邱為鋼

(湖州師范學院 理學院，浙江 湖州　313000)

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科赫雪花上的振動模式

邱為鋼

(湖州師范學院 理學院，浙江 湖州313000)

數值計算得到了科赫雪花上的本征振動模式圖形. 討論了本征振動頻率分布規(guī)律和振動圖形的對稱性.

科赫雪花；振動模式

圓形鼓振動產生聲音，聲音的特征頻率理論上是拉普拉斯算符在圓形區(qū)域上滿足第一類邊界條件的本征值. 文獻[1]討論了等邊三角形、等腰直角三角形等形狀上的特征頻率及其振動模式. 這些區(qū)域具有點群對稱性，周長有限，本證頻率和振動模式有解析表達式. 分形區(qū)域則具有自相似性，周長無限但面積有限，只能用數值方法求解本征值. 同時具有點群對稱性和自相似性的分形物體是科赫雪花[2]，文獻[3]、[4]用數值方法計算得到了科赫雪花上的本征振動頻率和圖形，所用方法有所區(qū)別，文獻[3]用的是專門設計的程序包，而文獻[4]用的是Mathematica軟件. 從教學實際出發(fā)，大部分師生熟悉的是Mathematica軟件. 我們借用文獻[6]的思路和方法，利用Mathematica軟件，數值計算科赫雪花上的前6個本征振動模式，討論這些本征模式的對稱性，以及本征頻率的分布規(guī)律.

1　科赫雪花及對稱性

科赫雪花操作如下，先從一個正三角形開始，每一條邊的中點向外作一個等邊三角形，邊長是原來邊長的三分之一.然后把等邊三角形的底邊去掉，再對每一條邊作同樣的操作，依次疊代下去，直至無窮，最終得到的圖形就是科赫雪花. 圖1是零到三次疊代操作的圖形，以科赫雪花的中心為原點，所在平面為Oxy平面. 由圖1可以看出，科赫雪花具有以下對稱性: 旋轉對稱性，繞z軸轉動π/3的整數倍；反射對稱性，對Oxz平面和Oyz平面的反射對稱性；前面兩種基本對稱性的組合.

圖1　科赫雪花零級到三級近似

2　拉普拉斯算符的離散化

數值求解拉普拉斯算符本征值問題，一般采用離散化方法. 先用合適的網格剖分區(qū)域，設標記為(m，n)的格點上的函數值為um，n，這個格點最鄰近的4個函數值分別為um+1，n，um-1，n，um，n+1，um，n-1. 設格點間距是a，于是離散化的本征值方程是

um+1，n+um-1，n+um，n+1+um，n-1-4um，n=λaum，n

(1)

考慮到所有的點以及邊界條件，并把二維標記(m，n)按順序編號，式(1)化為矩陣形式的本征方程：

Lu=λau

(2)

其中L是拉普拉斯矩陣，矩陣元可以從式(1)中讀出. 這樣，本征值和本征函數就可以利用Mathematica內置函數來求解.對于科赫雪花，并沒有采用常用的正方形網格剖分，而是正三角形剖分，更好地保持對稱性. 具體的網格剖分和拉普拉斯矩陣，請參考程序.

3　本征振動模式及對稱性

考慮到篇幅和計算量，我們只給出前6個本征振動模式的三維圖和等高線圖，如圖2—圖7所示.

圖2　第一本征振動模式三維和等高線圖

圖3　第二本征振動模式三維和等高線圖

圖4　第三本征振動模式三維和等高線圖

圖5　第四本征振動模式三維和等高線圖

圖6　第五本征振動模式三維和等高線圖

圖7　第六本征振動模式三維和等高線圖

由圖2—圖7可以看出，第一和第六模式保持科赫雪花的所有點群對稱性. 數值計算發(fā)現(xiàn)，第二和第三模式是簡并的，即它們具有相同的本征頻率；第二和第三模式只保持部分對稱性，及一種鏡面反射對稱性；第四和第五模式也是簡并的，保持兩種鏡面反射對稱性.

4　本征值分布

設k是本征波矢量k2=λ，N(k)是波矢量小于k的本征模式數目(含簡并)，當波矢量k趨向無窮時，本征模式數目函數N(k)的漸近行為滿足Weyl-Berry定律[5]：

(3)

其中D是區(qū)域的維數，MD是區(qū)域的測度(體積或面積)，d是區(qū)域邊界的維數，mD是區(qū)域邊界的測度(面積或長度). 如果是嚴格的科赫雪花，即近似階數趨向無窮，那么科赫雪花內部區(qū)域的維數D=2，邊界的維數是d=ln4/ln3=1.261 86. 本文中的零級近似正三角形的邊長是1，科赫雪花取到四級近似，此時它的面積是A=0.67，周長是l=9.48. 如果不把四級近似的科赫雪花看作分形物體，而是一個多邊形，那么按照式(3)，本征模式數目分布是

Np(k)～0.055k2-0.189k

(4)

如果把四級近似的科赫雪花看作分形物體，邊界維數取為d，則本征模式數目分布是

NS(k)～0.055k2-0.213kd

(5)

由于計算條件制約，我們只考慮前220個本征波矢量，此時本征模式數目函數N(k)如圖8所示.

圖8　四級近似科赫雪花上本征模式數目函數

由圖8中得數據擬合得到的本征模式數目函數，如果把四級近似科赫雪花看作是多邊形，擬合公式是

Np(k)～0.073k2-1.345k

(6)

如果把四級近似科赫雪花看作是分形物體，擬合公式是

NS(k)～0.081k2-0.605kd

(7)

式(4)和式(6)誤差較大，式(5) 和式(7)誤差較小，這說明四級近似的科赫雪花邊界具有分形特性，不是一般的多邊形.

5　結論

我們對四級近似的科赫雪花進行正三角形網格剖分，數值求解，得到了離散化后的拉普拉斯算符的本征函數和本征值，畫出了科赫雪花上的前6個本征振動模式. 這些模式，完全或部分保持了科赫雪花原有的對稱性. 數值計算得到了前220個本征波矢量的數目函數，擬合公式表明，科赫雪花的邊界具有分形特性.

[1]呼格吉樂，邱為鋼. 振動模式的可視化[J]. 大學物理，2010，29(06)：40-42.

[2]科赫雪花[EB/OL]:http://mathworld.wolfram.com/KochSnowflake.html

[3]LapidusML，NeubergerJW，RenkaRJ，etal.Snowflakeharmonicsandcomputergraphics:numericalcomputationofspectraonfractaldrums[J].InternatJBifurcChaosApplSciEng，1996，6 (7)：1185-1210.

[4]McClureM.VibrationoftheKochdrum[J].MathEducRes，2007，12: 149-161.

[5]BerryM.StructuralStabilityinPhysics[M].Berlin:Springer-Verlag，1979: 51-53.

ThevibrationalmodesofKochsnowflakes

QIUWei-gang

(SchoolofScience,HuzhouTeachersCollege,Huzhou,Zhejiang313000,China)

TheeigenvibrationmodesofKochsnowflakearedrawnfromnumericalsolutions.Thesymmetriesofthesemodesanddistributionofwave-vectorarediscussed.

Kochsnowflake；vibrationalmodes

2015-02-25；

2015-05-19

國家自然科學基金(11475062，11275067)、湖州師范學院中青年教師卓越教學能力培養(yǎng)計劃專題項目(2014ZYJH017)資助

邱為鋼(1975—)，男，江蘇張家港人，湖州師范學院理學院副教授，博士，主要從事大學物理的教學和研究工作.

教學討論

O411;O441

A

1000- 0712(2016)01- 0007- 04