張留杰　王小平

北京市陳經(jīng)綸中學　(100020)

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一道幾何競賽題在圓錐曲線中的推廣

張留杰王小平

北京市陳經(jīng)綸中學(100020)

圖1

題目如圖1，A為⊙O外一點，過點A作⊙O的割線l與⊙O交于點B，C，B′為點B關(guān)于OA的對稱點．證明：OA與CB′的交點位置與直線l的選擇無關(guān)．

這是第58屆白俄羅斯數(shù)學奧林匹克競賽的一道平面幾何題，問題結(jié)構(gòu)雖然簡單，但是內(nèi)涵十分豐富，尤其是將其推廣到圓錐曲線，能充分揭示圖中幾何元素之間的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)有心圓錐曲線的一類定值與定點問題．

將圓壓縮為橢圓，可得

圖2

如果將橢圓改為雙曲線，利用參數(shù)法，同理可證此結(jié)論也是正確的；如果點A在y軸上，可得|OM|·|OA|=b2，點M的位置依然和直線l的選擇無關(guān)．

所以可得如下結(jié)論：

結(jié)論1已知中心在原點的有心圓錐曲線W，點A為曲線外x軸(y軸)上的一點，過A作曲線W的割線l，與曲線W交于點B、C，點B關(guān)于x軸(y軸)的對稱點為B′，連結(jié)CB′與x軸(y軸)交于點M，則點M的位置與直線l的選擇無關(guān)．

根據(jù)推廣1，不難發(fā)現(xiàn)只要點A確定，點M就隨之唯一確定，點M和點A的這種對應(yīng)關(guān)系中是否蘊含其它幾何特征呢？根據(jù)直線l的任意性，借助信息技術(shù)手段，我們發(fā)現(xiàn)當直線l運動為橢圓的切線時，點M恰好與過點A所引的兩條切線的切點共線．

于是得出

圖3

若將橢圓改為雙曲線，同理可證此結(jié)論也是正確的．于是可得

結(jié)論2已知中心在原點的有心圓錐曲線W，點A為曲線外x軸(y軸)上的一點，過A作曲線W的割線l，與W交于點B、C，點B關(guān)于x軸(y軸)的對稱點為B′，連結(jié)CB′與x軸(y軸)交于點M，過點A作直線l1⊥x軸(y軸)，點P為l1上的任意一點，過點P作曲線W的兩條切線為PD，PE，切點分別為D，E，則點D，M，E三點共線．

通過壓縮變換將圓中有關(guān)問題推廣到橢圓中，然后再推廣到雙曲線中，得到更有價值和意義的新問題，是我們研究幾何問題的一條途徑，也是探究有心圓錐曲線性質(zhì)的一種常用方法．