學(xué)中的偉大探索》第191頁，[1]設(shè)計了一個關(guān)于估算瓶中藥粒數(shù)量的學(xué)習(xí)活動。為學(xué)生準(zhǔn)備了一瓶藥粒，一個小一些的空杯子和一個小勺子（見圖4），需要解決的問題是：利用這些工具如何能夠相對快捷、準(zhǔn)確地估計出瓶子中藥粒的數(shù)量？

目的是引導(dǎo)學(xué)生運用“化多為少”的方法，首先數(shù)出“一勺”容納多少藥粒，而后“一杯”之中含有幾勺，最后通過估計“一瓶”大約幾杯，估算出瓶中藥粒數(shù)量。這樣的學(xué)習(xí)活動能夠讓學(xué)生經(jīng)歷對于“多與少”這樣矛盾關(guān)系的思考，體驗對立統(tǒng)一的方法論思想。

參考文獻(xiàn)：

[1]Dyches Richard W. Great Explorations in Mathematics：Grades K-4. Teacher's Edition. ALPHA PUBLISHING COMPANY，Annapolis， Maryland. 1994. P191.

（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院 100048）