趙　潔,邱　菊,崔麗彬,張蔭民,薛紅玲

(1.北京工業(yè)大學 實驗學院，北京　101101;2.北京信息科技大學 光電信息與儀器北京市工程研究中心，北京　100192)

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聲速測定實驗中次極大現(xiàn)象的次頻因素定量探討

趙潔1,邱菊1,崔麗彬1,張蔭民2,薛紅玲1

(1.北京工業(yè)大學 實驗學院，北京101101;2.北京信息科技大學 光電信息與儀器北京市工程研究中心，北京100192)

大學物理實驗中的聲速測定實驗，對理解波疊加和駐波的知識有重要作用.但共振干涉法中出現(xiàn)的“次極大”現(xiàn)象，極易造成實驗操作的誤判.本文針對這一現(xiàn)象進行了定量探討.通過Matlab數(shù)值仿真和信號發(fā)生器信號的傅里葉頻譜分析，并與實驗數(shù)據(jù)對照，得出結論：“次極大”現(xiàn)象不是由“次頻”共振引起.

超聲波;駐波;聲速測定;次極大;定量

聲波是在彈性媒質中傳播的機械波，為了描述該機械波在媒質中的傳播特性，聲速是基本物理量之一.而且聲速與媒質的性質及狀態(tài)有關，因此測定聲速就可以了解被測媒質的性質、狀態(tài)及其變化，所以對聲速的測定是非常重要的.根據(jù)頻率范圍的不同，聲波可以分為可聞聲波和超聲波，前者的頻率范圍在20～20 000 Hz，后者在20 000 Hz以上.由于超聲波具有波長短，易于定向發(fā)射等優(yōu)點，因此在超聲波段測聲速是比較方便的.

聲速測定實驗是綜合的大學物理實驗之一，其中使用了共振干涉和相位比較兩種方法測量超聲波的波長，再與信號發(fā)生器發(fā)出信號的頻率相乘，則可得到超聲波的傳播速度.這個實驗對于學生理解波的疊加、駐波知識具有重要的作用.但是由于實驗在原理分析中作了近似，假設只有兩列振幅不衰減的相向傳播的波疊加形成駐波，因此實驗中觀察到與理論不符的現(xiàn)象.這些現(xiàn)象包括：主極大的振幅隨接收端與發(fā)射端之間距離的增大而減??；當接收端和發(fā)射端之間的距離較小時，出現(xiàn)“次極大”現(xiàn)象，即在駐波相鄰波腹之間存在次極大振幅.對第一種現(xiàn)象的研究包括：文獻[1]—文獻[9]考慮了波的能量損耗和波形(平面波/球面波)，推導出兩個壓電陶瓷片之間復雜的波動方程，并指出示波器所顯示波形非位移波形，為聲壓波形，當發(fā)射端和接收端之間的距離滿足半波長整數(shù)倍時，示波器顯示極大的振幅.第二種現(xiàn)象在換能器之間的距離大于10 mm時是可以避免的[10].而對“次極大”現(xiàn)象的產(chǎn)生主要有兩種解釋：一種是由于信號源頻率不純引起的“次頻”共振現(xiàn)象[5,6,11]，這種方法考慮能量損耗進行多次反射疊加計算，沒有發(fā)現(xiàn)“次極大”現(xiàn)象，因此認為“次極大”現(xiàn)象是由“次頻”共振引起的；另一種是由于超聲波在界面多次反射疊加的結果[8,12]，也沒有定量說明.最近，還有一種解釋認為是換能器中鋁冠厚度引起的相位延遲導致“次極大”出現(xiàn)[13].

本文主要針對可能引起“次極大”現(xiàn)象的“次頻”共振展開討論.首先在理論上推導了兩列波疊加的振幅和聲壓的表達式；然后，應用示波器的頻譜分析功能研究了信號發(fā)生器發(fā)射信號的頻譜，并應用Matlab軟件進行數(shù)值仿真；最后，測量了聲速測定儀對不同頻率信號的響應曲線，從振幅的角度說明“次極大”現(xiàn)象不是由“次頻”共振引起的.通過把Matlab軟件和頻譜分析的概念引入到物理實驗的教學中，有利于提高大學生分析和解決問題的能力.

1　“次極大”現(xiàn)象的定量描述

在聲速測定實驗中，當聲速測定儀的發(fā)射端和反射端之間的距離是半波長整數(shù)倍時，其間形成穩(wěn)定的駐波，移動反射端的位置，就能依次探測到波腹和波節(jié)，對應示波器上的振幅從最大到最小的周期性變化.但當發(fā)射端和反射端之間的距離較小時，在兩個相鄰的波腹對應極大振幅之間存在次極大振幅，次極大的振幅比極大振幅小，但比極小的振幅大.且觀察次極大的振幅和出現(xiàn)的位置，還存在一定的規(guī)律性，下面用實驗數(shù)據(jù)來說明.

此時，信號發(fā)生器的頻率為40 kHz，表1為共振干涉法中接收端位置與示波器接收信號振幅的實驗數(shù)據(jù)，圖1是對應表1數(shù)據(jù)的曲線，其上標示了極大和次極大所在的位置，分析振幅和間距：

間距(次極大1—極大1)=0.849 mm，

振幅比(極大1/次極大1)=5

間距(次極大2—極大2)=1.643 mm，

振幅比(極大2/次極大2)=5.8

間距(次極大3—極大3)=2.14 mm，

振幅比(極大3/次極大3)=4.9

可見，次極大到相鄰的極大之間的間距近似滿足1∶2∶3的關系，而次極大與相鄰極大之間的振幅比近似為1∶5的關系.下面定量分析可能產(chǎn)生“次極大”現(xiàn)象的“次頻”共振.

表1　共振干涉法中接收端位置與信號振幅關系的實驗數(shù)據(jù)

圖1　共振干涉法中接收端位置與信號振幅的關系曲線

2　超聲波反射疊加理論基礎

分析超聲波在兩個壓電陶瓷片之間反射疊加的情況.為了簡單起見，采用平面波模型，忽略波在傳播過程中的損耗和反射造成的能量損失，且只計算兩列波疊加的情況.與實驗數(shù)據(jù)一致，超聲波的頻率ν=40 kHz，波長λ=9 mm，發(fā)射和反射的壓電陶瓷面之間的距離為l，建立如圖2所示的坐標系.則沿x軸正向傳播A的波函數(shù)可表達為

圖2　超聲波在發(fā)射和反射端兩列波疊加原理圖及坐標系

(1)

假設A的振幅為1 mm，初相位為0.被反射端反射后，沿x軸負向B傳播的波函數(shù)可表達為

(2)

式中π是由于存在半波損失.

合成的波函數(shù)S為A、B之和，即

S(x,t)=A(x,t)+B(x,t)

(3)

實驗中，接收器接收到的是聲壓p，可表示為[14]

(4)

K是空氣的體積模量，假設為“1”.該式不容易作進一步簡化來分析“次極大”現(xiàn)象，可以采用Matlab軟件進行數(shù)值仿真研究.

3　“次頻”共振研究

針對“次極大”可能是由于信號發(fā)生器頻率不純而產(chǎn)生“次頻”共振現(xiàn)象，應用美國力科LeCroy WaveRunner 610Zi示波器的頻譜分析功能，對信號發(fā)生器發(fā)出信號的頻譜進行研究.假設信號發(fā)生器發(fā)出的信號為g(t)，其頻譜G(f)可用下式表示為：

(5)

其中f是連續(xù)的頻率變量.分析G(f)即可判斷信號的頻率組成.

這里，信號發(fā)生器的頻率輸出為40 kHz，圖3(a)顯示了不同頻率信號的頻率和振幅，圖3(b)是信號的頻譜圖.可見，除了40 kHz以外，確實存在其它的頻率成分，在28.678 kHz、51.317 kHz、79.997 kHz、119.995 kHz等處也有信號.

圖3　信號發(fā)生器發(fā)出40 kHz信號的頻譜圖

如果是由于“次頻”共振現(xiàn)象導致的“次極大”，以40 kHz和次頻28.678 kHz為例，應用Matlab軟件根據(jù)式(4)進行數(shù)值仿真，距離l為1.5λ，觀察形成駐波的聲壓情況如圖4所示.其中，40 kHz形成主極大，28.678 kHz形成次極大，分析可知相鄰的極大和次極大不是等間距的，間距分別是1.775 mm、3.55 mm、5.325 mm，為1:2:3的關系.這與本文第1部分“次極大”現(xiàn)象的定量描述中所分析實驗數(shù)據(jù)的比例關系吻合，但間距的具體值不符，可能由于實驗中存在著測量誤差.

圖4　40 kHz(實線)和28.678 kHz(虛線)信號形成駐波的聲壓情況

下面從極大與次極大振幅比的角度進行分析.實驗中測量了聲速測定儀對不同頻率信號的響應曲線，表2是信號頻率與第一極大振幅關系的實驗數(shù)據(jù)，圖5是對應表2數(shù)據(jù)的曲線.

表2　聲速測定儀頻率響應實驗數(shù)據(jù)

圖5　聲速測定儀頻率響應曲線

由數(shù)據(jù)可知，聲速測定儀對39.998 kHz和28.678 kHz兩個頻率信號響應的振幅比約為1000:1.再結合圖3(a)的數(shù)據(jù)，39.998 kHz振幅為29.87 dBm，28.678 kHz振幅僅為-40.27 dBm，其中1 dBm的定義為

(8)

因此兩信號的振幅比約為107/2.所以，極大和次極大的振幅之比應為1013/2.但由第2部分的實驗數(shù)據(jù)可知，相鄰的極大和次極大振幅之比為5左右，相去甚遠.因此，“次極大”不是由“次頻”共振引起的.

4　結論

針對聲速測量實驗中可能引起“次極大”現(xiàn)象的“次頻”共振解釋，首先在理論上推導了兩列波疊加的振幅和聲壓；然后，應用示波器的頻譜分析功能研究了信號發(fā)生器發(fā)射信號的頻譜，并應用Matlab軟件進行數(shù)值模擬；最后測量了聲速測定儀對不同頻率信號的響應曲線，從振幅的角度說明“次極大”現(xiàn)象不是由“次頻”共振引起的.由于理論分析方法與大學物理非常接近，因此便于工科學生理解，且把Matlab軟件和頻譜分析的概念引入到物理實驗的教學中，有利于提高大學生分析和解決問題的能力.

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Quantitatively discussion of the sub-maximum phenomenon in sound velocity experiment

ZHAO Jie1,QIU Ju1,CUI Li-bin1,ZHANG Yin-min2,XUE Hong-ling1

(1. The Pilot College,Beijing University of Technology,Beijing 101101,Chian;2. Beijing Engineering Research Center of Optoelectronic and Instrument,Beijing Information Science &Technology University,Beijing 100192,China)

The experiment of measuring sound velocity in university plays the important role in comprehending the knowledge of wave superposition and standing wave.However,the sub-maximum phenomenon existing in the resonance interference method usually results in mistakes during experiment.This paper discusses quantitatively this phenomenon.Based on the numerical simulation of Matlab software,Fourier spectrum analysis of the information produced by signal generator,and compared with the experiment data,the conclusion is that the sub-maximum phenomenon is not related with the sub-frequency signal.

ultrasonic;standing wave;sound velocity measurement;sub-maximum;quantity

2014-08-07；

2015-06-10

北京市工程研究中心開放課題(Q5024000201301)、北京工業(yè)大學實驗學院教研項目資助

趙潔(1982—)，女，河北保定人，北京工業(yè)大學實驗學院講師，博士，主要從事大學物理和物理實驗教學、數(shù)字全息和光學信息處理科研工作.

O 422.1

A

1000- 0712(2016)01- 0035- 04