龐輝， 陳嘉楠， 梁軍， 陳英

(西安理工大學(xué) 機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院, 陜西 西安 710048)

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基于模型參考方法的車輛非線性主動(dòng)懸架反推控制

龐輝， 陳嘉楠， 梁軍， 陳英

(西安理工大學(xué) 機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院, 陜西 西安 710048)

針對(duì)車輛懸架系統(tǒng)存在的參數(shù)不確定性，提出一種基于模型參考控制的車輛非線性主動(dòng)懸架反推控制器設(shè)計(jì)方法。建立懸架系統(tǒng)非線性模型，引入高低通濾波器，根據(jù)懸架動(dòng)行程改變高低通濾波器的通頻帶寬，設(shè)計(jì)一種理想的模型參考系統(tǒng)。在此基礎(chǔ)上，構(gòu)造被控懸架系統(tǒng)與模型參考系統(tǒng)之間的車身位移和速度跟蹤誤差，基于反推控制方法和Lypaunov理論設(shè)計(jì)了誤差跟蹤反推控制器。通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提出的誤差跟蹤反推控制器的有效性和跟蹤精度。

兵器科學(xué)與技術(shù)； 非線性主動(dòng)懸架； 反推控制； 跟蹤誤差； 模型參考控制

0　引言

近年來，車輛主動(dòng)懸架控制理論與應(yīng)用研究受到研究者和工程界的廣泛關(guān)注。相較于被動(dòng)懸架，主動(dòng)懸架通過其作動(dòng)器產(chǎn)生主動(dòng)控制力來抑制由于路面不平引起的振動(dòng)，但這會(huì)增加懸架動(dòng)行程，而懸架動(dòng)行程影響到整車總體布置和車輛性能，如何協(xié)調(diào)控制車身垂直加速度與懸架動(dòng)行程之間的沖突成為一個(gè)難題。此外，懸架系統(tǒng)本身具有諸多非線性因素和不確定性，其控制優(yōu)化問題成為研究熱點(diǎn)[1-8]。

反推控制是一種針對(duì)控制對(duì)象變化和環(huán)境干擾影響而提出的控制策略，它采用反復(fù)選擇合適的狀態(tài)空間函數(shù)作為控制輸入，通過迭代、反推和Lyapunov函數(shù)的優(yōu)化，進(jìn)而完成控制器設(shè)計(jì)[9-15]。文獻(xiàn)[7]基于反推控制理論,將一種雙自由度反推設(shè)計(jì)方法應(yīng)用于交流伺服系統(tǒng)的位置控制,設(shè)計(jì)了一種位置控制器。文獻(xiàn)[8]基于自適應(yīng)積分反演控制方法，研究在未知海流作用下的水下航行器軸向運(yùn)動(dòng)跟蹤控制問題，并取得良好的動(dòng)態(tài)性能和對(duì)不確定項(xiàng)的魯棒性，說明反演控制對(duì)解決這類非線性不確定系統(tǒng)的控制問題具有良好效果。在懸架系統(tǒng)研究中，文獻(xiàn)[9]提出線性變參數(shù) (LPV)的H∞控制方法與反推技術(shù)相結(jié)合的控制方法，該方法計(jì)算復(fù)雜, 且在參數(shù)快速轉(zhuǎn)換時(shí)出現(xiàn)顫振現(xiàn)象。文獻(xiàn)[10]同時(shí)引入一非線性高通濾波器和一非線性低通濾波器，設(shè)計(jì)一種車輛主動(dòng)懸架的路面自適應(yīng)控制器，但存在計(jì)算和模型復(fù)雜，實(shí)際工程中難以實(shí)現(xiàn)的缺點(diǎn)。文獻(xiàn)[11]設(shè)計(jì)一種能夠處理約束的自適應(yīng)反推控制器，實(shí)現(xiàn)了半車主動(dòng)懸架系統(tǒng)的多目標(biāo)自適應(yīng)反推控制，解決了系統(tǒng)不確定參數(shù)的問題。

本文基于反推控制理論，設(shè)計(jì)了一種理想的參考控制模型；然后基于模型參考方法和反推控制理論，定義車身位移和速度兩個(gè)跟蹤誤差，并考慮不確定參數(shù)對(duì)懸架系統(tǒng)的影響，設(shè)計(jì)了一種誤差跟蹤反推控制器；最后對(duì)控制器性能進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

1　非線性主動(dòng)懸架動(dòng)力學(xué)模型

由于懸架系統(tǒng)中的某些機(jī)械元件在實(shí)際中是呈非線性變化的，采用線性模型描述通常與實(shí)際懸架系統(tǒng)相比具有一定簡(jiǎn)化誤差。文獻(xiàn)[16]中所建立的車輛懸架非線性模型分別引入了非線性彈簧模型和分段線性阻尼器模型，較好描述了懸架非線性特性，受此啟發(fā)，本文建立非線性主動(dòng)控制懸架系統(tǒng)模型如圖1所示。

圖1　非線性2自由度1/4主動(dòng)懸架模型Fig.1　Nonlinear 2-DOF model of 1/4 active suspension

該懸架系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

式中：m1、m2分別為非簧載質(zhì)量和簧載質(zhì)量；zb、zw分別為車身和車輪位移；FS為懸架彈簧產(chǎn)生的力；FC為阻尼器阻力；kt為輪胎剛度；r為路面位移輸入信號(hào)；u為主動(dòng)控制力。具有一定剛度的非線性彈簧模型，其彈力隨位移變化的曲線如圖2所示，且遵循如下關(guān)系[16]：

FS=kn(Δy)+ks(Δy)3，

(2)

式中：kn為非線性彈簧剛度；ks為空間剛度系數(shù)；Δy=(zb-zw).

圖2　非線性彈簧模型Fig.2　Nonlinear spring model

在壓縮和伸張時(shí)具有不同阻尼率的分段線性阻尼器模型，其阻尼率隨速度變化的曲線如圖3所示，且遵循下列關(guān)系[16]：

(3)

(4)

圖3　分段線性阻尼器模型Fig.3　Piecewise linear damper model

2　基于模型參考方法的誤差跟蹤反推控制器設(shè)計(jì)

基于模型參考方法的誤差跟蹤反推控制器設(shè)計(jì)分為兩步，第1步是基于反推控制理論的模型參考系統(tǒng)設(shè)計(jì)，其目的是協(xié)調(diào)車身垂直加速度與懸架動(dòng)行程之間的矛盾，使兩個(gè)性能指標(biāo)可以隨路面激勵(lì)的變化進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)節(jié)，但此模型參考系統(tǒng)存在諸多不確定性參數(shù)，且模型結(jié)構(gòu)復(fù)雜，實(shí)際工程中難以實(shí)現(xiàn)。為此，在第2步設(shè)計(jì)一種誤差跟蹤反推控制器，其控制基本原理是：在被控懸架與模型參考系統(tǒng)之間定義車身位移跟蹤誤差和速度跟蹤誤差，分別表示為ed、ev，在反推控制律的作用下，誤差跟蹤反推控制器可根據(jù)誤差信號(hào)ed、ev對(duì)主動(dòng)控制力u發(fā)出相應(yīng)的控制信號(hào)，最終使跟蹤誤差ed、ev減小直至消失，即被控懸架輸出接近于模型參考系統(tǒng)輸出。圖4為模型參考系統(tǒng)與誤差跟蹤反推控制器之間的控制原理結(jié)構(gòu)圖。

圖4　控制原理結(jié)構(gòu)圖Fig.4　Control principle diagram

2.1模型參考系統(tǒng)設(shè)計(jì)

理想的模型參考系統(tǒng)可以對(duì)車身垂直加速度與懸架動(dòng)行程進(jìn)行協(xié)調(diào)控制，文獻(xiàn)[17]通過引入一種非線性低通濾波器對(duì)主動(dòng)懸架進(jìn)行控制，其控制目標(biāo)僅限于輪胎動(dòng)位移，該方法難以適于不同路面激勵(lì)的控制。通過仿真計(jì)算和分析，本文基于文獻(xiàn)[17]做出改進(jìn)，確定的兩個(gè)控制目標(biāo)為車身垂直加速度與懸架動(dòng)行程，目標(biāo)控制函數(shù)為

Jo=Whp(s)x1r+Wlp(s)(x1r-x3r)，

(5)

選擇(4)式所描述的非線性懸架系統(tǒng)進(jìn)行分析，此處狀態(tài)變量x1、x2、x3、x4分別用x1r、x2r、x3r、x4r來表示，令ε1=ε10+c1fhp(x1r-x3r)，ε2=ε20+c2flp(x1r-x3r). 首先根據(jù)對(duì)車身加速度的控制要求，選擇較小的ε10、ε20，然后依據(jù)懸架動(dòng)行程大小調(diào)整ε1、ε2. 當(dāng)懸架動(dòng)行程變大時(shí)，使ε1、ε2增加，即能使濾波器Whp的通頻帶變窄，同時(shí)使Wlp的通頻帶加寬，使目標(biāo)函數(shù)中懸架動(dòng)行程所占比重增加，車身位移所占比重減?。环粗?，當(dāng)懸架動(dòng)行程減小時(shí)，使ε1、ε2減小，使目標(biāo)函數(shù)中懸架動(dòng)行程所占比重減小，車身位移所占比重增大。高低通濾波器Whp和Wlp中的非線性函數(shù)fhp(x1r-x3r)、flp(x1r-x3r)選取為

fhp(x1r-x3r)=

flp(x1r-x3r)=

(6)

式中：l1、l2、n1、n2均為正常數(shù)，并滿足l1>n1.

下面進(jìn)行模型參考系統(tǒng)控制律設(shè)計(jì)，為了獲得良好的自適應(yīng)性和魯棒性，本模型參考系統(tǒng)采用反推設(shè)計(jì)方法，其控制律就是使目標(biāo)控制函數(shù)Jo的絕對(duì)值盡可能減小。

1)定義Jo為第一個(gè)控制變量。令

y1=Whp(s)x1r,y2=Wlp(s)(x1r-x3r).

(7)

可得

(8)

綜合(5)式、(7)式、(8)式可得

(9)

2)將x2r作為(9)式的虛擬控制輸入，令x2r的理想值為

α=-d1Jo+ε1y1-ε2(x1r-x3r-y2)，

(10)

式中：d1為正常數(shù)。

一般情況下，系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)狀態(tài)x2r的實(shí)際值與理想值之間存在誤差，定義跟蹤誤差Jt為

Jt=x2r-α.

(11)

聯(lián)立(9)式～(11)式得

(12)

對(duì)(11)式求導(dǎo)得

(13)

(13)式出現(xiàn)了系統(tǒng)的實(shí)際控制輸入u，設(shè)計(jì)其控制量為

(14)

式中：d2為正常數(shù)。將(14)式代入(13)式得

(15)

3)構(gòu)造Lyapunov函數(shù)，假定

(16)

對(duì)(16)式求導(dǎo)并將(12)式、(15)式代入得

(17)

2.2誤差跟蹤反推控制器設(shè)計(jì)

為了簡(jiǎn)化模型參考系統(tǒng)，并考慮其中一些不確定或未知參數(shù)，進(jìn)行誤差跟蹤反推控制器設(shè)計(jì)。根據(jù)(4)式，車身垂直運(yùn)動(dòng)的控制方程為

(18)

首先定義車身位移跟蹤誤差及其導(dǎo)數(shù)

(19)

式中：x1r為狀態(tài)變量x1的一個(gè)理想期望值，則系統(tǒng)控制方程(18)式可重寫為

(20)

以x2為虛擬控制量、ed作為被調(diào)節(jié)變量，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，定義第一個(gè)正定無界的Lyapunov函數(shù)V1，并且當(dāng)|ed|→∞時(shí)，V1(ed)→∞.

(21)

令x2的理想值為x2r，取

(22)

式中：c01為正常數(shù)。

則可得

(23)

系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)狀態(tài)變量的實(shí)際值與理想值(模型參考系統(tǒng))之間一般是存在誤差的，這里定義車身速度跟蹤誤差為

ev=x2-x2r.

(24)

根據(jù)(19)式和(24)式，定義一個(gè)正定無界的Lyapunov函數(shù)V2為

(25)

由(25)式可得最終的主動(dòng)控制力為

(26)

式中：c02為正常數(shù)。

基于Lyapunov理論對(duì)V2求導(dǎo)可得

(27)

將(26)式帶入(27)式后可得

(28)

由(28)式可知，對(duì)于任意c01>0和c02>0，可使Lyapunov函數(shù)V2的導(dǎo)數(shù)是負(fù)定的，則系統(tǒng)滿足Lyapunov穩(wěn)定性條件,從而保證系統(tǒng)具有全局意義下的漸進(jìn)穩(wěn)定性。即通過控制律確保了跟蹤誤差變量ed、ev收斂，即當(dāng)t→∞，ed→0,ev→0.

(29)

式中：τ是低通濾波器的截止頻率，當(dāng)該值足夠大時(shí)可保證低頻控制信號(hào)不失真，同時(shí)，當(dāng)τ足夠小時(shí)可濾除控制信號(hào)的高頻部分，因?yàn)槠涓哳l部分會(huì)使懸架產(chǎn)生高頻抖振。引入此低通濾波器取代具有不確定參數(shù)的系統(tǒng)模型，既保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，又提高誤差跟蹤反推控制器的適用性。選取合適的τ，最終主動(dòng)控制律設(shè)計(jì)為

(30)

3　仿真實(shí)驗(yàn)分析

在車輛主動(dòng)懸架設(shè)計(jì)中，主要考慮的性能指標(biāo)有：1)代表乘坐舒適性的車身加速度；2)影響車身姿態(tài)且與結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和布置有關(guān)的懸架動(dòng)行程；3)代表輪胎在隨機(jī)路面激勵(lì)下的輪胎動(dòng)位移。為分析誤差跟蹤反推控制對(duì)懸架性能的影響，下面主要針對(duì)上述指標(biāo)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，并與被動(dòng)懸架作比較。圖5為懸架控制系統(tǒng)的Simulink仿真模型。懸架參數(shù)如表1所示，設(shè)計(jì)參數(shù)如表2所示?？刂品抡婺Ｐ偷募?lì)采用C級(jí)路面，車速取20 m/s.

圖5　懸架系統(tǒng)反推控制仿真模型Fig.5　Backstepping controller model of suspension system

3.1誤差跟蹤仿真分析

圖6為車身位移誤差ed追蹤和車身速度誤差ev追蹤的仿真曲線。

從圖6可以看出，跟蹤誤差ed和ev始終保持在一個(gè)很小的范圍內(nèi)，說明誤差跟蹤反推控制主動(dòng)懸架系統(tǒng)能有效地跟蹤模型參考系統(tǒng)。

3.2時(shí)域仿真分析

圖7～圖9是被動(dòng)懸架和誤差跟蹤反推控制主動(dòng)懸架的各性能參數(shù)時(shí)域仿真對(duì)比曲線，表3是時(shí)域仿真分析的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。

表1　2自由度主動(dòng)懸架參數(shù)

表2　設(shè)計(jì)參數(shù)

圖6　車身位移與速度誤差跟蹤曲線Fig.6　　　　Tracking curves of vehicle body displacement and velocity

圖7　車身加速度對(duì)比曲線Fig.7　Comparison of vehicle body accelerations

圖8　懸架動(dòng)行程對(duì)比曲線Fig.8　Comparison of suspension dynamic deflections

圖9　輪胎動(dòng)位移對(duì)比曲線Fig.9　Comparison of tire dynamic displacements

從圖7～圖9可以看出，相較于被動(dòng)懸架，誤差跟蹤反推控制主動(dòng)懸架的性能有明顯改善，由表3可以得到主動(dòng)懸架的車身垂向加速度、懸架動(dòng)行程和輪胎動(dòng)位移的均方根值相較被動(dòng)懸架分別下降73.56%、27.22%和24.18%，這不但減小懸架動(dòng)行程和輪胎動(dòng)位移，避免懸架動(dòng)行程超出限定范圍而撞擊限位塊導(dǎo)致懸架擊穿現(xiàn)象的發(fā)生，同時(shí)也提高了車輛操縱穩(wěn)定性。

3.3頻域仿真分析

車身、懸架和車輪的頻率響應(yīng)特性影響著整車的平順性，為了進(jìn)一步分析誤差跟蹤反推控制器對(duì)主動(dòng)懸架性能的改善，對(duì)懸架各項(xiàng)性能指標(biāo)進(jìn)行了頻域仿真分析，仿真分析結(jié)果如圖10所示。

人體內(nèi)臟和脊椎系統(tǒng)最敏感的振動(dòng)頻率范圍為4.0～12.5 Hz，引起車身共振的頻率范圍為1.0～1.5 Hz. 從圖10中可知，在最容易引起人體內(nèi)臟和脊椎系統(tǒng)以及車身共振的低頻區(qū)，誤差跟蹤反推控制主動(dòng)懸架的車身加速度性能指標(biāo)明顯優(yōu)于被動(dòng)懸架，表明在低頻區(qū)誤差跟蹤反推控制器可以有效抑制車身與人體內(nèi)臟和脊椎系統(tǒng)共振。輪胎動(dòng)位移在低頻區(qū)也得到了一定改善，提高了車輛操穩(wěn)性，但是在高頻區(qū)有一定惡化。

表3　時(shí)域分析統(tǒng)計(jì)結(jié)果

注：1)表中車身加速度、懸架動(dòng)行程和輪胎動(dòng)位移的變化情況各有兩欄數(shù)據(jù)，左欄表示兩種主動(dòng)懸架相對(duì)被動(dòng)懸架控制變化的百分比，右欄則表示誤差跟蹤反推控制主動(dòng)懸架相對(duì)模型參考系統(tǒng)控制變化的百分比；2)變化情況欄中“+”表示惡化，“-”表示改善。

圖10　頻域分析仿真結(jié)果Fig.10　Frequency domain analysis results

圖11　變車速、路面仿真結(jié)果Fig.11　　　　Analysis results with various speed and various road inputs

3.4不同車速、路面下懸架性能仿真分析

為了分析誤差跟蹤反推控制器對(duì)車速、路面不確定性的控制效果，分別取20 m/s、25 m/s、30 m/s、35 m/s車速對(duì)理想、A級(jí)、B級(jí)、C級(jí)、D級(jí)5種路面模型輸入進(jìn)行仿真，并計(jì)算了車身加速度、懸架動(dòng)行程和輪胎動(dòng)位移的均方根值，其控制效果如圖11所示。

從圖11可以看出，在車速確定的情況下，隨著路面等級(jí)降低，車身加速度和懸架動(dòng)行程均方根值呈增加趨勢(shì)；相較于被動(dòng)懸架，誤差跟蹤反推控制主動(dòng)懸架始終保持著較低的車身加速度值和懸架動(dòng)行程，且波動(dòng)平穩(wěn)，說明施加控制后的懸架對(duì)于車速和路面的不確定性表現(xiàn)出較好的自適應(yīng)性和魯棒性。

4　結(jié)論

1)本文針對(duì)1/4車輛主動(dòng)懸架動(dòng)力學(xué)模型，引入非線性彈簧模型和分段線性阻尼器模型，與傳統(tǒng)懸架模型相比，在一定程度上消除了簡(jiǎn)化誤差，使計(jì)算和仿真結(jié)果更加接近實(shí)際情況。

2)針對(duì)如何協(xié)調(diào)控制車身垂直加速度與懸架動(dòng)行程之間的矛盾，通過反推控制理論，設(shè)計(jì)一個(gè)理想模型參考系統(tǒng)，并通過模型參考方法，設(shè)計(jì)了一種誤差跟蹤反推控制器，簡(jiǎn)化了模型參考系統(tǒng)，在實(shí)際工程中較容易實(shí)現(xiàn)，并濾除了汽車主動(dòng)懸架系統(tǒng)中的不確定性參數(shù)，避免了有害的高頻信號(hào)，增強(qiáng)了系統(tǒng)穩(wěn)定性。

3)仿真實(shí)驗(yàn)表明，誤差跟蹤反推控制器能夠有效抑制車身垂直加速度、懸架動(dòng)行程，不但解決了車身垂直加速度與懸架動(dòng)行程之間沖突的問題，而且在路面狀況和車速發(fā)生改變時(shí)仍保持良好的控制效果。

4)輪胎動(dòng)位移控制效果并不十分明顯，如何通過反推控制進(jìn)一步解決車輛操縱穩(wěn)定性與舒適性之間的矛盾，是本文下一步研究的重點(diǎn)。

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Backstepping Controller Design for Nonlinear Active Vehicle Suspension Based on Model Reference Control

PANG Hui, CHEN Jia-nan, LIANG Jun, CHEN Ying

(School of Mechanical and Precision Instrument Engineering, Xi’an University of Technology, Xi’an 710048，Shaanxi, China)

The parameter uncertainties of vehicle suspension system are studied, and a novel backstepping controller design method based on model reference control (MRC) is proposed for nonlinear active vehicle suspension A nonlinear dynamics model of the suspension system is established, and high-pass and low-pass filters are introduced. The pass bandwidths of the high-pass and low-pass filters are changed according to suspension dynamic deflection. An ideal MRC system is designed. On this basis, both the tracking errors of vehicle body displacement and vertical velocity are constructed for the controlled suspension system and MRC system, and a backstepping controller of tracking error is proposed based on backstepping technique and Lyapunov stability theory. The effectiveness and tracking accuracy of the proposed approach are verified through numerical simulation.

ordnance science and technology; nonlinear active suspension; backstepping control; tracking error; model reference control

2016-02-15

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51305342)；陜西省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2014JQ7240)；陜西省教育廳科研計(jì)劃項(xiàng)目(2013JK1027)；西安理工大學(xué)科研基金項(xiàng)目(2015cx004)

龐輝(1980—)，副教授， 博士。 E-mail:huipang@163.com

U463.33+1

A

1000-1093(2016)10-1761-09

10.3969/j.issn.1000-1093.2016.10.001