雷　雨，蔡宏兵

(1. 中國(guó)科學(xué)院國(guó)家授時(shí)中心，陜西 西安　710600；2. 中國(guó)科學(xué)院時(shí)間頻率基準(zhǔn)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安　710600；3. 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京　100049)

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顧及最小二乘擬合端點(diǎn)效應(yīng)的日長(zhǎng)變化預(yù)報(bào)*

雷雨1,2,3，蔡宏兵1,2

(1. 中國(guó)科學(xué)院國(guó)家授時(shí)中心，陜西 西安710600；2. 中國(guó)科學(xué)院時(shí)間頻率基準(zhǔn)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安710600；3. 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京100049)

針對(duì)日長(zhǎng)(Length Of Day, LOD)變化預(yù)報(bào)中最小二乘(Least Squares, LS)擬合存在端點(diǎn)效應(yīng)的問(wèn)題，采用時(shí)間序列分析方法對(duì)日長(zhǎng)變化序列進(jìn)行端點(diǎn)延拓，形成一個(gè)新序列，然后用新序列建立最小二乘模型，最后再結(jié)合最小二乘模型和自回歸(Autoregressive, AR)模型對(duì)原始日長(zhǎng)變化序列進(jìn)行預(yù)報(bào)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在日長(zhǎng)變化序列兩端增加統(tǒng)計(jì)延拓?cái)?shù)據(jù)，能有效減小最小二乘擬合序列的端點(diǎn)畸變，從而提高日長(zhǎng)變化的預(yù)報(bào)精度，尤其對(duì)中長(zhǎng)期預(yù)報(bào)精度提高明顯。

日長(zhǎng)變化；預(yù)報(bào)；最小二乘擬合；端點(diǎn)效應(yīng)；時(shí)間序列分析

日長(zhǎng)變化是表征地球自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的一個(gè)重要參量，反映了地球自轉(zhuǎn)速率的快慢。日長(zhǎng)變化與極移(Polar Motion, PM)的兩個(gè)分量統(tǒng)稱為地球自轉(zhuǎn)參數(shù)(Earth Rotation Parameters, ERP)。地球自轉(zhuǎn)參數(shù)是實(shí)現(xiàn)地球參考系與天球參考系相互轉(zhuǎn)換的必需參數(shù)，在衛(wèi)星導(dǎo)航、深空探測(cè)以及天文地球動(dòng)力學(xué)研究等領(lǐng)域有重要應(yīng)用[1]。衛(wèi)星激光測(cè)距(Satellite Laser Ranging, SLR)、甚長(zhǎng)干涉基線測(cè)量(Very Long Baseline Interferometry, VLBI)與全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(Global Navigation Satellite System, GNSS)等現(xiàn)代空間測(cè)地技術(shù)是獲取地球自轉(zhuǎn)參數(shù)的主要手段，但復(fù)雜的資料處理過(guò)程使得地球自轉(zhuǎn)參數(shù)的獲取存在一定延遲，因此對(duì)地球自轉(zhuǎn)參數(shù)進(jìn)行高精度預(yù)報(bào)是一項(xiàng)必要工作。

當(dāng)前預(yù)報(bào)日長(zhǎng)變化的方法有多種，這些方法大多是最小二乘外推模型和其他模型的組合，如最小二乘外推與自回歸(Autoregressive, AR)模型的組合(LS+AR)[2]、最小二乘外推與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Neural Network, NN)技術(shù)的組合(LS+NN)[3-5]和最小二乘外推與高斯過(guò)程回歸(Gaussian Process Regression, GPR)模型的組合(LS+GPR)[6-7]等。這些組合方法均是首先建立最小二乘外推模型，得到日長(zhǎng)變化序列趨勢(shì)項(xiàng)和周期項(xiàng)的外推值，再利用其他方法對(duì)最小二乘擬合殘差序列進(jìn)行預(yù)報(bào)，而日長(zhǎng)變化預(yù)測(cè)值為最小二乘外推值和殘差序列預(yù)測(cè)值的疊加。

實(shí)際工作中發(fā)現(xiàn)，在利用最小二乘模型對(duì)日長(zhǎng)變化序列進(jìn)行擬合時(shí)，在擬合序列的兩端存在發(fā)散畸變現(xiàn)象(在數(shù)據(jù)處理中稱作端點(diǎn)畸變效應(yīng)，簡(jiǎn)稱端點(diǎn)效應(yīng))，致使趨勢(shì)項(xiàng)、周期項(xiàng)和殘差序列的預(yù)報(bào)值出現(xiàn)偏差，最終導(dǎo)致日長(zhǎng)變化序列的最終預(yù)測(cè)值不準(zhǔn)確。本文針對(duì)日長(zhǎng)變化預(yù)報(bào)中最小二乘擬合存在端點(diǎn)效應(yīng)的問(wèn)題，在利用最小二乘模型擬合日長(zhǎng)變化序列之前，先采用時(shí)間序列分析方法對(duì)日長(zhǎng)變化序列進(jìn)行數(shù)據(jù)延拓，即在觀測(cè)序列的兩端增加用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法延拓出的若干數(shù)據(jù)點(diǎn)，形成一個(gè)新序列，然后用新序列求得最小二乘模型系數(shù)，最后再利用最小二乘外推與自回歸組合模型對(duì)日長(zhǎng)變化原始序列進(jìn)行預(yù)測(cè)。算例表明，通過(guò)對(duì)觀測(cè)序列兩端的數(shù)據(jù)延拓，可以有效消除端點(diǎn)效應(yīng)的影響，從而提高日長(zhǎng)變化預(yù)報(bào)的精度。

1　預(yù)報(bào)方法

1.1資料預(yù)處理

本文所用日長(zhǎng)變化資料源自國(guó)際地球自轉(zhuǎn)與參考系服務(wù)(International Earth Rotation and Reference Systems Service, IERS)組織發(fā)布的EOP 05 C04序列，采樣間隔為1 d。日長(zhǎng)變化序列中包含多種周期性變化成分，其中對(duì)周期為5 d～18.6 a的62個(gè)固體地球帶諧潮汐項(xiàng)利用IERS協(xié)議給出的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ徒o予扣除[8]，而扣除這些固體潮汐項(xiàng)后的日長(zhǎng)變化稱為ΔLODR。本文對(duì)日長(zhǎng)變化的預(yù)報(bào)均是針對(duì)ΔLODR的預(yù)報(bào)。

1.2最小二乘外推模型

日長(zhǎng)變化序列扣除固體潮汐項(xiàng)后，還含有長(zhǎng)期趨勢(shì)項(xiàng)和周年項(xiàng)、半周年項(xiàng)等季節(jié)性變化成分，這些趨勢(shì)項(xiàng)和周期項(xiàng)采用下述最小二乘模型進(jìn)行擬合和外推：

(1)

其中，T1和T2分別表示周年項(xiàng)和半周年項(xiàng)的振蕩周期，本文取T1=365.24 d、T2=182.62 d；a和b表示長(zhǎng)期趨勢(shì)項(xiàng)參數(shù)；c1和d1表示周年項(xiàng)參數(shù)；c2和d2表示半周年項(xiàng)參數(shù)。這6個(gè)未知參數(shù)可以通過(guò)最小二乘法求得。

1.3自回歸模型

自回歸模型是對(duì)平穩(wěn)時(shí)間序列{zt,t=1, 2, …,n}建立的一個(gè)概率統(tǒng)計(jì)模型，它根據(jù)變量自身過(guò)去的變化規(guī)律來(lái)建立預(yù)報(bào)模型，其數(shù)學(xué)模型為

(2)

其中，p為模型階次；εt為白噪聲；φ1,φ2, …,φp為模型參數(shù)，可以采用Yule-Walker方程求解。

使用自回歸模型的關(guān)鍵在于選取模型階次p。常用的定階準(zhǔn)則有信息論準(zhǔn)則、傳遞函數(shù)準(zhǔn)則與最終預(yù)報(bào)誤差準(zhǔn)則，這3種準(zhǔn)則在實(shí)際應(yīng)用中是等效的[9]。本文選用赤池信息量準(zhǔn)則(Akaike Information Criterion, AIC)確定階次p，準(zhǔn)則函數(shù)可以表示為

(3)

當(dāng)模型階次p和模型參數(shù)φ1, φ2, …, φp確定時(shí)，可根據(jù)下述方式進(jìn)行時(shí)間序列的多步外推預(yù)報(bào)。

(4)

(5)

(6)

1.4預(yù)報(bào)流程

本文預(yù)報(bào)方法與常規(guī)方法的區(qū)別在于，本文方法在對(duì)ΔLODR序列建立趨勢(shì)項(xiàng)和周期項(xiàng)最小二乘外推模型之前，首先利用時(shí)間序列分析方法在ΔLODR序列首尾兩端進(jìn)行數(shù)據(jù)延拓，以削弱最小二乘擬合端點(diǎn)效應(yīng)的影響，具體方法如下：

(1)首先根據(jù)(1)式對(duì)ΔLODR序列進(jìn)行最小二乘擬合，建立趨勢(shì)項(xiàng)和周期項(xiàng)外推模型，然后利用自回歸模型對(duì)最小二乘殘差序列進(jìn)行預(yù)報(bào)，最后利用最小二乘外推與自回歸組合模型在ΔLODR序列首尾兩端分別外推若干數(shù)據(jù)點(diǎn)，這樣原始ΔLODR序列加上首尾兩端外推的數(shù)據(jù)形成了一個(gè)新序列。

(2)利用新序列確定最小二乘模型系數(shù)，即用新序列重新建立趨勢(shì)項(xiàng)和周期項(xiàng)最小二乘外推模型，然后再結(jié)合最小二乘模型和自回歸模型對(duì)原始ΔLODR序列進(jìn)行預(yù)報(bào)。

需要說(shuō)明的是，新序列只用來(lái)求解最小二乘模型系數(shù)，而在后續(xù)預(yù)報(bào)中仍然使用原始ΔLODR序列。

2　算例分析

選用1999年1月1日至2011年10月22日期間的日長(zhǎng)變化數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，其中2010年1月1日至2011年10月22日作為預(yù)報(bào)期，建模序列長(zhǎng)度取為10a。

為了驗(yàn)證端點(diǎn)數(shù)據(jù)延拓方法對(duì)端點(diǎn)效應(yīng)的改善效果，首先對(duì)比端點(diǎn)延拓前后最小二乘擬合效果。圖1繪出了端點(diǎn)延拓前后最小二乘擬合的殘差序列，其中圖1(a)為最小二乘擬合序列首端前50個(gè)歷元的殘差序列，圖1(b)為最小二乘擬合序列尾端最后50個(gè)歷元的殘差序列，擬合時(shí)段為2000年10月26日至2010年10月25日，端點(diǎn)延拓?cái)?shù)據(jù)個(gè)數(shù)為360，即在首尾兩端各外推360個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。

圖1端點(diǎn)延拓前后最小二乘擬合效果對(duì)比

Fig.1ComparisonofLSfittingwithandwithoutedgeextension

從圖1可以看到，與端點(diǎn)延拓前相比，端點(diǎn)延拓后最小二乘擬合殘差在序列首尾兩端更接近于0，即端點(diǎn)延拓后最小二乘擬合的ΔLODR序列更為準(zhǔn)確，這說(shuō)明端點(diǎn)延拓方法能有效抑制最小二乘擬合出現(xiàn)的端點(diǎn)效應(yīng)問(wèn)題。為了進(jìn)一步說(shuō)明端點(diǎn)延拓方法對(duì)端點(diǎn)效應(yīng)的改善作用，本文選取1999年1月1日至2009年12月31日期間的日長(zhǎng)變化數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合實(shí)驗(yàn)，將擬合長(zhǎng)度取為10 a，每隔1 d擬合1次，即擬合滑動(dòng)窗口為10 a，總共擬合300次，并統(tǒng)計(jì)每次端點(diǎn)延拓前后首部和尾部50個(gè)歷元?dú)埐钚蛄械木礁`差(Root Mean Square Error, RMSE)，其中端點(diǎn)延拓前首部和尾部50個(gè)歷元?dú)埐钚蛄械?00次平均均方根誤差分別為0.29 ms和0.30 ms，端點(diǎn)延拓后首部和尾部50個(gè)歷元?dú)埐钚蛄械?00次平均均方根誤差分別為0.22 ms和0.23 ms，實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以說(shuō)明端點(diǎn)延拓方法對(duì)端點(diǎn)畸變的抑制效果。

為了驗(yàn)證本文方法相對(duì)于常規(guī)最小二乘外推與自回歸組合模型對(duì)日長(zhǎng)變化預(yù)報(bào)精度的改善情況，分別利用這兩種方法對(duì)日長(zhǎng)變化進(jìn)行1～360 d跨度預(yù)報(bào)，選用均方根誤差作為精度評(píng)估指標(biāo)，其計(jì)算公式為

(7)

其中，Pj、Oj分別表示j點(diǎn)的日長(zhǎng)變化預(yù)測(cè)值和觀測(cè)值；l為預(yù)報(bào)跨度；N為預(yù)報(bào)期數(shù)。本文總共進(jìn)行了300期的預(yù)報(bào)，每次預(yù)報(bào)時(shí)建模序列長(zhǎng)度始終取為10 a，每隔1 d滑動(dòng)預(yù)報(bào)1次，即N=300。

圖2給出了本文方法和常規(guī)最小二乘外推與自回歸組合模型的日長(zhǎng)變化預(yù)報(bào)均方根誤差對(duì)比圖，表1統(tǒng)計(jì)了兩種方法在各種跨度的預(yù)報(bào)均方根誤差情況。結(jié)合圖2和表1可以看出，本文方法的預(yù)報(bào)精度相對(duì)于常規(guī)最小二乘外推與自回歸組合模型在各個(gè)預(yù)報(bào)跨度有不同程度的改善，其中，對(duì)于1～30 d短期預(yù)報(bào)，預(yù)報(bào)精度改善不明顯，在10%以內(nèi)；從第30 d開始，本文方法的預(yù)報(bào)精度明顯優(yōu)于常規(guī)最小二乘外推與自回歸組合模型，精度最大改善了15.80%，且一直保持在13%左右，這說(shuō)明本文方法對(duì)于中長(zhǎng)期跨度預(yù)報(bào)具有更明顯的優(yōu)勢(shì)，同時(shí)也從側(cè)面說(shuō)明端點(diǎn)效應(yīng)對(duì)日長(zhǎng)變化中長(zhǎng)期預(yù)報(bào)的影響更大。

圖2本文方法和常規(guī)最小二乘外推與自回歸組合模型的日長(zhǎng)變化預(yù)報(bào)均方根誤差對(duì)比

Fig.2　Comparison of the prediction RMSE between the LS+AR and the proposed method

3　結(jié)　論

本文提出了一種顧及最小二乘擬合端點(diǎn)效應(yīng)的日長(zhǎng)變化預(yù)報(bào)方法，其實(shí)質(zhì)是在原始序列兩端增加統(tǒng)計(jì)延拓?cái)?shù)據(jù)，以將最小二乘擬合出現(xiàn)的端點(diǎn)效應(yīng)移至模擬序列的兩端，從而減小原始序列的端點(diǎn)畸變。算例表明，通過(guò)在觀測(cè)序列的兩端增加用時(shí)間序列分析方法延拓的模擬數(shù)據(jù)點(diǎn)，然后再進(jìn)行最小二乘擬合，可以有效削弱端點(diǎn)效應(yīng)的影響；相對(duì)于常規(guī)最小二乘外推與自回歸組合預(yù)報(bào)模型，本文方法的日長(zhǎng)變化預(yù)報(bào)精度有明顯改善，對(duì)于中長(zhǎng)期預(yù)報(bào)其精度提高尤為明顯。此外，在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，端點(diǎn)延拓長(zhǎng)度對(duì)本文方法的預(yù)報(bào)精度具有較大影響，本文對(duì)此并未進(jìn)行深入研究，而僅僅選取了相對(duì)較優(yōu)的預(yù)報(bào)結(jié)果，因此，本文方法仍有提升空間。對(duì)于如何選取最佳的端點(diǎn)延拓長(zhǎng)度，將進(jìn)行深入研究。

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Enhancing the Prediction Accuracy of the Length of Day Change by Eliminating the Edge-effect of Least Squares Fitting

Lei Yu1,2,3, Cai Hongbing1,2

(1. National Time Service Center, Chinese Academy of Sciences, Xi’an 710600, China, Email: leiyu@ntsc.ac.cn;2. Key Laboratory of Time and Frequency Primary Standards, Chinese Academy of Sciences, Xi’an 710600, China;3. University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China)

In order to eliminate the edge-effect of least squares (LS) fitting for the length of day change (ΔLOD), the time-series analysis model is first used to extrapolate ΔLOD series forward and backward and then generate a new series. Subsequently, the cofficients of a LS model are estimated using the new generated series. As a result, the edge-effect is changed to the edge of the new series, and thus the original fitted ΔLOD series can be free from the edge-effect. Finally, a combination of LS and autoregressive (AR) models (LS+AR) is employed to predict the original ΔLOD data. The results indicate that the proposed method can efficiently eliminate the edge-effect, and thus improve the prediction accurcy of the LS+AR model, especially for medium- and long-term prediction.

Length Of Day (LOD) change; Prediction; Least Squares (LS) fitting; Edge-effect; Time-series analysis

中國(guó)科學(xué)院 “西部之光” 人才培養(yǎng)計(jì)劃聯(lián)合學(xué)者項(xiàng)目(201491) 資助.

2015-12-29；

2016-01-19

雷雨，男，博士. 研究方向：地球自轉(zhuǎn)變化監(jiān)測(cè)與預(yù)報(bào). Email: leiyu@ntsc.ac.cn

P227.1

A

1672-7673(2016)04-0441-05

CN 53-1189/PISSN 1672-7673