山西中北大學(xué)機(jī)械與動力工程學(xué)院　　王明亞　李瑞琴　隨磊

3-PSP并聯(lián)機(jī)構(gòu)雅克比矩陣及剛度分析

山西中北大學(xué)機(jī)械與動力工程學(xué)院王明亞李瑞琴隨磊

本文研究了3-PSP并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運動學(xué)逆解及雅克比矩陣，并求解了該機(jī)構(gòu)的剛度矩陣模型。首先對機(jī)構(gòu)進(jìn)行描述，建立相應(yīng)坐標(biāo)系；利用閉環(huán)矢量法得到該機(jī)構(gòu)的逆解約束方程；對約束方程求導(dǎo)，可得其速度雅克比矩陣；以雅克比矩陣為基礎(chǔ)求解其剛度矩陣。

3-PSP；運動學(xué)逆解；雅克比矩陣；剛度

前言

少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)近些年來成為機(jī)構(gòu)學(xué)的研究熱點。3-PSP空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)是少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的一類，具有少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的傳統(tǒng)優(yōu)點，并有其獨特性，目前研究和開發(fā)得還很不充分。鄧飛等［1］建立了3-PSP空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)的模型，得到了該并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解方程，得出了其位置關(guān)系解。利用ADAMS對其進(jìn)行了仿真分析，驗證了位置計算方程的正確性。黃鵬等［2］建立了3-PSP機(jī)構(gòu)運動學(xué)模型，進(jìn)行了包括伴生運動和被動關(guān)節(jié)變量的完整運動學(xué)求解。對3-PSP機(jī)構(gòu)的關(guān)節(jié)行程、速度特性和精度進(jìn)行分析，證明該機(jī)構(gòu)適用于混聯(lián)結(jié)構(gòu)中的并聯(lián)模塊，能夠滿足航空、航天、汽車等領(lǐng)域復(fù)雜零件的加工需要。張志良［3］對3-PSP并聯(lián)機(jī)構(gòu)行進(jìn)了詳細(xì)的運動性能研究，主要包括：機(jī)構(gòu)奇異性、工作空間和靈巧度等，并進(jìn)行了仿真，為3-PSP的研究奠定了基礎(chǔ)。

本文首先對機(jī)構(gòu)進(jìn)行描述，建立相應(yīng)坐標(biāo)系；利用閉環(huán)矢量法得到該機(jī)構(gòu)的逆解約束方程；對約束方程求導(dǎo)，可得其速度雅克比矩陣；以雅克比矩陣為基礎(chǔ)求解其剛度矩陣。

1　 3-PSP并聯(lián)機(jī)構(gòu)的描述與運動學(xué)逆解

1.1機(jī)構(gòu)描述

3-PSP并聯(lián)機(jī)構(gòu)示意圖如圖1所示，3-PSP并聯(lián)機(jī)構(gòu)由動平臺、靜平臺和三條PSP支鏈組成。動平臺與靜平臺由相隔120°的三條支鏈連接，每條支鏈由一個驅(qū)動移動副（P）、一個被動球面副（S）和一個被動移動副（P）構(gòu)成。如圖1所示，在靜平臺上建立絕對坐標(biāo)系｛A-xyz｝；在動平臺上建立坐標(biāo)系｛P-wuv｝。

圖1　 3-PSP并聯(lián)機(jī)構(gòu)示意圖

1.2機(jī)構(gòu)運動學(xué)逆解

由圖1可知，坐標(biāo)系｛A-xyz｝中，設(shè)支鏈底A1、A2、A3為頂點的等邊三角形的邊長為a，則A到點A1、A2、A3的各矢量為：

坐標(biāo)系 ｛P-wuv｝中，設(shè)動平臺中心P到球面副中心Si（i=1，2，3）的距離為bi，則各矢量為：

坐標(biāo)系｛A-xyz｝中，到對應(yīng)支鏈球面副中心Si的矢量，即三條支鏈驅(qū)動桿的長度：

設(shè)動平臺中心點P的矢量為：

不同坐標(biāo)系之間的矢量變換可以通過旋轉(zhuǎn)矩陣進(jìn)行轉(zhuǎn)換［4］。利用旋轉(zhuǎn)矩陣ApR，可以將坐標(biāo)系｛P-uvw｝中任意矢量轉(zhuǎn)化到坐標(biāo)系｛A-xyz｝中，ApR為：

式中，c為cos的簡寫，s為sin的簡寫，θ、φ、λ為坐標(biāo)系｛P-uvw｝相對于坐標(biāo)系｛A-xyz｝繞x、y、z的三個獨立轉(zhuǎn)角。

因此，坐標(biāo)系｛A-xyz｝中，動平臺中心點P到球面副中心Si的矢量為：

使用封閉矢量環(huán)法，每條支鏈都可以得到一條閉環(huán)矢量［5］：

將式（6）代入式（7），可得該機(jī)構(gòu)的運動約束方程：

求解式（8），式中共13個變量，θ、φ、λ為已知輸出變量，a為機(jī)構(gòu)參數(shù)，可求得三條支鏈驅(qū)動桿的長度qi。

2　雅克比矩陣分析

運動學(xué)逆解約束方程等式兩邊求導(dǎo)可得輸入和輸出速度之間的關(guān)系，可得機(jī)構(gòu)的雅克比矩陣。

機(jī)構(gòu)運動約束方程（8）對時間求導(dǎo)得：

式中，qi和bi分別為第i個驅(qū)動桿和球面副的運動速率和分別為第i個驅(qū)動桿和矢量si的單位向量，為動平臺的第i條分支相對第i個球面副的運動速率，ω為動平臺的旋轉(zhuǎn)角速度，vp為P的速度

假設(shè)特定矢量n垂直于矢量si，其單位向量為：

根據(jù)向量運算性質(zhì)得：

矩陣形式為：

3　 剛度矩陣

由于所研究的機(jī)構(gòu)為對稱機(jī)構(gòu)，各分支的剛度系數(shù)之間存在如下關(guān)系k11=k22=k33，可以變形為。

4　結(jié)論

本文研究了3-PSP并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運動學(xué)逆解及雅克比矩陣，并求解了該機(jī)構(gòu)的剛度矩陣模型，為今后該機(jī)構(gòu)在混聯(lián)機(jī)構(gòu)中應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)和參考依據(jù)。

［1］鄧飛，李文忠.3-PSP并聯(lián)機(jī)構(gòu)的空間位置正解分析［J］.機(jī)械設(shè)計，2009，26（1）：41-45.

［2］黃鵬，王立平等.新型3自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)運動性能及精度分析［J］.機(jī)械工程學(xué)報，2010，46（15）：1-7.

［3］張志良.三自由度3-PSP并聯(lián)機(jī)構(gòu)運動性能與仿真研究［D］.太原：中北大學(xué)，2014.

［4］黃真，趙永生，趙鐵石.高等空間機(jī)構(gòu)學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2006.5.