梁木

概率與統(tǒng)計是高中數(shù)學教學中學生難于理解的內容之一。筆者結合多年的教學實踐總結了以下教學經(jīng)驗，在教學中這些都是學生容易發(fā)生的錯誤，僅供參考。

一、等可能事件的判斷

例1：擲兩枚骰子，求事件A為出現(xiàn)的點數(shù)之和等于3的概率。

錯解：擲兩枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)之和的可能數(shù)值為{2，3，4，……，12}，有利于事件A的結果只有3，故 P（A）=。

分析：公式僅當所述的試驗結果是等可能性時才成立，而取數(shù)值2和3不是等可能的，2只有這樣情況（1，1）才出，而3有兩種情況（1，2），（2，1）可出現(xiàn)，其它的情況可類推。

正確答案 擲兩枚骰子可能出現(xiàn)的情況：（1，1），（1，2），…，（1，6），（2，1），（2，2），…，（2，6），…，（6，1），（6，2），…，（6，6），結果總數(shù)為6×6=36。

在這些結果中，事件A的含有兩種結果（1，2），（2，1）。

二、等可能事件中事件總數(shù)與事件A包含事件數(shù)計算方法不一致的問題

例2：從含3件次品的10件產(chǎn)品中，一件一件地不放回地任意取出4件，求4件中恰有1件次品的概率。

錯解：因為第一次有10種取法，第二次有9種取法，第三次有8種取法，第四次有7種取法，由乘法原理可知從10件取4件共有10×9×8×7種取法，故從10件產(chǎn)品（其中次品3件）中，一件一件地不放回地任意取出4件含有10×9×8×7個可能的結果。

設A=“取出的4件中恰有1件次品”，則A含有 種結果（先從3件次品中取1件，再從7件正品中取3件），

分析：計算所有可能結果個數(shù)是用排列的方法，即考慮了抽取的順序；而計算事件A所包含結果個數(shù)時是用組合的方法，即沒有考慮抽取的順序。

正解：（1）都用排列方法

所有可能的結果共有個，事件A包含個結果（4件中要恰有1件次品，可以看成四次抽取中有一次抽到次品，有種方式，對于每一方式，從3件次品中取一件，再從7件正品中一件一件地取3件，共有種取法）

（2）都用組合方法

一件一件不放回地抽取4件，可以看成一次抽取4件，故共有個可能的結果，事件A含有種結果。

三、互斥與獨立概念不清楚

例3：甲投籃命中率為0.8，乙投籃命中率為0.7，每人投3次，兩人恰好都命中2次的概率是多少？

錯解：設“甲恰好投中兩次”為事件A，“乙恰好投中兩次”為事件B，則兩人都恰好投中兩次為A+B。

分析：本題錯解的原因是把相互獨立同時發(fā)生的事件當成互斥事件來考慮。將兩人都恰好投中2次理解為“甲恰好投中兩次”與“乙恰好投中兩次”的和。

正確解答：設“甲恰好投中兩次”為事件A，“乙恰好投中”為事件B，則兩人都恰好投中兩次為事件AB。

例4：某家庭電話在家中有人時，打進的電話響第一聲時被接的概率為0.1，響第2聲時被接的概率為0.3，響第3聲時被接的概率為0.4，響第4聲時被接的概率為0.1，那么電話在響前4聲內被接的概率是多少：

錯解：設電話響第1聲時，被接的概率為：P（A1）=0.1

電話響第2聲時被接的概率為：P（A2）=0.3，

電話響第3聲時被接的概率為：P（A3）=0.4，

電話響第4聲時被接的概率為：P（A4）=0.1，

所以電話在響前4聲內被接的概率是：P（A1）P（A2）P（A3）P（A4）

分析：本題錯解的原因在于把互斥事件當成相互獨立同時發(fā)生的事件來考慮，而電話在響前4聲內，每一聲是否被接彼此互斥。

正解：P（A1）+P（A2）+P（A3）+P（A4）

分析：以上兩例錯誤的原因都在于把兩事件互斥與兩事件相互獨立混同。兩事件A，B互斥與A，B相互獨立，這兩個概念有何關系？.A，B互斥，則P（A︱B）=0，P（A︱）= P（A）從而A發(fā)生的概率與另一事件B是否發(fā)生密切相關。而那種認為“兩事件相互獨立必定互斥”的認識是錯誤的。因為在P（A）>0，P（B）>0的條件下，若A，B相互獨立，則P（AB）=P（A）·P（B）>0；而若A，B互斥，則P（AB）=0，兩個概念出現(xiàn)矛盾，這就說明在P（A）>0，P（B）>0的情況下，相互獨立不能互斥。

因此，在一般情況下，互斥與相互獨立是兩個互不等價，完全不同的概念。

四、混淆互斥與對立的概念

例5：從裝有2個紅球和2個白球的口袋內任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（ ）

（A）至少有1個白球，都是白球

（B）至少有1個白球，至少有1個紅球

（C）恰有1個白球，恰有2個白球

（D）至少有1個白球，都是紅球

錯誤答案（D）。

分析 本題錯誤的原因在于把“互斥”與“對立”混同

要準確解答這類問題，必須搞清對立事件與互斥事件的聯(lián)系與區(qū)別，這二者的聯(lián)系與區(qū)別主要體現(xiàn)在以下三個方面：

（1）兩事件對立，必定互斥，但互斥未必對立；

（2）互斥的概念適用于多個事件，但對立概念只適用于兩個事件；

（3）兩個事件互斥只表明這兩個事件不能同時發(fā)生，即至多只能發(fā)生其中一個，但可以都不發(fā)生；而兩事件對立則表示它們有且僅有一個發(fā)生。

正解（A），（B）不互斥，當然也不對立，（C）互斥而不對立，（D）不但互斥而且對立，所以正確答案應為（C）。

五、元素相同與不同的判斷

例7；將n個球等可能地放入到N個編號的盒子中去（每個盒子容納球的個數(shù)不限），求事件A=“某指定的n個盒子中恰好各有一球的概率”。

錯解：將n個球等可能地放入到N個編號的盒子中，所有可能的結果數(shù)為Nn，而事件A含有n！種結果。

分析：這種解法不全面，如果球是編號的（即可辨認的），則答案是對的；若球是不可辯認的，則答案完全錯了。因為球是不可辯認的，故只考慮盒子中球的個數(shù)，不考慮放的是哪幾個球。我們在此用符號“□”表示一個盒子，“○”表示球，先將盒子按號碼排列起來1 2 3 4 5…N

這樣的N個盒子由N+1個“|”構成，然后把n個球任意放入N個盒子中，比如：|○|○○|…|○○○|，在這樣的放法中，符號“|”和“○”共占有：N+1+n個位置，在這N+1+n個位置中，開始和末了的位置上必須是“|”，其余的N+n-1個位置上“|”和“O”可以任意次序排列。則N-1個“︱”和n個“○”在中間的N+n-1個位置上的可以區(qū)別的所有可能結果數(shù)是，將n個不可辨認的球放入指定的n個盒子，使每盒恰有一球的放法只有1種，故事件A含1個結果，從而正解：分兩種情況：

（1）當球是可辯認的，則 P（A）=n！/Nn

（2）當球是不可辨認的，則 P（A）=1/

以上是學生在學習概率中經(jīng)常出錯的地方，老師在教學中應該針對以上的問題進行教學，希望我們在教學中積極的總結經(jīng)驗，為B版教材的完善做出應有的貢獻。