趙　強，趙振杰

(華東師范大學 物理學系，上?！?00241)

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基于衰減現(xiàn)象教學RC和RL暫態(tài)過程

趙強，趙振杰

(華東師范大學 物理學系，上海200241)

結合現(xiàn)代教學理論，通過構建簡單的物理衰減模型，從典型的簡單衰減過程的視角，對RC和RL暫態(tài)過程進行了分析，并簡潔明確地詮釋了求解時常用的一階線性方程的三要素法的表達式的物理含義，從而得出了比較通用且意義明確的分析和求解策略，達到了改善教學效果的目的.

暫態(tài)過程；衰減.

RC和RL暫態(tài)過程是普通物理、電路分析和電工技術等課程的基本內(nèi)容.在教學過程中，發(fā)現(xiàn)學生或多或少地傾向于憑借機械記憶來應對這部分的學習，對教學效果產(chǎn)生不利影響.經(jīng)過分析，發(fā)現(xiàn)造成學習障礙的主要原因之一是在通常的課程內(nèi)容中，RC和RL暫態(tài)過程均有零狀態(tài)響應、零輸入響應和全響應的分類與次第，導致內(nèi)容在表面上顯得有些分散，不容易對暫態(tài)過程及其數(shù)學描述的深層的物理內(nèi)涵構建出直觀的詮釋，導致不能較好地激發(fā)學生已有的知識記憶，以及與已有的知識記憶建立較強較深較廣的關聯(lián)，故而阻礙了高層次認知目標的達成.因此，如何在有限的課時內(nèi)，引導學生構建較深層的意義，將會對本部分內(nèi)容的教學效果帶來顯著影響.

雖然目前認知心理學中的信息加工理論模型和建構主義理論模型的合理性仍然遭受一些質疑，但其對教學決策的指導作用已被廣泛認可.因此，在教學過程中，可以從深層的物理內(nèi)涵出發(fā)，基于同學們熟悉的、簡單的和直觀的現(xiàn)象來構建問題分析模型，可以更好地引導學生提取具有高度相關性的已有記憶和激活有效的先驗圖式，進行富有意義和效果的編碼過程，最終實現(xiàn)較深層次的記憶的重構[1-4].這樣，不但有利于學生快速掌握學習任務，在新的任務中也能夠快速有效地激活先驗圖式以及實現(xiàn)相關記憶的激活擴散，從而實現(xiàn)較好的遠程遷移效果[3].

基于此，本文嘗試在教學策略中，由簡單的典型物理衰減現(xiàn)象入手構建模型，實現(xiàn)從衰減過程的角度詮釋暫態(tài)過程，從而將暫態(tài)過程的更深層的物理內(nèi)涵給予比較直觀的揭示.最后，由得出的對一階線性微分方程的三要素法的表達式的物理含義的詮釋，實現(xiàn)改善教學效果的目的.

1　對常系數(shù)衰減現(xiàn)象的分析

教學中常見的衰減過程是典型的等系數(shù)簡單衰減過程，如放射性物質的衰變和光在均勻介質中的衰減等現(xiàn)象.若定義I為衰減的物理量，α為衰減系數(shù)，t為變化的參數(shù).其中，最簡潔的情形是令t=0時I=I0，并且t=∞時I=0，這一過程可以用一階線性微分方程

(1)

來表示，其解為

I=I0e-αt

(2)

然而，對終止狀態(tài)It=∞≠0的情形，以及I隨t增加的情形探討的較少.這導致在遇到很多此類衰減現(xiàn)象時，教師和學生都因為先驗圖式的不足而很難激活與衰減過程相應的概念以及問題解決圖式來解決問題，成為潛在的學習阻礙.

對于終態(tài)I∞≠0的情形，例如當所處的環(huán)境中相應的物質或能量的背景(本底)值不為零時，由于與周邊環(huán)境的交換，均會導致I∞≠0，也就是物理量I發(fā)生了衰減的只有I0-I∞.以及I隨t增加的情形可以看作是衰減系數(shù)為負所致，當然，這也可以看作是因為觀察角度的不同所致，例如下課時教室中空座位會隨同學們的離座而增加.對于這類情形，滿足的方程為

(3)

若將I∞選作I的參考0值，為了方便表述，令Y=I-I∞，則有Y0=Yt=0=I0-I∞和Y∞=Yt=∞=I∞-I∞=0.也就是說，此時的衰減過程變?yōu)槭?1)所描述的最簡單的情形，則解為

Y=Y0e-at

即

I=I∞+(I0-I∞)e-at

(4)

因此，其含義可以由圖1來詮釋，若以終態(tài)為參考點，則這一過程反映的是初態(tài)與終態(tài)間的差值的衰減過程.另外，可以看出式(4)就是一階常系數(shù)線性微分方程的三要素法的表達式

f=f∞+(f0-f∞)e-At

(5)

式中f∞和f0分別是t=∞和t=0時的值，A=1/τ(τ為時間常數(shù)).

圖1　衰減過程示意圖(Y0=I0-I∞)

基于上述的探討，下面分別對RC和RL暫態(tài)過程進行分析.

2　對RC暫態(tài)過程的分析

如圖2所示的RC回路，在時間t=0之前，開關S閉合于位置1，電路處于穩(wěn)態(tài)，且電容器兩端的電壓uC=E1.因此，在t=0，S切換到位置2后，電路的暫態(tài)過程是由下式描述的全狀態(tài)響應：

圖2　RC回路

(6)

由i=(E2-uC)/R，可以看出，電路的暫態(tài)過程和式(3)給出的類似.因此，如果以uc(t=∞)=E2作為參考0電位(即以a點的電位為參考0電位)，那么b點電位uΔ=uc-E2，且

(7)

方程的解為

(8)

則

(9)

這一結果完全符合式(5)的描述.其物理含義可以簡單詮釋為：E1-E2是uΔ的初始值，反映的是電容器兩端電壓的初態(tài)與終態(tài)間的差值.若電容器C所存儲的電量Q以uc(t=∞)=E2時的電量為參考0點，則S切換前，電容器存儲的電量為Qt≤0=C(E1-E2)，而且S切換后電流i與Q成正比，因此，暫態(tài)過程就是這部分電量的等系數(shù)衰減過程.也就是說，電路的暫態(tài)過程是電量的初態(tài)和終態(tài)間的差值的衰減過程.

另外，式(9)也可以表達為

(10)

3　對RL暫態(tài)過程的分析

如圖3所示的RL回路，在t=0時刻之前，開關S閉合于位置1，且電路處于穩(wěn)態(tài)，流過電感的電流i=I1=E1/R，當t=0時，將S切換到位置2.則電路的暫態(tài)過程是由下式描述的全狀態(tài)響應，并且當t=∞時，i=I2：

圖3　RL回路

(11)

若以I2為電流的參考0值，則電流值可以被表示為iΔ=i-I2，且

(12)

(13)

則

(14)

這一結果完全符合式(5)的描述.其物理含義可以簡單詮釋為：電感中的磁通量Φ與磁通勢F成正比，而磁通勢F與電流i成正比，因此Φ=Ki，K是一個與電感結構等有關的常數(shù).I1-I2是iΔ的初始值，反映的是電感L中磁通量的初態(tài)和終態(tài)間的差值.若電感中的磁通量以t=∞時的磁通量為參考0值，則S切換前，電感中的磁通量Φt≤0=K(I1-I2)，暫態(tài)過程反映的就是這部分磁通量等系數(shù)的衰減過程.當然，如果可以引入磁荷的觀點，那么將會更加直觀.

進一步，對電感L來說，可以將恒壓源E1與E2分別和電阻R串聯(lián)時組成的電壓源分別等效變換為電流源I1與I2，如圖4所示，則上述詮釋會更為明顯.

圖4　RL回路的電流源模型

另外，式(14)可以表達為

(15)

式中第一項i′反映的是I2=0時的零輸入狀態(tài)響應.第二項i″反映的是I1=0時的零狀態(tài)響應.而i是上述兩個過程的線性疊加.也就是說，可以將電感中的磁通量看作是由兩部分磁通量動態(tài)疊加的結果，其中一部分是零輸入響應的電感中的初始電流所產(chǎn)生的磁通量，另一部分是進行零狀態(tài)響應的電流產(chǎn)生的磁通量.

4　總結

暫態(tài)過程中，RC回路可以理解為電容器存儲的電荷量(或電壓)的衰減，RL回路可以理解為電感中磁通量(或磁通勢)的衰減.如果以終態(tài)作為參考0值，則衰減過程變?yōu)橐粋€由下式描述的零輸入狀態(tài)響應：

(16)

其解由式(5)給出.并且可以表示為

(17)式中第一項f ′反映的是f∞=0時的過程(零輸入響應)，第二項f ″反映的是f0=0時的過程(零狀態(tài)響應).而f反映的是更普通的過程(全狀態(tài)響應)，而且可以認為是上述兩個過程的線性疊加.

因此，可以基于典型的常系數(shù)衰減過程來類比分析RC回路和RL回路的暫態(tài)過程.對學生來說，可以有效地激活已有的知識記憶，并且建立意義明確的關聯(lián)，實現(xiàn)了改善教學效果的目的.

[1]KinjoH，SnodgrassJG.Doesthegenerationeffectoccurforpictures[J].AmericanJournalofPsychology，2000，113： 95-121.

[2]McNamaraDS，HealyAF.Agenerationadvantageformultiplicationskilltrainingandnonwordvocabularyacquisition[M].Learningandmemoryofknowledgeandskills:Durabilityandspecificity.ThousandOaks，CA:SagePublicationsInc， 1995: 132-169.

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[4]AnitaWoolfolk，EducationalPsychology[M]. 10thEdition.PearsonEducationInc,2007: 292-301.

TeachingRCandRLtransient state processes based on attenuation phenomena

ZHAO Qiang, ZHAO Zhen-jie

(Department of Physics, East China Normal University, Shanghai 200241, China)

According to the modern educational theories, a typical attenuation with a constant attenuation coefficient is analyzed to decipherRCandRLtransient state processes, and the essence of three-factor method for the first order circuit is revealed. Consequently, an active and meaningful strategy for solving these problems is obtained and therein lies a successful method of improving the learning effect.

transient state process; attenuation

2015-04-09；

2015-06-01

華東師范大學實驗教學設備研制基金(41000-562930-14203/005)資助

趙強(1972—)男，新疆奇臺縣人，華東師范大學物理學系副研究員，博士，主要從事物理學科教學方向的研究和教學工作.

O441.1;G642.1;TM131.2

A

1000- 0712(2016)01- 0017- 03