朱東亮

[摘 要]數(shù)學(xué)概念是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論大廈的基石，是數(shù)學(xué)學(xué)科的靈魂和精髓。因此，教師應(yīng)重視概念教學(xué)，通過數(shù)形結(jié)合等途徑，引導(dǎo)學(xué)生深入挖掘概念的內(nèi)涵，明晰所學(xué)的概念，真正掌握所學(xué)的知識(shí)。

[關(guān)鍵詞]概念教學(xué) 平均數(shù) 思維沖突 價(jià)值 幾何直觀 意義 內(nèi)涵 特性

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2016）23-032

對(duì)概念清晰而又深刻的理解是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的基礎(chǔ)。平均數(shù)是一個(gè)重要的刻畫數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量，小學(xué)數(shù)學(xué)中所講的平均數(shù)一般是指算術(shù)平均數(shù)，也就是一組數(shù)據(jù)的和除以這個(gè)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)所得到的商。平均數(shù)既可以反映一組數(shù)據(jù)的一般情況，也可以用它進(jìn)行不同組數(shù)據(jù)的比較，從而看出組與組之間的差別。下面，我以“平均數(shù)”一課教學(xué)為例，嘗試探討概念教學(xué)的方法。

一、設(shè)置思維沖突，體會(huì)平均數(shù)的價(jià)值

學(xué)生對(duì)通過比較總數(shù)判斷兩組數(shù)據(jù)水平的高低有著豐富的經(jīng)驗(yàn)，因此，教師教學(xué)時(shí)可以先出示圖1，讓學(xué)生判斷在踢毽子比賽中哪個(gè)隊(duì)獲勝。然后教師參加到男生隊(duì)中（師踢了13個(gè)），并提問“通過比較總數(shù)來判斷哪個(gè)隊(duì)獲勝公平嗎”，以激發(fā)學(xué)生的思維沖突，引導(dǎo)學(xué)生提出用平均數(shù)來判斷。雖然平均數(shù)是一組數(shù)據(jù)本身就具有的屬性，不依賴于比較存在，但根據(jù)學(xué)生的思維水平和特點(diǎn)，采用這樣的引入方式可以讓學(xué)生充分感受到比總數(shù)的局限性，體會(huì)到平均數(shù)產(chǎn)生的必要性和價(jià)值。這對(duì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)概念的興趣，比較不同概念之間的聯(lián)系與區(qū)別有著重要作用。

二、利用幾何直觀，理解平均數(shù)的意義

華羅庚說過：“數(shù)缺形時(shí)時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微?！薄捌骄鶖?shù)”一課的教學(xué)，可采用數(shù)形結(jié)合的方式進(jìn)行。平均數(shù)是刻畫數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量，反映了一組數(shù)據(jù)中心點(diǎn)的位置所在，這是平均數(shù)統(tǒng)計(jì)意義的核心。因此，讓學(xué)生經(jīng)歷一組數(shù)據(jù)中心點(diǎn)的產(chǎn)生過程，有助于學(xué)生理解平均數(shù)的概念。具體可以采用“移多補(bǔ)少”的方法讓學(xué)生體會(huì)這個(gè)過程：3名女生踢毽子的個(gè)數(shù)如圖3，通過計(jì)算得出女生隊(duì)踢毽子的平均數(shù)是14個(gè)。然后引導(dǎo)學(xué)生通過“移多補(bǔ)少”的方法找到平均數(shù)，再將平均數(shù)直觀地展現(xiàn)在學(xué)生眼前，如圖4。通過圖形的直觀展示，學(xué)生對(duì)平均數(shù)的產(chǎn)生過程有了切實(shí)的體會(huì)，從而對(duì)平均數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的一般水平也就有了更深刻的認(rèn)識(shí)。

三、挖掘概念內(nèi)涵，明晰平均數(shù)的特性

根據(jù)平均數(shù)的概念，平均數(shù)具有某些與生俱來的特性，主要包括敏感性、集中性、虛擬性三個(gè)方面。通過適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)材料，讓學(xué)生明晰平均數(shù)的特性，有助于學(xué)生加深對(duì)概念的理解。

1.敏感性

平均數(shù)的敏感性是指每個(gè)數(shù)據(jù)的變化都對(duì)平均數(shù)產(chǎn)生影響。教師可以通過改變其中一個(gè)數(shù)據(jù)的大小，讓學(xué)生體會(huì)這一特性。如在數(shù)據(jù)12、11、16、13中，如果將13變成17，那么平均數(shù)將從13變成14，使學(xué)生明確當(dāng)個(gè)體數(shù)據(jù)變大時(shí)，平均數(shù)將被拉升；反之，平均數(shù)將被拉低。從平均數(shù)的敏感性，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)平均數(shù)容易受極大（?。┲档挠绊憽Ｈ缦卤碇行∶鞯钠骄诛@然受到100分的影響，從而拉高了平均數(shù)。這樣可讓學(xué)生體驗(yàn)到平均數(shù)的局限性，了解生活中經(jīng)常采用去掉部分極值后再求平均數(shù)的原因。

2.集中性

平均數(shù)的集中性是指平均數(shù)一定介于最大值與最小值之間，理解這點(diǎn)有助于學(xué)生理解平均數(shù)作為集中量數(shù)的原因。那么，如何讓學(xué)生體會(huì)平均數(shù)的集中性呢？教師可提供以下材料，并提問：“下圖中，哪幅圖中的線代表了這組數(shù)據(jù)的平均水平？”通過問題引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)平均數(shù)的意義和“移多補(bǔ)少”的方法進(jìn)行辨析，明確平均數(shù)不會(huì)比最大值還大，也不會(huì)比最小值還小，因?yàn)檫@不符合平均數(shù)的概念。而對(duì)選項(xiàng)D，則要通過更加細(xì)致的辨析，讓學(xué)生了解“移多補(bǔ)少”的結(jié)果是各個(gè)數(shù)據(jù)均等，從而對(duì)平均數(shù)有更深入的認(rèn)識(shí)。

3.虛擬性

由于平均數(shù)是通過“移多補(bǔ)少”得到的量，因此平均數(shù)代表的是這組數(shù)據(jù)的一般水平，不代表數(shù)據(jù)中的個(gè)體。如圖5中，女生隊(duì)踢毽子的數(shù)量為18、13、11個(gè)，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是14，這個(gè)14不是任何一個(gè)女生踢毽子的數(shù)量。

另外，學(xué)生沒有學(xué)過分?jǐn)?shù)除法和小數(shù)除法，對(duì)平均數(shù)是分?jǐn)?shù)（小數(shù)）存在著認(rèn)知障礙，這是正常的現(xiàn)象。如果教師教學(xué)時(shí)能打破這一障礙，將對(duì)學(xué)生理解平均數(shù)的虛擬性大有裨益。結(jié)合圖5，教師可以這樣向?qū)W生設(shè)問：“如要使男生隊(duì)獲勝，老師至少踢幾個(gè)？”這是一個(gè)極富挑戰(zhàn)性的問題，教師要給足學(xué)生思考的時(shí)間和交流的機(jī)會(huì)。教學(xué)中，學(xué)生提出“老師至少要再多踢8個(gè)毽子，這樣才能使男生隊(duì)的平均數(shù)達(dá)到15個(gè)，比女生隊(duì)的平均數(shù)高1個(gè)”。有這種想法的學(xué)生是需要鼓勵(lì)的，因?yàn)樗麄冇兄^強(qiáng)的分析能力，能從問題出發(fā)找到答案。

此時(shí)，教師可進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生：“還有更好的方法嗎？”一生提出“只要再多踢5個(gè)毽子就行了（如圖6）”，此時(shí)男生踢毽子的平均數(shù)已經(jīng)達(dá)到14個(gè)，而且還多出1個(gè)。這時(shí)有學(xué)生質(zhì)疑：“這多出的1個(gè)怎么辦？這樣是不平均的?！苯處熆勺穯枺骸澳阌修k法將這多出的1個(gè)繼續(xù)平均分嗎？”通過問題，引導(dǎo)學(xué)生將這1個(gè)再平均分成4份。由于學(xué)生在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)時(shí)已經(jīng)有了類似的經(jīng)驗(yàn)，所以這時(shí)學(xué)生發(fā)現(xiàn)平均數(shù)不是整數(shù)了?！澳歉挠靡粋€(gè)怎樣的數(shù)表示呢？”由于學(xué)生沒有學(xué)過帶分?jǐn)?shù)和小數(shù)，教師可適時(shí)介紹：“可以用14或14.25來表示（如圖7）?！?/p>

通過一系列問題的提出與解決，學(xué)生茅塞頓開，對(duì)平均數(shù)的敏感性和虛擬性有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，在解決思維障礙的同時(shí)，對(duì)所學(xué)概念有了更加深刻的印象。

總之，教師應(yīng)重視概念教學(xué)，通過數(shù)形結(jié)合等途徑，引導(dǎo)學(xué)生深挖概念的內(nèi)涵，明晰所學(xué)的概念，真正掌握所學(xué)的知識(shí)。

（責(zé)編 杜 華）