◆德吉

解析小學(xué)數(shù)學(xué)植樹問題

◆德吉

小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個難點(diǎn)，雖然在各種教材或教學(xué)輔導(dǎo)書中把小學(xué)數(shù)學(xué)中的典型應(yīng)用題分成了平均數(shù)問題、行程問題、植樹問題等幾大類，也對這些典型應(yīng)用題采用了非常精煉的公式來呈現(xiàn)。但我們在教學(xué)中會發(fā)現(xiàn)學(xué)生在這些典型應(yīng)用題的公式應(yīng)用中依然存在很多問題，公式容易混淆、公式記不熟練等等。本文針對其中的植樹問題進(jìn)行探討。

一、對植樹問題的理解

所謂植樹問題，是在一條線路上按相等距離植樹，線路長、樹的棵數(shù)及每兩棵樹之間的距離這三者存在特殊關(guān)系。這三個數(shù)量中，已知兩個數(shù)量求出另一個未知量的應(yīng)用題。

“植樹問題”其涉及的問題也比較廣泛，不一定就是存粹的某條線路上植樹的問題，也可以是在某場地上安排值班員或某線路上插彩旗等等各種問題，類似的問題在我們生活中是處處存在，當(dāng)然在數(shù)學(xué)應(yīng)用題中出現(xiàn)的概率也較高，所以對此類問題的理解和掌握也是極其重要的。當(dāng)然，在小學(xué)“植樹問題”中，我們要特別注意的有幾個問題:其一，在植樹問題中“樹”所占據(jù)的空間是忽略不計；其二，“樹”與“樹”之間的距離按等距離來判斷且這個等距離稱為“株距”；其三，“樹”的棵數(shù)稱為“株數(shù)”。此外，“植樹問題”要特別注意植樹的線路是否“封閉”的問題。

二、植樹問題的分類及其公式

（一）沒有封閉的線路植樹

1.兩端都植樹

路長=株距×（株數(shù)-1；株距=路長÷（株數(shù)-1）；株數(shù)=路長÷株距+1

2.兩端都不植樹（把上述公式中的加變減、減變加）

路長=株距×（株數(shù)+1；株距=路長÷（株數(shù)+1）；株數(shù)=路長÷株距-1

3.一端植樹（既不加也不減）

路長=株距×株數(shù)；株距=路長÷株數(shù)；株數(shù)=路長÷株距

（二）在封閉線路植樹（既不加也不減）

路長=株×株數(shù)；株距=路長÷株數(shù)；株數(shù)=路長÷株距

三、如何讓學(xué)生更好地理解植樹問題

各類教材中公式呈現(xiàn)非常清楚也很簡潔，但學(xué)生在解相關(guān)應(yīng)用題時依然存在嚴(yán)重的問題，歸根結(jié)底的問題是對此類問題的理解不夠，數(shù)量之間的關(guān)系理不清，公式死記硬背導(dǎo)致解題遇到很多麻煩。據(jù)我們對很多小學(xué)學(xué)生在此類問題解答時的觀察，也根據(jù)筆者對拉薩師專小教專業(yè)學(xué)生的授課經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生對植樹問題公式中的“加1、減1、既不加1也不減1”的疑惑最大。我認(rèn)為從以下方向入手讓學(xué)生更好理解植樹問題。

第一，準(zhǔn)確審題。審題是所有數(shù)學(xué)應(yīng)用題中很關(guān)鍵的一步，植樹問題也是如此。仔細(xì)閱讀題目，搞清該植樹問題是屬于封閉路段上植樹還是非封閉路段上植樹？是兩端都植樹還是兩端都不植樹？又還是一端植樹？第二，問題歸類。有了準(zhǔn)確審題的基礎(chǔ)，那么就可以把該植樹問題進(jìn)行分類。例如是屬于“不封閉路段兩端都不植樹”的問題或是其他類。第三，理清數(shù)量關(guān)系。對植樹問題來講關(guān)鍵就是要理清路長、株距、株樹之間的數(shù)量關(guān)系，而讓很多學(xué)生疑惑的是植樹問題中的株數(shù)（或株距）與路長找不到直接關(guān)聯(lián)。經(jīng)驗(yàn)告訴我如果先引進(jìn)一個名字叫“間隔數(shù)”，這樣對學(xué)生理解此類問題有明顯的幫助。所謂“間隔”顧名思義就指的是沒有植樹的空隙，那么“間隔數(shù)”就是我們在植樹問題中常說的“株距”的個數(shù)。下面我們就對某等路長封閉（或非封閉）線路上兩端都植樹（或兩端都不植樹或一端植樹）問題進(jìn)行分析（假設(shè)株樹均是4棵）:

（一）假設(shè)兩端都植樹

圖1　

根據(jù)上圖我們發(fā)現(xiàn)，株數(shù)是4棵但間隔數(shù)卻是3即4-1=3。我們得到一個結(jié)論株數(shù)比間隔數(shù)多一個，且根據(jù)上圖中量與量之間的關(guān)系，很容易就得到以下三個關(guān)系式:

（二）假設(shè)兩端都不植樹

圖2　

根據(jù)上圖我們發(fā)現(xiàn)，株數(shù)是4棵，但間隔數(shù)卻是5個即4+1=5。我們得到一個結(jié)論株數(shù)比間隔數(shù)少一個，且根據(jù)路長、株距和間隔數(shù)的關(guān)系式，結(jié)合本問題得到以下關(guān)系式：

（三）假設(shè)一端植樹

圖3　

根據(jù)上圖我們發(fā)現(xiàn)，株數(shù)是4棵且間隔數(shù)也是4個.我們得到一個結(jié)論間隔數(shù)和株數(shù)相等，且根據(jù)路長、株距和間隔數(shù)的關(guān)系式，結(jié)合本問題得到以下關(guān)系式：

當(dāng)然，如圖4在封閉路段上植樹，那么間隔數(shù)與株數(shù)相等，故得到的路長、株數(shù)、株距之間的關(guān)系式與一端植樹的關(guān)系式是相同的。

圖4　

因此，最終我們得到如下結(jié)論:

1.未封閉路段兩端都植樹則間隔數(shù)=株數(shù)-1；

2.封閉路段兩端都不植樹則間隔數(shù)=株數(shù)+1；

3.未封閉路段一端植樹或封閉路段植樹則間隔數(shù)=株數(shù)。

而對以上幾種情況“間隔數(shù)=路長÷株距”這一等式均成立。

四、實(shí)例說明

例1：有一條公路全長500米，在公路的一側(cè)從頭到尾每隔5米種一棵樹，可種樹多少棵？

例2：從廠房門口到街口，一共插有30面彩旗，每隔8米插一面彩旗，從廠房門口到街口長多少？（廠房門口和街口都不插）

例3：某小學(xué)舉辦運(yùn)動會，在周長540米的運(yùn)動場的外圈安排檢察員，每隔30米安排一名，求共有檢察員多少名。

綜上所述，關(guān)鍵問題就是在植樹問題中除了我們常見的路長、株距、株數(shù)幾個量以外，新添加一個量叫“間隔數(shù)”?？此埔粋€很簡單的過渡，但它能有效地、快速地幫助小學(xué)生們理解株數(shù)、株距、路長三者之間的數(shù)量關(guān)系。有了這些基礎(chǔ)，那我們面對不封閉路段雙邊植樹問題、方形路段植樹問題等更復(fù)雜的植樹問題也能很好解決。

作者單位：拉薩師范高等專科學(xué)校

責(zé)任編輯：周朝坤