陳秀琴,趙 娜，李鈞濤

(1.信陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院,河南 信陽 464000;2.河南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，河南 新鄉(xiāng) 453007)

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多輸入不確定離散系統(tǒng)的變結(jié)構(gòu)控制

陳秀琴,趙 娜，李鈞濤

(1.信陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院,河南 信陽 464000;2.河南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，河南 新鄉(xiāng) 453007)

目的 針對一類多輸入離散不確定系統(tǒng),提出一種新的變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計。方法 利用Lyapunov理論和變結(jié)構(gòu)控制理論,分析當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)擾動和外界擾動滿足一定條件時,通過設(shè)計觀測器的方法,對不確定項(xiàng)提出了一種新的估計,按照所設(shè)計的不確定項(xiàng)估計量,能夠使不確定項(xiàng)估計誤差不超過ε/(1-λ);并且當(dāng)不確定項(xiàng)變化緩慢時，能夠使觀測誤差趨近于零。結(jié)果 根據(jù)變結(jié)構(gòu)控制理論分析，系統(tǒng)的抖振是難以避免的,所以如何處理不確定項(xiàng)是降低抖振的關(guān)鍵，通過設(shè)計不確定項(xiàng)的估計量解決了這一問題。通過選擇合適的切換函數(shù)和控制器,可使系統(tǒng)所有狀態(tài)落入一個確定的區(qū)域,特別是當(dāng)不確定項(xiàng)變化緩慢時,閉環(huán)系統(tǒng)能夠漸近穩(wěn)定,并且可使系統(tǒng)抖振指數(shù)衰減至零。最后給出的仿真實(shí)例也驗(yàn)證了該方法的有效性。結(jié)論 給出的滑模變結(jié)構(gòu)控制器可以有效地降低系統(tǒng)抖振，提高系統(tǒng)的性能。

不確定離散系統(tǒng);滑?？刂?不確定性估計量;抖振

0 引 言

由于離散系統(tǒng)的狀態(tài)是嚴(yán)格限制在一個時間序列,不能完全發(fā)生在切換面。因此這種系統(tǒng)增加了控制的難度。近來，離散系統(tǒng)引起了學(xué)者的廣泛關(guān)注，并從不同角度如切換面、干擾補(bǔ)償、抖振克制等提出了多種設(shè)計方法[1-12]。盡管這些方法在某些條件約束下能改善系統(tǒng)的動態(tài)性能和降低抖振。但是這些方法設(shè)計較復(fù)雜且易增大系統(tǒng)誤差?；诨Ｗ兘Y(jié)構(gòu)控制理論,提出了利用不確定性觀測器估計外界擾動,用觀測值來設(shè)計控制器的新方法，而且適當(dāng)選取觀測器可以使觀測誤差充分小。和常規(guī)方法相比，所設(shè)計的控制器能夠有效降低抖振,特別是當(dāng)不確定性變化緩慢時能使系統(tǒng)抖振指數(shù)衰減到零。最后,基于MATLAB 6.5軟件對多輸入離散不確定系統(tǒng)進(jìn)行分析和數(shù)值模擬,驗(yàn)證了該滑?？刂品椒ǖ膬?yōu)良性能。

1 設(shè)計不確定性估計量

考慮下面的多輸入離散不確定系統(tǒng):

x(k+1)=(A+ΔA)x(k)+(B+ΔB)u(k)+d(k)

(1)

其中x∈Rn是系統(tǒng)狀態(tài)變量,u∈Rm是控制輸入,A、B是已知常數(shù)矩陣,且(A,B)可控,B矩陣是滿列秩,ΔA、ΔB代表參數(shù)擾動,d(k)是未知有界的外部干擾。

目的是設(shè)計滑?？刂破魇归]環(huán)系統(tǒng)在參數(shù)擾動和未知外部干擾下漸近穩(wěn)定,并且降低系統(tǒng)抖振。

假設(shè)1ΔA、ΔB、d(k)滿足以下條件：

x(k+1)=Ax(k)+B(u(k)+ω(k))

(2)

x1(k+1) =A11x1(k)+A12x2(k)=A1x(k)

x2(k+1)=A21x1(k)+A22x2(k)+B2u(k)+f(k)

=A2x(k)+B2u(k)+f(k)

(3)

其中f=(k)=B2ω(k)。

根據(jù)變結(jié)構(gòu)控制理論知，系統(tǒng)的抖振是難以避免的,所以如何處理不確定性是降低抖振的關(guān)鍵，下面通過設(shè)計不確定性的估計量來解決這個問題。

根據(jù)式(3)，提出如下的不確定性估計量：

μ(k+1)=-λμ(k)+(λ+1)[x2(k)+A2(k)]+B2u(k)]

(4)

(5)

假設(shè)2 ‖f(k+1)-f(k)‖≤ε，其中ε>0。

推論 根據(jù)式(4)和式(5)來設(shè)計不確定性估計量,能夠使不確定性估計誤差不超過ε/(1-λ)。

證明 由式(3)和式(5)式得：

=(λ+1)[A2x(k)+B2u(k)+f(k)]+λμ(k)-(λ+1)[x2(k)+A2x(k)+B2u(k)]

=(λ+1)f(k)+λμ(k)-(λ+1)x2(k)

(6)

=λef(k)-Δf(k)

(7)

解方程(7)可得：

‖ef(k+1)‖≤λ‖ef(k)‖+ε≤λ2‖ef(k-1)‖+λε+ε

(8)

則

(9)

所以當(dāng)k足夠大時，估計誤差不超過ε/(1-λ)。

如果不確定性變化緩慢，即Δf(k)≈0時，從假設(shè)2知可以取ε=0，即：

2 滑?？刂圃O(shè)計

由式(3)得：

x1(k+1)=A11x1(k)+A12x2(k)

(10)

選擇切換函數(shù)：

s(k)=[C1,I]x(k)=Cx(k)

(11)

即滑模動態(tài)為:

x1(k+1)=(A11-A12C1)x1(k)

(12)

定義邊界層為：

Sδ={x(k);‖s(k)‖≤δ}

(13)

下面可以取控制器

(14)

證明 把式(14)代入式(11)得：

s(k+1)=Cx(k+1)=CAx(k)+B2u(k)+f(k)

(15)

如果系統(tǒng)狀態(tài)在k時刻超出邊界層,即，‖s(k)‖>δ，則有

s(k+1)=αs(k)-ef(k)

‖s(k+1)‖≤α‖s(k)‖+‖ef(k)‖

(16)

如果不確定性變化緩慢，即f(k)≈f(k-1),根據(jù)式(15)有

如果系統(tǒng)狀態(tài)在k時刻超出邊界層,即‖s(k)‖>δ，則有

=αs(k)=α2‖s(k-1)‖=…=αk+1‖s(0)‖

→0

(17)

因此,閉環(huán)系統(tǒng)所有狀態(tài)將落入邊界層Sδ內(nèi)，并且能使系統(tǒng)抖振指數(shù)衰減至零。

3 數(shù)值仿真

(18)

考慮下面的不確定離散時間系統(tǒng)：

x(k+1)=(A+ΔA)x(k)+(B+ΔB)u(k)+d(k)

設(shè)計擾動觀測器

u(k+1)=-λμ(k)+(λ+1)[x2(k)+A2(k)+B2u(k)]

圖1 估計量的變化曲線圖

(19)

其中f(k)=0.1x1(k)-0.2x2(k)+0.1u(k)+0.1sin(0.05k),x(0)=(4.5,-7),λ=0.1。不確定性的估計量仿真結(jié)果如圖1所示,有效地顯示了不確定性估計的精確度。

取切換函數(shù)為

s(k)=Cx(k)=2x1(k)+x2(k)

(20)

根據(jù)(14)設(shè)計控制器

其中α=0.5,β=0.7,δ=0.6,仿真結(jié)果如圖2和圖3所示。

4 討 論

研究了一類多輸入離散不確定系統(tǒng)的變結(jié)構(gòu)控制?；跀_動觀測器，給出了一種新的魯棒變結(jié)構(gòu)控制器，該控制器能夠有效地降低抖振，特別是當(dāng)不確定性變化非常緩慢時,可以使系統(tǒng)抖振指數(shù)衰減至零。

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[責(zé)任編輯：關(guān)金山 英文編輯：劉彥哲]

Variable Structure Control for Uncertain Multi-Input Discrete-Time System

CHEN Xiu-qin1,ZHAO Na1，LI Jun-tao2

(1.School of Mathematics and Computer Science,Xinyang Vocational and Technical College,Xinyang,Henan 464000,China;2.College of Mathematics and Information Science,Henan Normal University,Xinxiang,Henan 453007,China)

Objective This paper proposes a design of a new variable structure controller against a class of multi-input discrete uncertain systems.Methods By using Lyapunov theory and variable structure control theory,it is analyzed that when the system parameters perturbation and external disturbances satisfy certain conditions,a new estimation for uncertainties is proposed with the method of designing observer.According to the estimator designed in this paper,the estimating error of uncertainty is less than standard.And when if uncertainties change slowly,the observation error is close to zero.Results According to the variable structure control theory,the system’s chattering is difficult to avoid.So how to deal with uncertainties is the key to reduce the chattering.The design of uncertainty estimator is used to solve the problem.The appropriately selected switching function and controller can make all states of the system fall into a certain area.Especially when the uncertainty change is slow,the closed-loop system is asymptotically stable,which can make the system chattering exponential decays to zero.Finally the simulation examples verify the effectiveness of the proposed method.Conclusion Sliding mode variable structure controller given in this paper can effectively reduce the chattering of the system and improve the performance of the system.

uncertain discrete-time system;sliding mode control;uncertainty estimator;chattering

國家自然科學(xué)基金(61203293);河南省重點(diǎn)科技攻關(guān)計劃(122102210131)

陳秀琴(1981-)，女，河南信陽人，信陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師，理學(xué)碩士。

O 415.5

A

10.3969/j.issn.1673-1492.2016.07.001