史建軍

江蘇省丹陽(yáng)高級(jí)中學(xué)　(212300)

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精彩源于經(jīng)典，求新促成創(chuàng)新
——高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課“問(wèn)題衍化”的教學(xué)嘗試

史建軍

江蘇省丹陽(yáng)高級(jí)中學(xué)(212300)

1.重溫經(jīng)典，意在求新

《蘇教版·普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)選修4-5(不等式選講)》第14頁(yè)有一道例題：

高三進(jìn)行回歸課本復(fù)習(xí)時(shí)，又與這道 “陳題”相遇，本題證法眾多，背景深刻，堪稱“經(jīng)典”.但與不等式中眾多的例題相比，本題似乎過(guò)于簡(jiǎn)單，以至于在講解本題時(shí)，不經(jīng)意間就輕描淡寫(xiě)地一帶而過(guò).然而，只要我們進(jìn)行廣角度的審視，全方位的思考，深層次的探究，多渠道的創(chuàng)新，就能推“陳”出“新”，把“經(jīng)典”演繹成“精彩”.

2.多重衍化，推陳出新

師生探究：與條件比較，顯然當(dāng)a≥5時(shí),不等式成立；當(dāng)a≤2時(shí)不等式不成立.因此只要對(duì)a=3,4進(jìn)行驗(yàn)證即可，經(jīng)驗(yàn)證，a≥4.

師生探究：

教師總結(jié)：除了上述方法，本題還可以用移項(xiàng)平方，構(gòu)造幾何圖形等方法證明，這里不再一一列舉.事實(shí)上，本題的被開(kāi)方數(shù)還能繼續(xù)推廣.

教師引導(dǎo)：我們?cè)诮鉀Q問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常以特殊問(wèn)題為起點(diǎn)，逐步分析、比較、討論，層層深入，從解決特殊問(wèn)題的規(guī)律中，尋求解決一般問(wèn)題的方法和規(guī)律，并由此推廣到一般.剛才我們已經(jīng)將被開(kāi)方數(shù)的數(shù)字推廣為字母，一個(gè)大膽的猜想油然而生：能否用變量代替常量，進(jìn)一步“拓展”根指數(shù)空間？

師生探究：

∵a>b>c>0，∴a-b>0,a-c>0,b-c>0.

不等式兩端的分子分母均為正，兩端的分子相等，而該不等式左端分母各項(xiàng)分別大于右端分母各項(xiàng)，故該不等式成立.

教師引導(dǎo)：上述證明的方法是“有理化”，靈感來(lái)自于衍化2的證法一，其關(guān)鍵是利用恒等式：

an-bn=(a-b)(an-1+an-2·b+…+bn-1).這個(gè)恒等式的本質(zhì)是等比數(shù)列求和公式的逆用，掌握并熟練運(yùn)用實(shí)屬不易.還有其他思路嗎？

師生探究：在衍化5中,類比衍化2的證法二可得：

教師引導(dǎo)：衍化5的證法二及衍化2的證法二都充分發(fā)掘了問(wèn)題所蘊(yùn)含的深刻的函數(shù)背景，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性使問(wèn)題迎刃而解.從上述證法的證明過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)f′(x)和g(x)=f(x)-f(x-c)的單調(diào)性有何關(guān)系？這里的函數(shù)f(x)能否推廣到一般函數(shù)？

延伸結(jié)論1若函數(shù)f(x)定義在區(qū)間D上，且滿足f′(x)是減函數(shù),則對(duì)?c>0,g(x)=f(x)-f(x-c)也是減函數(shù).

證明：∵函數(shù)f′(x)在D上是減函數(shù),而c>0,∴f′(x)

延伸結(jié)論2若函數(shù)f(x)定義在區(qū)間D上，且滿足f′(x)是增函數(shù),則對(duì)?c>0,g(x)=f(x)-f(x-c)也是增函數(shù).

證明：仿上可證.

3.縱橫聯(lián)絡(luò)，促成創(chuàng)新

思考：設(shè)a>b>c>0,t∈R.則at-bt<(a-c)t-(b-c)t是否成立？

這里的t∈R，“有理化”的方法顯然已無(wú)能為力，但我們從t的連續(xù)性敏銳地察覺(jué)到了其散發(fā)出的濃濃的函數(shù)氣息，構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性解決已然水到渠成.

師生探究：設(shè)f(x)=xt(x>0)，則f′(x)=t·xt-1.令k(x)=f′(x),∵k′(x)=t(t-1)xt-2，當(dāng)t>1或t<0時(shí),k′(x)>0,∴f′(x)在(0,+∞)上遞增.構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-f(x-c),∵g′(x)=f′(x)-f′(x-c)>0,故函數(shù)g(x)在(c,+∞)上是增函數(shù)，∵a>b>c>0,∴g(a)>g(b)，∴at-(a-c)t>bt-(b-c)t，即at-bt>(a-c)t-(b-c)t.

同理可得0

因此我們得到：

衍化6設(shè)a>b>c>0,t∈R.

(1)若t>1，則at-bt>(a-c)t-(b-c)t；

(2)若0

(3)若t=1或t=0，則at-bt=(a-c)t-(b-c)t；

(4)若t<0，則at-bt>(a-c)t-(b-c)t.

衍化7設(shè)a>b>c>0,t>0且t≠1，則

ta-tb>ta-c-tb-c.

師生探究：設(shè)f(x)=tx(x>0),t>0且t≠1，∵f′(x)=tx·ln t，令k(x)=f′(x)=tx·ln t，∵k′(x)=tx·(ln t)2>0恒成立，∴f′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-f(x-c),∵g′(x)=f′(x)-f′(x-c)>0,故函數(shù)g(x)在(c,+∞)上是增函數(shù)，∵a>b>c>0,∴g(a)>g(b)，ta-ta-c>tb-tb-c，即ta-tb>ta-c-tb-c.

教師總結(jié)：通過(guò)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行多角度、多方面的探索研究，有意識(shí)地從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探索“變”的規(guī)律，找出問(wèn)題中所蘊(yùn)含的事物發(fā)展的規(guī)律，從而得到更廣泛的新結(jié)論，這不僅讓我們體會(huì)到了成功的喜悅和創(chuàng)造性工作的快樂(lè)，更增強(qiáng)了我們探求未知世界的信心和勇氣.

4.課后反思

以問(wèn)題為中心的課堂教學(xué)是目前數(shù)學(xué)教學(xué)創(chuàng)新的一個(gè)熱門(mén)話題，數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)是思維活動(dòng)，思維過(guò)程中最富有創(chuàng)新的是對(duì)問(wèn)題的探究.高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中，引領(lǐng)學(xué)生課堂思維和互動(dòng)的最基本而又最有效的是分析例題.那么，課堂上設(shè)置什么例題，如何呈現(xiàn)，如何有效分析，才能引發(fā)學(xué)生深度思維，是值得教師深思的問(wèn)題.

4.1轉(zhuǎn)變觀念，重視課本例題教學(xué)

本節(jié)課從教材的一道例題出發(fā)，關(guān)注其特性，并對(duì)其衍化，得到更為一般性的結(jié)論，這是對(duì)教材例題的深化.這種依托教材的挖掘不僅讓學(xué)生鞏固了數(shù)學(xué)思想方法，而且拓寬了學(xué)生的知識(shí)視野，更可貴的是，這種拓展方式讓學(xué)生對(duì)新問(wèn)題、新知識(shí)倍感親切，接受自然，這是對(duì)教材例題的升華.這種依托教材的“衍化”不僅打通了前后知識(shí)間的聯(lián)系，更滲透了一種研究問(wèn)題的思路和方法，這樣的教材“再回首”，就知識(shí)層面而言起到了“固本拓新”之效；就應(yīng)試層面而言，也讓學(xué)生切實(shí)感受到某些“難題”源于教材，高于教材的特點(diǎn)，從而提高了對(duì)教材的重視程度.

時(shí)下“一體化教學(xué)案”在各地盛行，其優(yōu)勢(shì)有目共睹，但隨著時(shí)間的推移，其弊端也顯而易見(jiàn)，甚至在使用時(shí)還存在著一些誤區(qū).為增加課堂“容量”，有的學(xué)案拋開(kāi)課本，對(duì)課本知識(shí)乃至例題不屑一顧，取而代之的是課外例題和練習(xí)題，這些補(bǔ)充的例題不僅量多，而且難度偏大，在課堂有限的時(shí)間內(nèi)，師生只能疲于奔命，對(duì)例題也是淺嘗輒止，根本沒(méi)有探索、總結(jié)、推廣提升的過(guò)程，其結(jié)果是走馬觀花，食多不化，欲速則不達(dá).更有甚者，教學(xué)案使用幾年以后，走入了“例題年年講，越講越快；學(xué)案年年改，越改越難”的死胡同.

教材中的例題具有很強(qiáng)的基礎(chǔ)性、典型性、示范性和遷移性.誠(chéng)然，許多重要例題起點(diǎn)低，入口淺，貌似寡然無(wú)味，但是他們反映了相關(guān)數(shù)學(xué)理論的本質(zhì)屬性，蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法.若再對(duì)它們進(jìn)行適當(dāng)?shù)母木帯⑼诰蚝屯卣?，甚至?duì)相關(guān)的問(wèn)題進(jìn)行有效整合，那么就完全可以達(dá)到提高學(xué)生思維水平和綜合能力的目的，也正所謂低起點(diǎn)，高落點(diǎn).高考命題的一個(gè)基本原則就是“以考綱為準(zhǔn)，以教材為本”，教材是許多高考題的源泉，很多高考題就是教材例題的改編或拓展.加強(qiáng)對(duì)教材例題的延伸、遷移研究是數(shù)學(xué)教師提高專業(yè)素養(yǎng)，實(shí)施有效教學(xué)的最佳途徑和必由之路.

4.2轉(zhuǎn)變角色，研究問(wèn)題衍化規(guī)律

當(dāng)我們對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行系統(tǒng)地探討時(shí)，不難發(fā)現(xiàn)所有的數(shù)學(xué)問(wèn)題都由一個(gè)或幾個(gè)更基本、更簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題發(fā)展、變化而得，同時(shí)我們還可以發(fā)現(xiàn)該問(wèn)題還可以繼續(xù)發(fā)展、引申、變化、繁衍出許許多多新的數(shù)學(xué)問(wèn)題.我們把數(shù)學(xué)問(wèn)題的這樣一個(gè)變化、繁衍的過(guò)程稱為數(shù)學(xué)問(wèn)題的衍化.

問(wèn)題的產(chǎn)生和發(fā)展都是在一個(gè)不斷衍化的過(guò)程中進(jìn)行的.每一位數(shù)學(xué)教師都在不同程度上自覺(jué)或不自覺(jué)的運(yùn)用了衍化數(shù)學(xué)問(wèn)題的各種手段和方法，以使我們的數(shù)學(xué)教學(xué)更加生動(dòng)活潑或豐富多彩，從而有效提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量.衍化問(wèn)題教學(xué)能幫助學(xué)生對(duì)形同質(zhì)異、形異質(zhì)同的問(wèn)題進(jìn)行充分辨析，能讓學(xué)生將表面上孤立、支離的知識(shí)系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化，將所學(xué)知識(shí)連成線、織成網(wǎng)、鋪成面、圍成體，更能引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行多角度、多方位、多層次的演變，建立全方位、立體化的認(rèn)識(shí)，從而培養(yǎng)學(xué)生深刻的思維品質(zhì)，提高探索、創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)變能力.

數(shù)學(xué)問(wèn)題衍化的結(jié)果，必然產(chǎn)生高不見(jiàn)峰巔的“題山”與煙波浩渺的“題?！保覀儺?dāng)然不能讓學(xué)生在這樣的題山上作漫無(wú)目標(biāo)的攀登，也不能讓我們的學(xué)生在題海中隨意浮沉.但是我們又必須給學(xué)生以必要的、足夠充分的訓(xùn)練.解決這一矛盾的方法當(dāng)然也必然是給學(xué)生指引一條攀登題山之道路和駛越題海之航道.為此，教師不僅僅要做“傳道、授業(yè)、解惑者”，更應(yīng)該做問(wèn)題衍化規(guī)律的研究者.我們可以用“串變”的方法將幾個(gè)相互關(guān)聯(lián)的簡(jiǎn)單問(wèn)題串聯(lián)成一個(gè)較為復(fù)雜的問(wèn)題，用“并變”手段將幾個(gè)彼此沒(méi)有互相依存的小題“并聯(lián)”為一個(gè)大題；也能嘗試將問(wèn)題的條件或結(jié)論進(jìn)行“強(qiáng)化”、“弱化”，實(shí)現(xiàn)一般與特殊之間的相互轉(zhuǎn)化，將其作為推廣命題、引伸結(jié)論的探索性手段.

只有這樣，教師才能形成動(dòng)態(tài)的、辯證的、發(fā)展的數(shù)學(xué)教學(xué)觀和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀，保證自己的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)、方法網(wǎng)絡(luò)的多元化，實(shí)現(xiàn)高層次的融會(huì)貫通，才能有意識(shí)地在一些典型例題基礎(chǔ)上進(jìn)一步引申擴(kuò)充,挖掘問(wèn)題的內(nèi)涵和外延,指導(dǎo)學(xué)生對(duì)新問(wèn)題的探討,以激發(fā)思維、啟迪智慧、拓寬視野,逐步加深對(duì)有關(guān)問(wèn)題的理解,使學(xué)生達(dá)到分析問(wèn)題能力的升華,培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)遷移能力,提高思維能力.

4.3轉(zhuǎn)變策略，展示探索思維過(guò)程

數(shù)學(xué)不僅僅是告訴，更需要經(jīng)歷.一方面，教師要鼓勵(lì)學(xué)生大膽展示自己的想法，讓他們有機(jī)會(huì)說(shuō)出思考的困惑，道出心中的疑慮，教師要有能力理解、分析學(xué)生的思維，使其思維得到延伸，和學(xué)生一起破解思維中的謎團(tuán)；另一方面教師要敢于展示自己的思維過(guò)程，要善于“肢解”知識(shí)難點(diǎn)，剖析問(wèn)題本質(zhì)，必要時(shí)要勇于“四處碰壁”甚至“誤入歧途”.

當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中，存在著程度不同的掩蓋數(shù)學(xué)教學(xué)思維過(guò)程的不良傾向和特征.教師在進(jìn)行例題教學(xué)時(shí)，只講正確的方法，總是一猜就中，一選就準(zhǔn)，一證就對(duì)，一用就靈，而忽視歧路剖析，掩蓋了必要的分析、探索過(guò)程；采用題海戰(zhàn)術(shù)，形成條件反射.常常羅列若干解題的套路與程式，以便學(xué)生“對(duì)號(hào)入座”與機(jī)械模仿，把解題中的思維活動(dòng)降到盡可能少的程度.這種削弱思維活動(dòng)的結(jié)果，不僅造成了教學(xué)質(zhì)量的低下，而且?guī)?lái)了學(xué)生思維品質(zhì)的劣化，造成思維的惰性與封閉性.

蘇聯(lián)教育家斯托利亞爾說(shuō)：“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)”，認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程應(yīng)成為思維活動(dòng)的展開(kāi)過(guò)程.因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)從思維教育的角度出發(fā)，將必要的思維過(guò)程重現(xiàn)出來(lái)，不僅要讓學(xué)生掌握一系列抽象的數(shù)學(xué)結(jié)論，更要讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思維的方法，養(yǎng)成敏捷、獨(dú)特、靈活、縝密的良好思維品質(zhì).

展示思維過(guò)程，應(yīng)根據(jù)數(shù)學(xué)教育的特點(diǎn)，根據(jù)中長(zhǎng)期的思維訓(xùn)練規(guī)劃，結(jié)合本節(jié)課所選例題與教學(xué)目的，有意識(shí)、有計(jì)劃地進(jìn)行，教師應(yīng)努力做到：

揭示問(wèn)題的探索、發(fā)現(xiàn)過(guò)程；揭示方法的思考、選擇過(guò)程；揭示結(jié)論的歸納、演繹過(guò)程；揭示規(guī)律的總結(jié)、提煉過(guò)程.

數(shù)學(xué)思維過(guò)程是培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)秀思維品質(zhì)的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)，我們總是在曲折中求得簡(jiǎn)捷，在運(yùn)用中變得靈活，在疏漏后學(xué)會(huì)縝密，在思考中學(xué)會(huì)思考.簡(jiǎn)潔流暢的思維過(guò)程不僅是對(duì)知識(shí)間和諧結(jié)構(gòu)的揭示，更是對(duì)其所蘊(yùn)含思想的發(fā)掘.因此，在教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)盡可能多地給學(xué)生提供觀察、嘗試、操作、練習(xí)、猜想、驗(yàn)證、總結(jié)等方面的素材,為學(xué)生創(chuàng)造思考的機(jī)會(huì),使結(jié)論的獲得有曲折的過(guò)程與發(fā)現(xiàn)色彩.

4.4轉(zhuǎn)變方法，提高例題復(fù)習(xí)效益

4.4.1設(shè)置陷阱，吃塹長(zhǎng)智

“吃一塹，長(zhǎng)一智”.復(fù)習(xí)中針對(duì)學(xué)生的突出問(wèn)題，選擇適當(dāng)?shù)睦}，在容易出錯(cuò)的節(jié)骨眼上，設(shè)置陷阱，先讓學(xué)生陷進(jìn)去，再引導(dǎo)學(xué)生在“自查自糾”中掙扎出來(lái)，這樣，學(xué)生有了“陷阱”滋味的體驗(yàn)，必然對(duì)陷阱的防御能力有所增強(qiáng).

4.4.2縱橫聯(lián)系，融會(huì)貫通

新授課時(shí)，學(xué)生往往難以突破例題中所蘊(yùn)含知識(shí)的局限，相對(duì)孤立的思考問(wèn)題，因此，怎樣使學(xué)生把握問(wèn)題的整體框架，形成合理的數(shù)學(xué)智能結(jié)構(gòu)，融會(huì)貫通的理解例題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法是復(fù)習(xí)課的重要任務(wù).實(shí)踐表明，建立一個(gè)以典型例題為中心的知識(shí)網(wǎng)絡(luò),采用縱向聯(lián)系加深知識(shí)，橫向聯(lián)系發(fā)展能力的做法，往往是完成這一任務(wù)的捷徑.

4.4.3一題多解，優(yōu)化思維

一題多解是例題教學(xué)中廣泛采用的一種方法.對(duì)同一個(gè)問(wèn)題，由于切入點(diǎn)不同，思維層次不同等原因呈現(xiàn)出風(fēng)格各異的不同解法.不拘泥于第一直覺(jué)的解答，積極思索是否存在更能反映問(wèn)題本質(zhì)的簡(jiǎn)捷解法，對(duì)優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，訓(xùn)練學(xué)生多角度觀察和處理數(shù)學(xué)問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)解題思路，選擇簡(jiǎn)捷解題途徑，具有不可低估的作用.

4.4.4提煉通法，多題歸一

數(shù)學(xué)問(wèn)題紛繁復(fù)雜，數(shù)學(xué)方法變化多端，任何問(wèn)題總有具體的方法解決.反之，任何一種數(shù)學(xué)方法總對(duì)一類問(wèn)題具有通用效能，對(duì)這類問(wèn)題而言它就是通法.復(fù)習(xí)中通過(guò)這一道例題的解決，反思題目實(shí)質(zhì)，聯(lián)想“形異質(zhì)同”的問(wèn)題并進(jìn)行歸類，總結(jié)通解通法并提煉這種通法，達(dá)到會(huì)解一類題的目的，不僅能提高學(xué)生的解題能力，更能取得舉一反三的多功能效應(yīng).

4.4.5合情推廣，金線串珠

復(fù)習(xí)中將學(xué)生所熟知的問(wèn)題，按從特殊到一般的思維規(guī)律，在學(xué)生可接受的前提下推廣為一般性結(jié)論，很有意義，它能建立以一般結(jié)論為中心的放射型思維結(jié)構(gòu)，為解決一般概念下的具體問(wèn)題提供一個(gè)模式，堪稱金線串珠.

課本中的一些經(jīng)典例題，潛力大，功效多，內(nèi)涵豐富，韻味無(wú)窮.作為教師，我們只有精心鉆研教材，深入挖掘教材中例題的潛在功能，努力創(chuàng)設(shè)問(wèn)題的情境，引導(dǎo)學(xué)生去思考、探索，使學(xué)生在消化吸收課本經(jīng)典例題的基礎(chǔ)上，有所發(fā)現(xiàn)，有所創(chuàng)新，這樣，就能極大的提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、積極性和趣味性，就能充分發(fā)揮教材的創(chuàng)造性作用，提高教材例題的教學(xué)價(jià)值.

[1]周學(xué)祁.暴露思維過(guò)程是數(shù)學(xué)教改的重要課題[J].中學(xué)數(shù)學(xué),1989,6：1-2.

[2]黃仁壽.數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課例題教學(xué)管見(jiàn)[J].數(shù)學(xué)通訊，1992,11,4-6.

[3]蔡欣.芻議高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)的選題.[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2014,3,39-40.