董宇欣，董超鈾

(1. 延安大學 物理與電子信息學院，陜西 延安　716000；2. 延安職業(yè)技術(shù)學院 機電工程系，陜西 延安　716000)

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同心導體球殼間非均勻介質(zhì)中的靜電場

董宇欣1，董超鈾2

(1. 延安大學 物理與電子信息學院，陜西 延安716000；2. 延安職業(yè)技術(shù)學院 機電工程系，陜西 延安716000)

根據(jù)唯一性定理討論同心導體球殼之間存在不均勻介質(zhì)情況的靜電場，給出靜電場的表達式及電荷的分布.

介電常數(shù)；邊界條件；唯一性定理

兩同心導體球殼之間的靜電場，在一些特殊情況，如球殼之間存在均勻電介質(zhì)(以下電介質(zhì)均指線性介質(zhì))，兩種不同的均勻的電介質(zhì)，給出了精確的解[1，2].而對存在非均勻介質(zhì)情況討論得較少，本文根據(jù)靜電場的唯一性定理討論比文獻[1，2]更一般情況的靜電場.

1　球殼間存在非均勻介質(zhì)時的靜電場

如果同心導體球殼之間存在非均勻介質(zhì)，在一般情況，很難求出靜電場的精確表達式.但有些特殊情況，如當介質(zhì)的介電常數(shù)可以寫成

ε=εr(r)εθφ(θ，φ)

圖1

其中εr(r)可以在整個球殼內(nèi)連續(xù)變化，也可以在球殼內(nèi)按同心球面為邊界分塊連續(xù)變化；εθφ(θ，φ)可以在整個球殼內(nèi)連續(xù)變化，也可以在球殼內(nèi)按以頂角為球心的立體角(如圖1所示：以r方向沿導體球面上任意閉合曲線掃過的曲面所張的立體角)分塊連續(xù)變化.若把球殼區(qū)域分成n個同心子區(qū)域Vri；再把球殼區(qū)域按以頂角為球心的立體角分成m個同心子區(qū)域Vθφj.則Vri與Vθφj的交集區(qū)域Vij的介電常數(shù)為

εij=εri(r)εθφj(θ，φ)

對于這種電介質(zhì)分布可以找到滿足邊界條件和場方程(ρf=0)

n×(E2-E1)=0

(1)

n·(D2-D1)=σ

(2)

(3)

(4)

的解，根據(jù)唯一性定理可知此解為靜電場唯一解.下面將討論這種情況.

設導體球殼內(nèi)充滿介電常數(shù)為ε=εr(r)εθφ(θ，φ)的非均勻介質(zhì)，內(nèi)球殼外徑為r0，外球殼內(nèi)徑為rn，分別帶電Q和-Q，如果設E為有心場且與r有關(guān)，即

E=E(r)er

若介質(zhì)按上述分塊均勻，則各分區(qū)域側(cè)面兩側(cè)的電場與邊界面相切并有相同的數(shù)值，各分區(qū)域底面電場的切向分量為零，因此邊界條件式(2)得到滿足且由于Er=E(r)，Eθ=Eφ=0，所以在介質(zhì)中滿足

則各分區(qū)域側(cè)面D的法向為零，各分區(qū)域底分界面兩側(cè)的D連續(xù)，因此邊界條件式(1)也得到滿足.球?qū)ΨQ的E在導體球面上處處與球面垂直，因而保證導體球面為等勢面.待定常數(shù)A與總電荷Q滿足(下式中S為球殼第i層同心子區(qū)域內(nèi)任意同心球面，Sj為S在第j個立體角子區(qū)域的部分，所張立體角為Ωj)

所以

故

(5)

(6)

2　導體及電介質(zhì)的電荷分布

由于D不具有球?qū)ΨQ性，因此導體球面的自由電荷分布應與電介質(zhì)的分布有關(guān)；而E具有球?qū)ΨQ性，所以總電荷(自由電荷與極化電荷之和)的分布也具有球?qū)ΨQ性，只是在徑向的分布與電介質(zhì)有關(guān).下面討論自由電荷、極化電荷和總電荷的分布.

2.1自由電荷分布

自由電荷僅在導體球面，所以內(nèi)導體外球面、外導體內(nèi)球面的自由電荷分布分別為：

(7)

(8)

由式(7)和式(8)可知導體球面上的自由電荷不是均勻分布，僅與電介質(zhì)的介電常數(shù)中的εθφ(θ，φ)有關(guān)，隨θ、φ的變化而變化.

2.2極化電荷分布

球殼內(nèi)的極化電荷可分為電介質(zhì)內(nèi)的體電荷、電介質(zhì)與電介質(zhì)分界面的面電荷及電介質(zhì)與導體分界面的面電荷，其體電荷和面電荷密度分別為：

體極化電荷

(9)

電介質(zhì)與電介質(zhì)分界面極化電荷面密度為

(10)

電介質(zhì)與導體分界面極化電荷面密度(r=r0，rn分別為導體表面與同心子區(qū)域分界面，在導體內(nèi)有P=0)為：

(11)

(12)

從式(9)可以看出各層電介質(zhì)中的體極化電荷球?qū)ΨQ分布，與各立體角子區(qū)域無關(guān)；從式(10)也可以看出各層電介質(zhì)分界面的面極化電荷均勻分布，也與各立體角子區(qū)域無關(guān)；從式(11)和式(12)可以看出導體表面與同心子區(qū)域分界面上的面極化電荷不是均勻分布，但兩分界面上自由電荷與極化電荷之和：

則為均勻分布，從而保證電場的球?qū)ΨQ性.

3　球殼間存在分塊均勻介質(zhì)時的靜電場

設同心導體球殼內(nèi)球外徑為r0，外球內(nèi)徑為rn，分別帶電Q和-Q，導體球殼內(nèi)按塊均勻分布著介電常數(shù)不同的電介質(zhì)，其中第i層，第j立體角子區(qū)域電介質(zhì)的介電常數(shù)為εij，如果第i層子區(qū)域的電介質(zhì)滿足

ki為僅與i有關(guān)的常數(shù)，則

εij=kiε1j=εri(r)εθφj(θ，φ)，(j=1，2，…，m)

即

εri(r)=ki，εθφj(θ，φ)=ε1j

所以A的分母積分為

把上式分別代入式(7)—式(12)可得到球殼內(nèi)的電場、電荷表達式，這里只寫出電場和電位移的表達式如下：

即在同一層同心球殼子區(qū)域中電場強度的表達式相同；在同一立體角子區(qū)域電位移的表達式相同.下面通過具體例子來討論球殼間存在分塊均勻介質(zhì)時的靜電場.設同心球殼各子區(qū)域中電介質(zhì)的介電常數(shù)為

圖2

ε11=k1ε11=1ε0，ε21=k2ε11=3ε0，

ε12=k1ε12=1·2ε0，ε22=k2ε12=3·2ε0

則εr1=k1=1，εr2=k2=3；εθφ1=ε0，εθφ2=2ε0，所以A的分母積分為

故根據(jù)式(7)—式(12)可得到球殼內(nèi)的電場表達式為：

極化體電荷密度為

導體球殼的面電荷密度為：

電介質(zhì)與導體球殼分界面的極化電荷面密度為：

兩介質(zhì)分界面的極化電荷面密度為

電介質(zhì)與導體球殼分界面的總電荷面密度為：

通過以上計算可知，σr0f和σr2f、σP0和σP2不是均勻分布，它們之和σr0、σr2仍然保持均勻分布，如前述分析從而保證E的球?qū)ΨQ分布.

3　球殼間存在分塊均勻介質(zhì)時的電容

導體球殼間存在分塊均勻介質(zhì)時兩球殼的電壓為

所以導體球殼間存在分塊均勻介質(zhì)時體系電容的倒數(shù)滿足

其中

Cij可看作子區(qū)域Vij的電容，Ci則為第i層同心球殼子區(qū)域Vi的電容.因此第i層同心球殼子區(qū)域Vi的電容為第i層各子區(qū)域Vij電容的并聯(lián)，導體球殼體系的電容為各層同心球殼子區(qū)域Vi電容的串聯(lián).還可以證明第j同心立體角子區(qū)域Vj的電容為第j同心立體角各子區(qū)域Vij電容的串聯(lián)，導體球殼體系的電容為各同心立體角子區(qū)域Vj電容的并聯(lián).

[1]趙凱華，陳熙謀.電磁學(上冊)[M].北京：高等教育出版社，1978：161.

[2]郭碩鴻.電動力學 [M].北京：高等教育出版社，1979：64.

Electrostaticfieldbetweentwoconcentricconductivesphericalshells

DONGYu-xin1,DONGChao-you2

(1.SchoolofPhysicsandElectronicInformation，YananUniversity，Yan’an，Shaanxi716000,China;2.Yan’anInstituteofVocationandTechnology，Yan’an，Shaanxi716000，China)

Electrostaticfieldisdiscussedwhentherearenon-uniformdielectricsbetweentwoconcentricconductivesphericalshellsusinguniquenesstheorem．Expressionsofelectrostaticfieldanddistributionofelectricityaregiven．

dielectricconstant；boundarycondition；uniquenesstheorem

2015-02-27；

2015-08-09

董宇欣(1988—)，女，陜西延安人，延安大學物理與電子信息學院教師，碩士，主要從事電磁理論的教學工作.

O441

A

1000- 0712(2016)01- 0020- 04