陳　杰，賀澤東，南　楠

(湖北汽車工業(yè)學(xué)院 理學(xué)院，湖北 十堰　442002)

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方波電動(dòng)勢(shì)激勵(lì)下的RLC串聯(lián)電路共振特性研究

陳杰，賀澤東，南楠

(湖北汽車工業(yè)學(xué)院 理學(xué)院，湖北 十堰442002)

從理論上研究了方波電動(dòng)勢(shì)激勵(lì)下的RLC串聯(lián)電路共振特性，得出電容兩極間電壓共振的條件及波形特點(diǎn)，并對(duì)研究結(jié)果進(jìn)行了模擬.

方波；RLC串聯(lián)電路；共振

RLC電路特性在電路及信號(hào)系統(tǒng)的分析中都有廣泛的應(yīng)用，其研究涉及到物理學(xué)的許多領(lǐng)域．RLC電路的共振特性在很多物理學(xué)教材都有詳細(xì)的論述，并且都是以電路中外加正弦規(guī)律變化的電動(dòng)勢(shì)來進(jìn)行闡述的，通過求解電路滿足的二階微分方程得到電共振的條件．對(duì)于方波電動(dòng)勢(shì)情況，現(xiàn)行教材和文獻(xiàn)少有提及，本文針對(duì)這一問題從理論上進(jìn)行了分析，得到電容兩極間電壓的共振條件及波形特點(diǎn)，并對(duì)分析結(jié)果進(jìn)行了模擬．

1　方波電動(dòng)勢(shì)激勵(lì)下的RLC串聯(lián)電路共振分析

1.1正弦波電動(dòng)勢(shì)下RLC串聯(lián)電路共振[1]

如圖1所示的RLC串聯(lián)電路，在外加電源電動(dòng)勢(shì)u(t)=u0sinωt持續(xù)作用下，其電容兩極間電壓uC振蕩的微分方程可描述為

圖1　RLC串聯(lián)電路

圖2　方波電動(dòng)勢(shì)

(1)

uC(t)=uC0sin(ωt+φ)

(2)

式中

(3)

1．2方波電動(dòng)勢(shì)下RLC串聯(lián)電路共振

在圖1所示電路中，如果外加電源電動(dòng)勢(shì)E呈現(xiàn)如圖2所示的方波變化，其滿足如下函數(shù)關(guān)系

(m為整數(shù),T為周期)

(4)

那么，電容兩極間電壓的共振特性將復(fù)雜很多．為了研究此情況下的共振特性，我們將方波函數(shù)按傅里葉級(jí)數(shù)展開，得到

(n為正整數(shù))

(5)

式中ω=2π/T．可以看出，展開式中除了第一項(xiàng)為直流部分外，其它項(xiàng)都為諧波，這些諧波頻率比為1:3:5:7:…，且振幅比為1:1/3:1/5:1/7:…．為求方波電動(dòng)勢(shì)激勵(lì)下方程(1)在穩(wěn)定情況下的通解，我們將式(5)中各項(xiàng)分別代入方程(1)，得到各部分對(duì)應(yīng)的二階微分方程的特解[2]．其中，直流部分對(duì)應(yīng)的特解為E/2，諧波部分對(duì)應(yīng)的特解為

(6)

式中

(7)

則方波激勵(lì)下方程式(1)在穩(wěn)定狀態(tài)下的解為

(8)

由各諧波共振條件可知，逐漸增大方波電動(dòng)勢(shì)頻率ω，RLC串聯(lián)電路電容兩極間電壓依次出現(xiàn)由高倍頻諧波至基頻諧波的多次共振，且各次共振振幅不同，其比例為…:1/7:1/5:1/3:1，呈逐漸增大趨勢(shì)．

由式(8)可以看出，uC振蕩波形跟方波電動(dòng)勢(shì)頻率ω相關(guān)，其振幅會(huì)受到各諧波項(xiàng)的調(diào)制。其中，基頻諧波項(xiàng)對(duì)波形幅度的調(diào)制起主導(dǎo)作用．

2　模擬分析

針對(duì)上述理論分析，在弱阻尼情況下，我們分別對(duì)部分諧波的振幅和uC隨ω的變化情況進(jìn)行了模擬，模擬中參數(shù)取值為:E=0.5 mV，R=15 Ω,L=10 mH，C=0.04 μF，結(jié)果分別如圖3、4所示. 可以看出，方波頻率取ω≈7 143 s-1、10 000 s-1、16 667 s-1和50 000 s-1時(shí)，uC波形分別出現(xiàn)7倍頻諧波共振、5倍頻諧波共振、3倍頻諧波共振和基頻諧波共振.其中基頻諧波共振振幅最大，更高倍頻共振振幅較小，表現(xiàn)不是很明顯.這些特性與上述分析一致．

同時(shí)，我們也對(duì)uC隨時(shí)間t的變化情況進(jìn)行了模擬，結(jié)果如圖5所示．從圖中看，除了幅度上的差別外，uC振蕩波形跟方波頻率的ω取值有關(guān)．在ω較高的情況下，uC振蕩的波形為正弦波形，而ω較低時(shí)，uC振蕩的波形為非正弦波形．我們分析認(rèn)為，對(duì)uC振蕩波形的影響主要來自方波中基頻部分，其它諧波影響甚微；隨著方波頻率ω的增大，uC振蕩的波形越來越趨近于基頻部分的正弦波形．uC振蕩的波形的這一變化特性可以從圖3各諧波的振幅變化情況中大致看出，在ω>25 000 s-1情況下，uC振蕩的幅度基本取決于式(8)中的基頻部分，即uC振蕩的波形表現(xiàn)為正弦波形.ω<25 000 s-1情況下，基頻諧波一直都對(duì)uC振蕩的幅度有不可忽略的調(diào)制作用， 而各高次諧波只在各自對(duì)應(yīng)的共振頻率附近時(shí)

圖3　部分諧波振幅隨ω的變化情況

圖4　uC隨ω的變化情況

對(duì)uC振蕩的幅度有主要貢獻(xiàn)，且共振頻率間的間隔隨著ω的減小越發(fā)變小，由于這些諧波共同的調(diào)制，所以u(píng)C振蕩的波形表現(xiàn)為非正弦波形.

圖5　uC隨時(shí)間t的變化情況

結(jié)束語

方波是物理學(xué)中一種常見的波形，在RLC電路的暫態(tài)特性實(shí)驗(yàn)中也常作為激勵(lì)電源的特定波形被選用，由此引起電路的一些新的特性應(yīng)該受到關(guān)注．本文針對(duì)方波電動(dòng)勢(shì)激勵(lì)下的RLC串聯(lián)電路的共振特性做了分析和模擬，得到一些具有參考意義的結(jié)論:1) 在方波電動(dòng)勢(shì)激勵(lì)下，電容兩極間電壓uC可以實(shí)現(xiàn)多次共振，各次共振振幅不同；2)uC振蕩的波形取決于方波電動(dòng)勢(shì)頻率，ω較高的情況下，uC振蕩的波形為正弦波形，而ω較低時(shí)，uC振蕩的波形為非正弦波形.

[1] 程守洙，江之永． 普通物理學(xué)下冊(cè)[M]．6版.北京：高等教育出版社, 2006：22-29

[2] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系．高等數(shù)學(xué)上冊(cè)[M]．2版.上海：同濟(jì)大學(xué)出版社, 2009：275-279

Resonance characteristics ofRLCseries circuit stimulated by electromotive force with square wave

CHNEN Jie,HE Ze-dong，NAN Nan

(School of Science,Hubei University of Automotive Technology,Shiyan,Hubei442002,China)

Resonance characteristics ofRLCseries circuit stimulated by electromotive force with square wave are theoretically studied,and the resonance condition and waveform feature of capacitor voltage are obtained．All these results are also stimulated．

square wave;RLCseries circuit; resonance

2015-05-18；

2015-08-10

校教學(xué)質(zhì)量工程(SJ201320)資助

陳 杰(1977—)，男，湖北大悟人，湖北汽車工業(yè)學(xué)院理學(xué)院講師，碩士，主要從事大學(xué)物理的教學(xué)研究工作.

O 453

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1000- 0712(2016)01- 0028- 03