邵美珍

[摘 要] 基于高考對(duì)“四基”（基本知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)）的考查，預(yù)示著高三復(fù)習(xí)教學(xué)形式應(yīng)有所變化，微專題教學(xué)是高三復(fù)習(xí)教學(xué)的有力補(bǔ)充，對(duì)提升學(xué)生的“四基”有所幫助.

[關(guān)鍵詞] 四基；平面向量；微專題

高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)主要是引導(dǎo)學(xué)生要學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)、會(huì)用數(shù)學(xué)的情境. 高三復(fù)習(xí)時(shí)間比較緊張，我們教師要努力爭(zhēng)取在短時(shí)間內(nèi)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維的參與度. 高三復(fù)習(xí)課要以提高復(fù)習(xí)效率，提升學(xué)生基本知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)為目的，最終提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 為便于說(shuō)明，本文以“平面向量概念及運(yùn)算”為例，來(lái)開(kāi)展微專題教學(xué). 本教案的設(shè)計(jì)主要源于課本，近5年的高考、?？季?，以提升學(xué)生“四基”為目的.

考情分析與教學(xué)目標(biāo)

1. 研究考題，掌握考情

平面向量的概念及運(yùn)算是近幾年高考和?？荚囶}中?？嫉膬?nèi)容，在江蘇省近5年高考題中，每年都考1-2題，2011年第10題，2012年第9、15題，2013年第10、15題，2014年第12題，2015年第6題.本節(jié)主要從向量的概念、幾何表示法、向量的加減法、實(shí)數(shù)與向量的積、坐標(biāo)運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)入手，難度不大，多以低、中檔題為主，高考考綱主要是B級(jí)要求.

2. 明確目標(biāo)，突出能力

從知識(shí)層面上，通過(guò)本課教學(xué)使學(xué)生熟練掌握平面向量的知識(shí)點(diǎn)，回歸課本，引導(dǎo)學(xué)生熟練掌握向量的加減法，向量的坐標(biāo)運(yùn)算等問(wèn)題.從知識(shí)結(jié)構(gòu)上，通過(guò)不斷改變問(wèn)題情境，培養(yǎng)學(xué)生的觀察分析、數(shù)形結(jié)合、拓展延伸能力，總結(jié)解決平面向量問(wèn)題的通性通法，以點(diǎn)帶面，促進(jìn)學(xué)生構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò). 從培養(yǎng)學(xué)生能力的角度上，通過(guò)題目?jī)?nèi)在的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生抽象概括、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想以及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.

教學(xué)設(shè)計(jì)

1. 課前熱身，自主學(xué)習(xí)

（1）給出下列五個(gè)命題：①a2=a2；②=；③（a·b）2=a2·b2；

④（a-b）2=a2-2a·b+b2；⑤若a·b=0，則a=0或b=0. 其中正確的是①④.

（2）（教材P80例5改編）設(shè)向量a=（m，1），b=（1，m），若a與b共線且方向相反，則m= -1 .

（3）（2015江蘇高考）已知向量a=（2，1），b=（1，-2），若ma+nb=（9，-8）（m，n∈R），則m-n的值為 -3 .

（4）等腰直角三角形ABC中，A=90°，AB=AC=2，D是斜邊BC上一點(diǎn)，則·（+）= 4 .

設(shè)計(jì)意圖與教學(xué)設(shè)想：?jiǎn)栴}（1）通過(guò)自主學(xué)習(xí)，掌握向量的概念及運(yùn)算律，向量不滿足消去律、結(jié)合律，兩向量數(shù)量積為0的充要條件是兩向量垂直或兩向量中至少有一向量為零向量；問(wèn)題（2）復(fù)習(xí)了兩向量平行的充要條件，a∥b？圳？堝λ∈R，a=λb？圳x1y2=x2y1，兩種方法都可以，要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用；問(wèn)題（3）是常規(guī)的向量計(jì)算；問(wèn)題（4）是向量的數(shù)形結(jié)合，主要考了向量的加法法則、平行四邊形法則. 預(yù)設(shè)題型教學(xué)時(shí)間為10分鐘左右，讓學(xué)生交流解題方法，總結(jié)易錯(cuò)點(diǎn)和結(jié)論，教師根據(jù)學(xué)生的回答，進(jìn)行適時(shí)點(diǎn)撥以達(dá)到真正理解和掌握基本知識(shí)的目的.

2. 經(jīng)典陳題，合作探索

例1（教材P82-8改編） 已知=（1，2），=（2-m，1-m），若∥，則實(shí)數(shù)m= 3 .

解：因?yàn)椤?，所?·（1-m）=2·（2-m），解得m=3.

變式1：若A，B，C三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)m=3.

變式2：若∠BAC為銳角，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為m<.

變式3：若∠BAC為鈍角，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為m>且m≠3.

變式4：若△ABC為直角三角形，則實(shí)數(shù)m=-，，1，.

設(shè)計(jì)意圖與教學(xué)設(shè)想：本題的設(shè)計(jì)意圖主要是讓學(xué)生熟練掌握兩向量平行的充要條件；變式1通過(guò)三點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為兩向量共線的問(wèn)題，變式2、變式3對(duì)于兩向量夾角是鈍角（銳角）的情況要轉(zhuǎn)化為a·b<0或（a·b>0）且a不平行于b進(jìn)行處理；變式3要注意分類討論∠A，∠B，∠C為90°.

例2 （2014高三調(diào)研一）在△ABC中，BO是AC上的中線，=2，若∥，且=+λ（λ∈R），則實(shí)數(shù)λ的值為.

圖1

解法1：因?yàn)?+=+=+（-）

=+=+，

=-=+（λ-1）.

又因?yàn)椤危驭?1=，即λ=.

解法2：不妨設(shè)=m，則有

=+=+m=+m（+）

=+m+=+m-

=+m-·（+）

=+m-·（+-）

=+.

又=+λ，所以=，從而m=，所以λ==.

設(shè)計(jì)意圖與教學(xué)設(shè)想：本題考查向量的基本知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題，做此類向量題目時(shí)，唯一的標(biāo)準(zhǔn)是通過(guò)向量的運(yùn)算法則將未知的向量向已知的向量靠攏.

變式1：（2014江蘇高考）在平行四邊形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，·=2，則·= 22 .

圖2

說(shuō)明：解法1，突破口是把，通過(guò)向量的運(yùn)算法則轉(zhuǎn)化為已知的，；解法2，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，A（0，0），B（8，0），設(shè)D（a，t），通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)解決.

變式2：在等腰三角形ABC中，底邊BC=2，=，=，若·= -，則·=-.

圖3

說(shuō)明：以BC為x軸，BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，B（-1，0），C（1，0），設(shè)A（0，y），通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算求解.

3. 課堂反饋，動(dòng)手實(shí)踐

（1）設(shè)向量a=（1，2），b=（2，3），若向量λa+b與向量c=（-4，-7）共線，則λ= 2 .

（2）（2013年江蘇高考）設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD=·AB，BE=BC，若=λ1+λ2（λ1，λ2為實(shí)數(shù)），則λ1+λ2的值為.

（3）（教材P97習(xí)題9改編）設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，=2e1+ke2，=e1+3e2，=2e1-e2，若A，B，D三點(diǎn)共線，則k=-8.？搖

（4）（2015高三調(diào)研一）在平行四邊形ABCD中，E為DC的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)M，AB=，AD=1，且·=-，則·=.

圖4

設(shè)計(jì)意圖與教學(xué)設(shè)想：課堂的及時(shí)反饋，是教師掌握學(xué)生課堂學(xué)習(xí)效果與質(zhì)量的重要環(huán)節(jié)，設(shè)計(jì)的幾個(gè)題型圍繞例題展開(kāi)，目的在于，一方面讓學(xué)生感受高考題，熟悉其設(shè)計(jì)思路，另一方面，希望學(xué)生在實(shí)踐活動(dòng)的基礎(chǔ)上，及時(shí)總結(jié)歸納，反思得失.

4. 復(fù)習(xí)鞏固，課后反思

（1）已知向量=（k，12），=（4，5），=（10，k），且A，B，C三點(diǎn)共線，則k=11或-2.

（2）（教材P82）設(shè)向量a=（2，1），b=（1，x），若（2a+b）∥a+b，則x=.

（3）已知a=（2，1）與b=（1，2），要使a+tb最小，則實(shí)數(shù)t的值為-.

（4）（教材P89改編）設(shè)a=（x，3），b=（2，-1），若a與b的夾角為鈍角，則x的取值范圍是x<且x≠-6.

（5）（2013遼寧高考）已知點(diǎn)A（1，3），B（4，-1），則與向量同方向的單位向量為，-.

（6）（2015蘇州高三期末）在△ABC中，AB=4，AC=6，∠BAC=60°，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且=2，=3，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，則·的值為 4 .

圖5

設(shè)計(jì)意圖與教學(xué)設(shè)想：設(shè)計(jì)高考、?？碱}型的訓(xùn)練，幫助學(xué)生及時(shí)鞏固所學(xué)知識(shí)，體會(huì)考點(diǎn)要求，查漏補(bǔ)缺.

小結(jié)與反思

小結(jié)：向量是數(shù)學(xué)中比較重要和基本的概念之一，它是溝通代數(shù)、三角函數(shù)和幾何的一種重要工具，有著極其豐富的實(shí)際操作背景. 向量的概念比較抽象，理論性強(qiáng)，解題方法也比較獨(dú)特，現(xiàn)把向量的運(yùn)算做如下歸納：

（1）代數(shù)運(yùn)算：向量的加減法運(yùn)算，向量的數(shù)乘運(yùn)算，向量的數(shù)量積運(yùn)算；

（2）幾何運(yùn)算：數(shù)形結(jié)合的基本思想，是解決問(wèn)題的基本方法.重點(diǎn)是三角形法則、平行四邊形法則，利用這些法則能很好地解決向量中的幾何運(yùn)算問(wèn)題，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；

（3）坐標(biāo)運(yùn)算：向量的坐標(biāo)運(yùn)算是連接幾何與代數(shù)運(yùn)算的橋梁，通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算的“解析法”來(lái)解決解析幾何及立體幾何中的實(shí)際問(wèn)題.

反思：在解決平面向量問(wèn)題時(shí)，要熟練掌握向量加、減法的運(yùn)算、向量數(shù)乘的運(yùn)算，兩向量的平行、垂直、坐標(biāo)運(yùn)算，能夠?qū)⑾蛄康倪\(yùn)算律和實(shí)數(shù)的運(yùn)算律進(jìn)行比較；借助數(shù)形結(jié)合的思想方法，把抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為形象具體的問(wèn)題.通過(guò)對(duì)向量運(yùn)算的操作性練習(xí)，發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力，感受向量與代數(shù)、幾何之間的聯(lián)系，體會(huì)它們之間的聯(lián)系，認(rèn)識(shí)向量的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值和文化價(jià)值.

總之，在準(zhǔn)備高三復(fù)習(xí)課時(shí)，我們要以核心素養(yǎng)觀為指導(dǎo)，以提升學(xué)生“四基”為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)教學(xué)，要更多地把關(guān)注點(diǎn)放在知識(shí)的回顧、鞏固、再學(xué)習(xí)和再認(rèn)識(shí)上，放在學(xué)習(xí)策略、思維方法和探索途徑上. 讓學(xué)生走出題海戰(zhàn)術(shù)，更多地倡導(dǎo)啟發(fā)式、討論式、探究式、參與式教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的好奇心和學(xué)習(xí)的興趣，為學(xué)生營(yíng)造獨(dú)立思考、自主探究、勇于創(chuàng)新的良好環(huán)境，讓學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，從而提高高三復(fù)習(xí)效率，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).