張莉

近段時(shí)間，學(xué)校的一位教師正在準(zhǔn)備調(diào)研課，課題是人教版（2011年版課標(biāo)教材）小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)的“小數(shù)除以整數(shù)”。因?yàn)閰⒓恿四フn的過(guò)程，故有了自己的一點(diǎn)想法。

第一次教學(xué)

【教學(xué)過(guò)程】

一、初步感知，嘗試計(jì)算

1.從“體育老師為學(xué)校買(mǎi)體育用品”的實(shí)際情境引出生活中常常需要用小數(shù)除法解決的問(wèn)題。在解決羽毛球單價(jià)和毽子單價(jià)的問(wèn)題中，列出兩個(gè)算式：

38.4÷4= 9.6÷12=

2.在初步估算后，嘗試解決38.4÷4。

學(xué)生中出現(xiàn)了以下幾種方法：

（1）38.4元=384角，384角÷4=96角=9.6元

（2）38.4÷4=36÷4+2.4÷4=9+0.6=9.6（元）

（3）38.4÷4=9.6 （4）38.4÷4=9.6 （5）38.4÷4=9.6

生匯報(bào)自己的想法。

師（追問(wèn)）：第四種和第五種方法有什么不一樣嗎？

生：一個(gè)是2.4，一個(gè)是24。

師：那到底是寫(xiě)2.4還是24呢？

生：我覺(jué)得上面就是2.4，下面寫(xiě)下來(lái)也應(yīng)該是2.4。

生：我覺(jué)得這個(gè)小數(shù)點(diǎn)不用寫(xiě)，只要在商的上面點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)就行了。

兩方爭(zhēng)執(zhí)不下，都等著教師來(lái)定奪。

師：其實(shí)，這個(gè)小數(shù)點(diǎn)可以不寫(xiě)，因?yàn)?4表示24個(gè)十分之一，除以四，商就是6個(gè)十分之一。明白了嗎？

生：明白了！

師：大家想出這么多種方法，真棒！現(xiàn)在我們用第五種方法一起來(lái)做一遍。

教師一邊板演方法5，一邊講算的過(guò)程。

師：想一想，商的小數(shù)點(diǎn)寫(xiě)在哪里？被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)在哪里？

師：也就是說(shuō)商的小數(shù)點(diǎn)要和被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)怎么樣？

生：對(duì)齊。

3.引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立筆算9.6÷12。

反饋時(shí)，有學(xué)生算對(duì)了，也有學(xué)生沒(méi)有在整數(shù)部分寫(xiě)“0”占位。

師：這兩種方法，哪種是正確的？

生：第一種，因?yàn)槿绻粚?xiě)零的話，商就是8了，不可能。

師：是的，當(dāng)整數(shù)部分不夠商“1”時(shí)，我們要寫(xiě)“0”占位。

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)，小數(shù)除以整數(shù)的除法計(jì)算方法？（靜默許久）

生：先把小數(shù)變成整數(shù)，小數(shù)點(diǎn)向右移幾位，商的小數(shù)點(diǎn)就向左移動(dòng)幾位。

生：計(jì)算時(shí)，小數(shù)點(diǎn)可以不寫(xiě)。

師：別忘了商的小數(shù)點(diǎn)要和被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊；如果整數(shù)部分不夠商“1”，要寫(xiě)“0”占位。

二、練習(xí)鞏固

1.估一估，算一算。

34.5÷15 4.08÷8 14.21÷7

反饋中，學(xué)生的錯(cuò)誤率比較高，主要有：

[2.3][15][3 4.5

3 0][4 5

4 5][0][2.3][15][34.5

30][4.5

4.5][0][5.1][8][4.08

40][8

8][0]

于是，教師對(duì)每一種錯(cuò)誤進(jìn)行再次的講解和糾正，耗費(fèi)了大量的時(shí)間，那些沒(méi)掌握的學(xué)生還是云里霧里。

……

【課后反思】

聽(tīng)課后，回顧嘗試計(jì)算環(huán)節(jié)，學(xué)生的方法豐富而有價(jià)值。而如此豐富的生成，不是偶然現(xiàn)象，是因?yàn)閷W(xué)生對(duì)小數(shù)除以整數(shù)已有樸素的認(rèn)知直覺(jué)，這種直覺(jué)來(lái)自于剛學(xué)完的小數(shù)乘法和以前的整數(shù)除法的經(jīng)驗(yàn)，以及平時(shí)計(jì)算教學(xué)中估算經(jīng)驗(yàn)的積累。面對(duì)這些即時(shí)生成，教師也加以關(guān)注，并進(jìn)行了追問(wèn)和評(píng)價(jià)，但看似順利的新授環(huán)節(jié)，在練習(xí)時(shí)，卻遭到了重創(chuàng)：因?yàn)閷W(xué)生出現(xiàn)的算法失誤和不合理，不是個(gè)別現(xiàn)象，那么就有必要對(duì)教師的新授環(huán)節(jié)進(jìn)行剖析和反思了。

而練習(xí)中學(xué)生出錯(cuò)的主要原因在于對(duì)小數(shù)除以整數(shù)的算理理解得不夠透徹，關(guān)鍵性的算法總結(jié)也不是學(xué)生自己悟到的。如為什么商的小數(shù)點(diǎn)要與被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊？除到小數(shù)部分時(shí)，除的過(guò)程中為什么不寫(xiě)小數(shù)點(diǎn)？除了先把被除數(shù)擴(kuò)大成整數(shù)去除，再縮小的方法，還有其他更方便的計(jì)算方法嗎？因?yàn)閷W(xué)生對(duì)于這些關(guān)鍵的問(wèn)題沒(méi)有進(jìn)行深入思考，所以算法也停留在對(duì)教師的模仿上，無(wú)法真正內(nèi)化，一旦碰到新數(shù)據(jù)和新問(wèn)題，自然無(wú)從應(yīng)對(duì)。

同時(shí)，由于沒(méi)有展開(kāi)對(duì)每種方法的優(yōu)劣比較和分析，所以學(xué)生最終并沒(méi)有在新授中得到什么新發(fā)展，練習(xí)時(shí)，他們還是按照自己原有的認(rèn)知來(lái)解答。

另外，由于教師沒(méi)能巧妙而有效地利用學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)對(duì)各種方法之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)和區(qū)別加以關(guān)注，所以學(xué)生對(duì)每一種方法的理解是孤立的、無(wú)關(guān)聯(lián)的，聽(tīng)過(guò)算數(shù)，沒(méi)有進(jìn)一步探究的欲望，那么這些生成也就成了過(guò)眼云煙，不但沒(méi)有對(duì)理解算理、形成一般化的方法起到積極作用，反而引起了干擾，故練習(xí)中出現(xiàn)問(wèn)題也在情理之中了。

第二次教學(xué)

在呈現(xiàn)學(xué)生原生態(tài)的生成時(shí)，教師應(yīng)進(jìn)行有效整合和引導(dǎo)，即通過(guò)有的放矢地“比較”，建立起各種方法之間的聯(lián)系和區(qū)別，理順看似雜亂的原生態(tài)生成；讓反饋交流不僅僅停留在展示和介紹，而是引發(fā)學(xué)生更深刻地思考，讓學(xué)生在對(duì)比中理解算理，明確算法的合理性和關(guān)鍵性，自然而條理清晰地凸顯重難點(diǎn)。這種通過(guò)多次比較而引發(fā)的思考，能夠讓學(xué)生真正地內(nèi)化算理，并指導(dǎo)算法。

【教學(xué)過(guò)程】

在第二次的教學(xué)中，我們是這樣實(shí)踐的。

呈現(xiàn)例題后，學(xué)生的自主嘗試依然出現(xiàn)了5種不同的方法：

（1）38.4元=384角，384角÷4=96角=9.6元

（2）38.4÷4=36÷4+2.4÷4=9+0.6=9.6（元）

（3）38.4÷4=9.6 （4）38.4÷4=9.6 （5）38.4÷4=9.6

[4][96][384

36][24

24][0][4][9.6][38.4

36][2.4

2.4][0][4][9.6][38.4

36][2 4

2 4][0]

第一次比較：類比求同，感悟化歸。

師：仔細(xì)觀察，你看得懂別人的方法嗎？哪幾種有點(diǎn)相似？

生：方法1和方法3差不多，方法2和方法4差不多。

師：具體說(shuō)說(shuō)，有什么相同和不同的地方。

生：方法1和方法3都是把被除數(shù)看成整數(shù)來(lái)算，因?yàn)閯偛疟怀龜?shù)擴(kuò)大了10倍，所以商要縮小到原來(lái)的十分之一。

生：方法1是用元角分來(lái)轉(zhuǎn)化的，方法3是直接在豎式中擴(kuò)大。

師：是的，無(wú)論是將元轉(zhuǎn)化成角，還是直接將被除數(shù)擴(kuò)大成整數(shù)，他們都想到把小數(shù)轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過(guò)的整數(shù)除法來(lái)算，這種轉(zhuǎn)化的意識(shí)挺好！

師：那說(shuō)說(shuō)方法2和方法4吧。

生：他們方法差不多，就是一個(gè)寫(xiě)成橫式，一個(gè)寫(xiě)成豎式。

師：你很善于透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)。那這兩種方法，給你什么啟發(fā)呢？

生：我覺(jué)得可以先用整數(shù)部分去除以除數(shù)，剩下的數(shù)再除。

（比較意圖：第一次比較主要是學(xué)生自主類比，方法1和方法3都是利用已有的整數(shù)除以整數(shù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和商的變化規(guī)律將新知轉(zhuǎn)化為舊知加以解決。而方法2和方法4的比較，則突出小數(shù)除以整數(shù)可以先算整數(shù)部分，余下的再繼續(xù)往下除。通過(guò)比較，滲透轉(zhuǎn)化思想，并溝通小數(shù)除法與整數(shù)除法的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。）

第二次比較：聚焦分歧，理解算理。

師：方法4和方法5一樣嗎？相同處和不相同處都說(shuō)說(shuō)。

生：他們都沒(méi)有把被除數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)，而是直接一位一位筆算了。

師：看來(lái)不用把被除數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)，我們也能像整數(shù)除法一樣，從高位開(kāi)始，一位一位往下除。

生：但是方法4一步一步除的時(shí)候，下面是寫(xiě)2.4，而方法5下面寫(xiě)的是24。

師：觀察得很仔細(xì)。現(xiàn)在的兩種豎式的分歧在于2.4的這個(gè)小數(shù)點(diǎn)要不要寫(xiě)呢？雙方各自闡述理由來(lái)說(shuō)服對(duì)方。

生很賣(mài)力地開(kāi)始辯論：

生：我覺(jué)得要寫(xiě)，因?yàn)楸怀龜?shù)上面也有小數(shù)點(diǎn)的，這個(gè)4是十分位上移下來(lái)的，不能把小數(shù)點(diǎn)去掉。

生：我覺(jué)得不用寫(xiě)，不寫(xiě)也沒(méi)有影響呀，只要商的小數(shù)點(diǎn)別忘就行了。

師：態(tài)度明確，不影響計(jì)算，我們就可以一切從簡(jiǎn)了?？磥?lái)各有各的理，我想分別采訪一下兩種方法的代表，你的2.4和你的24各表示什么呢？

生：2.4就是個(gè)位上的余數(shù)2加十分位移下的0.4，組成了24個(gè)十分之一。

生：這個(gè)24就表示除到十分位時(shí)，用24個(gè)十分之一去除以4。

師：這次意見(jiàn)很一致，這里的2.4和這里的24其實(shí)都表示24個(gè)十分之一。

生：我覺(jué)得都表示24個(gè)十分之一，那還寫(xiě)這個(gè)小數(shù)點(diǎn)干嗎？還不如不寫(xiě)更省事呢。（其他學(xué)生紛紛表示贊同）

師：但2.4這個(gè)小數(shù)點(diǎn)真的就只是為了省事而隨意去掉的嗎？

生：不是，它表示24個(gè)十分之一，所以寫(xiě)成24。

師：看來(lái)明確了道理和意義，大家就能作出更正確的判斷。

（比較意圖：方法4與方法5的比較，滲透了小數(shù)除以整數(shù)與整數(shù)除以整數(shù)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)的一致性，即可以不將被除數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)，而像整數(shù)除法那樣，從高位除起，一位一位往下除。同時(shí)旨在引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注整數(shù)除以小數(shù)的筆算過(guò)程中的小數(shù)點(diǎn)問(wèn)題，以此引出商十分位6 的來(lái)龍去脈，進(jìn)而將算理剝離得更清楚。）

第三次比較：有的放矢，凸顯重點(diǎn)。

師：觀察方法3和方法5，說(shuō)說(shuō)你的發(fā)現(xiàn)。

生：他們就是一個(gè)商有小數(shù)點(diǎn)，一個(gè)沒(méi)有。

師：為什么方法5的商有小數(shù)點(diǎn)了呢？位置是怎么確定的呢？

生：因?yàn)楸怀龜?shù)就有小數(shù)點(diǎn)。被除數(shù)小數(shù)點(diǎn)在哪兒商的小數(shù)點(diǎn)也在哪兒。

其實(shí)方法3橫式里的商也是這么點(diǎn)小數(shù)點(diǎn)的。

師：他的意思你明白嗎？

生：就是商的小數(shù)點(diǎn)要和被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊。

師：概括得更到位了。那為什么商的小數(shù)點(diǎn)要和被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊呢？如果不對(duì)齊，或者不點(diǎn)小數(shù)點(diǎn)，會(huì)怎樣？

生：那就全亂了。明明24個(gè)十分之一除以4是6個(gè)十分之一，應(yīng)該寫(xiě)在十分位上，如果不點(diǎn)小數(shù)點(diǎn)，6就象方法3這樣，在個(gè)位了。

生：我有點(diǎn)補(bǔ)充，就是除到被除數(shù)的十分位了，商就要寫(xiě)在十分位上，沒(méi)有這個(gè)小數(shù)點(diǎn)，怎么表示十分位呢？

師：反問(wèn)得好！看來(lái)，為了確保除到哪一位商就寫(xiě)在哪一位上面，我們一定要把商的小數(shù)點(diǎn)與被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊。

引導(dǎo)學(xué)生選擇和優(yōu)化，學(xué)生順利歸納出小數(shù)除以整數(shù)可以按照整數(shù)除法的算法，從高位算起，除到哪一位商就寫(xiě)在哪一位的上面，商的小數(shù)點(diǎn)要與被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊。

（比較意圖：方法3與方法5比較，旨在突出算理算法中的重點(diǎn)問(wèn)題：商的小數(shù)點(diǎn)定位。通過(guò)比較，讓學(xué)生掌握商的小數(shù)點(diǎn)和被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，并在比較中領(lǐng)悟到背后的算理：只有這樣，才能做到除到哪一位商就寫(xiě)在哪一位上面。）

第四次比較：對(duì)比求異，解決新問(wèn)題。

新授后，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立筆算9.6÷12，并展示學(xué)生的筆算過(guò)程。

[0. 8][12][9. 6

9 6][0]

師：與例1比較，這次碰到了什么新問(wèn)題？

生：例1的商是比1大，這次商是比1小了。

師：為什么會(huì)產(chǎn)生這樣的情況呢？

生：因?yàn)楸怀龜?shù)的整數(shù)部分比除數(shù)小。

（比較意圖：將38.4÷4和9.6÷12兩道例題進(jìn)行比較，旨在突出“當(dāng)被除數(shù)的整數(shù)部分不夠商1時(shí)，要在商的整數(shù)部分寫(xiě)0”這種特殊情況。這也是小數(shù)除以整數(shù)與整數(shù)除以整數(shù)的異處。）

從課堂練習(xí)反饋來(lái)看，上述的實(shí)踐起到了很好的教學(xué)效果。

【再次反思】

上述教學(xué)中的四次比較，素材都源自學(xué)生自己的生成，再通過(guò)教師有的放矢地整合與引導(dǎo)，每一次比較都無(wú)不引發(fā)學(xué)生的思考，具體表現(xiàn)在如下幾方面。

一、通過(guò)比較，思考新知的“聯(lián)”

新知的學(xué)習(xí)，很多時(shí)候就是轉(zhuǎn)化和遷移的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生思考新舊知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，主動(dòng)將未知轉(zhuǎn)化成已知，這是教師需要一直關(guān)注和滲透的重要學(xué)習(xí)方法。而比較，則能很好地承載這一任務(wù)。通過(guò)比較找關(guān)聯(lián)，建結(jié)構(gòu)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重中之重。如第一次的自主比較，從相似的方法中，凸顯“將小數(shù)除法轉(zhuǎn)化成整數(shù)除法”的轉(zhuǎn)化思想，溝通新舊知識(shí)的聯(lián)系。而第二次比較更是由豎式計(jì)算過(guò)程中的書(shū)寫(xiě)之分歧而引發(fā)學(xué)生思考，使學(xué)生體會(huì)到“小數(shù)除以整數(shù)”與“整數(shù)除以整數(shù)”內(nèi)在方法的一致性，即除到哪一位商就寫(xiě)在哪一位上，只是后者將數(shù)位由整數(shù)拓展到了小數(shù)部分而已。這次的比較較第一次而言，更具有典型性和深入性，其實(shí)是將小數(shù)除以整數(shù)和整數(shù)除以整數(shù)都?xì)w在了“除數(shù)是整數(shù)”這一類除法中，為學(xué)生今后學(xué)習(xí)除數(shù)是小數(shù)的除法埋下伏筆。

二、通過(guò)比較，思考新知的“新”

新舊知識(shí)之間只可能部分相同或相似，抓住新知不同于舊知的獨(dú)特本質(zhì)，即新在哪里，又是比較的另一重要使命。多次的比較使“小數(shù)除以整數(shù)”的重點(diǎn)和難點(diǎn)不再是教師強(qiáng)加上去，而是在學(xué)生的思考中自然凸顯：如第三次比較，即是引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注新舊知識(shí)的“異”——商的小數(shù)點(diǎn)問(wèn)題，同時(shí)凸顯算法算理的重點(diǎn)。第四次比較則是引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注特殊情況——整數(shù)部分不夠商，需要在商的整數(shù)部分寫(xiě)“0”占位。通過(guò)比較，讓學(xué)生對(duì)新知的“新”有了更準(zhǔn)確的體驗(yàn)和感悟，相應(yīng)的解決策略也更合理。

三、通過(guò)比較，思考新知的“深”

由這次的教學(xué)實(shí)踐，我們進(jìn)一步想到了可以在更多的計(jì)算教學(xué)乃至其他領(lǐng)域的教學(xué)中運(yùn)用比較的方法。當(dāng)呈現(xiàn)的素材充分時(shí)，設(shè)計(jì)幾次有的放矢的比較，求同存異：可以類比——在“同”中概括規(guī)律，把握本質(zhì)，感悟一般性的方法；可以對(duì)比——在“異”中不斷創(chuàng)新，學(xué)會(huì)猜測(cè)，感悟特殊性的方法。最重要的是在比較中，學(xué)生的觀察、猜測(cè)、分析、類比、歸納等數(shù)學(xué)素養(yǎng)和能力都在逐步積累，由此，計(jì)算教學(xué)就不僅僅停留在計(jì)算方法的掌握和技能的形成，而是在多次的比較中彰顯其更深的內(nèi)涵和價(jià)值，這也是我們新課標(biāo)倡導(dǎo)的“四基”的一次成功而有效的嘗試。

（浙江省寧波市愛(ài)菊藝術(shù)學(xué)校 315000）