尤傳雨，劉文波，常軍

（蘇州科技大學(xué)土木工程學(xué)院，江蘇蘇州215011）

基于復(fù)雜追蹤理論的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別

尤傳雨，劉文波，常軍

（蘇州科技大學(xué)土木工程學(xué)院，江蘇蘇州215011）

復(fù)雜追蹤（CP）是近期發(fā)展起來的一種結(jié)合信號(hào)統(tǒng)計(jì)特性和時(shí)序結(jié)構(gòu)的盲源分離新算法，通過找到一個(gè)合適的投影方向，使其在該方向投影信號(hào)的復(fù)雜度最小，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)混合信號(hào)的分離。通過CP技術(shù)將結(jié)構(gòu)的響應(yīng)信號(hào)分離，得到模態(tài)振型和模態(tài)響應(yīng)，進(jìn)而利用單模技術(shù)分析得到的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)。最后，采用一三層框架數(shù)值模型對(duì)該方法進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果表明該算法可以準(zhǔn)確有效地識(shí)別結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)。

盲源分離；復(fù)雜追蹤；時(shí)間預(yù)測(cè)；結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別

近年來，盲源分離（BSS）已成為現(xiàn)代信號(hào)處理領(lǐng)域的熱點(diǎn)，在通信工程、語音處理、圖像處理等領(lǐng)域具有重要的理論意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值［1］。盲源分離在結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別中的應(yīng)用已取得了一定的成果，即在激勵(lì)未知的情況下，根據(jù)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特性，僅從觀測(cè)信號(hào)中分離出結(jié)構(gòu)響應(yīng)源信號(hào)，進(jìn)而得到結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)，為健康狀態(tài)評(píng)估提供重要依據(jù)［2－3］。然而，盲源分離技術(shù)在實(shí)際工程的應(yīng)用存在一些不足，如獨(dú)立分量分析（ICA）算法無法有效識(shí)別高阻尼結(jié)構(gòu)等［4－5］。

復(fù)雜追蹤（CP）是近期發(fā)展起來的一種BSS技術(shù)，該方法結(jié)合了信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性和時(shí)序結(jié)構(gòu)，通過尋找合適的投影方向，使該方向投影信號(hào)的復(fù)雜度最小，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)混合信號(hào)的分離。目前，一些學(xué)者將CP應(yīng)用于圖像和語音處理［6］，而應(yīng)用于模態(tài)參數(shù)識(shí)別的研究尚不多見。CP在模態(tài)參數(shù)識(shí)別中的應(yīng)用是通過其分解觀測(cè)信號(hào)得到各階模態(tài)響應(yīng)，完成結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)從物理空間到模態(tài)空間的轉(zhuǎn)換，同時(shí)確定了結(jié)構(gòu)的振型；接著，應(yīng)用單模態(tài)識(shí)別技術(shù)從分離出的模態(tài)響應(yīng)中，提取結(jié)構(gòu)各階模態(tài)頻率和阻尼［7－8］。論文在詳細(xì)闡述CP基本原理的基礎(chǔ)上，通過數(shù)值算例對(duì)CP識(shí)別結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證。

1　復(fù)雜度追蹤

1.1復(fù)雜度追蹤基本原理

線性瞬時(shí)盲源分離模型［9－10］表示為

式中，t為時(shí)刻，x（t）為n個(gè)未知源信號(hào)混合而成的n維觀測(cè)信號(hào)，x（t）=［x1（t），x2（t），…xn（t）］T；A為未知的n×n維混合矩陣；s（t）為n個(gè)源信號(hào)組合而成，s（t）=［s1（t），s2（t），…sn（t）］T；

Stone認(rèn)為任何源信號(hào)都是由某一質(zhì)點(diǎn)按一定的物理規(guī)則隨著時(shí)間運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的。因此，源信號(hào)可認(rèn)為比混合信號(hào)更簡(jiǎn)單，即源信號(hào)的復(fù)雜度小于由其混合而成的觀測(cè)信號(hào)復(fù)雜度［10］。

根據(jù)Stone理論，從混合信號(hào)中分離出具有最小復(fù)雜度的信號(hào)即可被認(rèn)為是一條源信號(hào)。因此，復(fù)雜追蹤的目的就是尋找一個(gè)解混向量，使得分離成分擁有最小復(fù)雜度，即逼近最簡(jiǎn)單的源信號(hào)。

1.2目標(biāo)函數(shù)

統(tǒng)計(jì)學(xué)中，信號(hào)的復(fù)雜度都用Kolmogorov復(fù)雜度測(cè)得［11-12］。然而Kolmogorov復(fù)雜度具有不直觀、實(shí)際中很難估計(jì)等不足，因此Stone提出了一種簡(jiǎn)單而且穩(wěn)定性好的復(fù)雜度——時(shí)間預(yù)測(cè)，定義為

其中

令λ=2-1/h，hS=1，hL為任意遠(yuǎn)大于hS的值，如hL=900 000。V（·）用來衡量yi（t）的總體變化，表示yi（t）根據(jù)長(zhǎng)期變化均值yˉi（t）預(yù)測(cè)得到的程度；相反，U（·）衡量的是yi（t）的局部平滑度，表示yi（t）根據(jù)短期變動(dòng)均值y~i（t）預(yù)測(cè)得到的程度；因此，時(shí)間預(yù)測(cè)值F（·）利用了信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性和時(shí)間序列，把其為CP的目標(biāo)函數(shù)，能夠分離具有時(shí)序結(jié)構(gòu)的信號(hào)。

將式（2）代入（3）得

式中，R為混合信號(hào)的協(xié)方差矩陣，其元素定義為

對(duì)時(shí)間預(yù)測(cè)函數(shù)兩邊求導(dǎo)得

令其等于零，得

2　CP識(shí)別結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)

由動(dòng)力學(xué)知識(shí)可知，線性振動(dòng)系統(tǒng)的自由響應(yīng)為

式中，qi為正規(guī)坐標(biāo)，可表示為qi（t）=ai（t）sin（wdit+θi），wdi為有阻尼頻率，θi為相位角，對(duì)于自由響應(yīng)：ai（t）為指數(shù)衰減函數(shù)exp（-ξiwdit），ξi、wdi分別為阻尼比與固有頻率；φi為固有振型向量；n為系統(tǒng)的模態(tài)數(shù)。模態(tài)參數(shù)識(shí)別的任務(wù)就是從響應(yīng)信號(hào)x（t）中識(shí)別出振型矩陣Φ、各階頻率wi和阻尼比ξi。

對(duì)比式（1）和式（10）可得，A=Φ，s（t）=q（t），即可以把模態(tài)響應(yīng)q（t）看作源信號(hào)，振型矩陣Φ看作源信號(hào)的混合矩陣，則結(jié)構(gòu)自振響應(yīng)信號(hào)x（t）是模態(tài)響應(yīng)q（t）經(jīng)過振型矩陣線性加權(quán)所得的混合信號(hào)（即觀測(cè)信號(hào)）［13］。CP識(shí)別結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)流程如下：

（1）通過復(fù)雜追蹤理論，得到分離矩陣W，繼而求得振型Φ＝W-1；

（2）通過y（t）=Wx（t），從結(jié)構(gòu)響應(yīng)中分離出y（t），即模態(tài)響應(yīng)q（t）。

（3）通過單自由度系統(tǒng)參數(shù)識(shí)別技術(shù)便可以從模態(tài)響應(yīng)中識(shí)別出各階固有頻率和阻尼比。

3　數(shù)值分析

3.1自由響應(yīng)

建立如圖1所示三層框架模型，采集結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)，采樣頻率fz=100 Hz，時(shí)間取10 s，具體結(jié)構(gòu)物理參數(shù)見表1，其中阻尼比按照Rayleigh阻尼進(jìn)行設(shè)置。

圖1　三層框架模型

表1　三層框架模型結(jié)構(gòu)特性

為了測(cè)量結(jié)構(gòu)識(shí)別振型與理論振型的準(zhǔn)確度，采用模態(tài)置信準(zhǔn)則（Modal Assurance Criterion，MAC）作為衡量標(biāo)準(zhǔn)。MAC的表達(dá)式［14］為

通過復(fù)雜追蹤技術(shù)直接處理結(jié)構(gòu)的響應(yīng)信號(hào)，圖2、圖4分別為結(jié)構(gòu)的自振響應(yīng)信號(hào)和分離得到的信號(hào)，圖3、圖5分別響應(yīng)信號(hào)和分離信號(hào)作傅里葉變換所得。由圖4可以看出，CP算法分離出來的信號(hào)，均為自由衰減的簡(jiǎn)諧信號(hào)，即可認(rèn)為這些信號(hào)對(duì)應(yīng)于各階的模態(tài)響應(yīng)，繼而利用Hilbert變換，求出結(jié)構(gòu)的頻率和阻尼比，結(jié)果見表2。振型圖見圖6。

圖2　結(jié)構(gòu)自由響應(yīng)信號(hào)

圖3　自由響應(yīng)快速傅里葉變換

圖4　CP分離出的信號(hào)

圖5　分離信號(hào)快速傅里葉變換

圖6　模態(tài)振型圖

表2　結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果

由表2可以看出，模態(tài)振型的各階MAC值均接近于1，且識(shí)別出來的頻率和阻尼比與理論值相比較，誤差很小。因此，將復(fù)雜追蹤理論應(yīng)用于識(shí)別結(jié)構(gòu)自由響應(yīng)下的模態(tài)參數(shù)是可行的。

3.2隨機(jī)響應(yīng)

用穩(wěn)態(tài)的高斯白噪聲對(duì)圖1框架進(jìn)行激勵(lì)，采樣頻率fz=100 Hz，時(shí)間取100 s。復(fù)雜追蹤技術(shù)直接處理結(jié)構(gòu)的響應(yīng)信號(hào)，圖7、圖9分別為結(jié)構(gòu)的隨機(jī)響應(yīng)信號(hào)和分離得到的信號(hào)，圖8、圖10分別響應(yīng)信號(hào)和分離信號(hào)作傅里葉變換所得。繼而利用Hilbert變換，求出結(jié)構(gòu)的頻率和阻尼比，結(jié)果見表3。振型圖見圖11。

圖7　結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)信號(hào)

圖8　隨機(jī)響應(yīng)快速傅里葉變換

圖9　CP分離出的信號(hào)

圖10　分離信號(hào)快速傅里葉變換

由表3可以看出，（1）由于隨機(jī)響應(yīng)信號(hào)成分復(fù)雜且通常又是非平穩(wěn)的，所以識(shí)別出的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)頻率大于自由響應(yīng)，但仍與理論值吻合；（2）環(huán)境激勵(lì)作用下，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)阻尼受到破壞，需要通過外部激勵(lì)的特性進(jìn)行準(zhǔn)確識(shí)別，因此阻尼比識(shí)別誤差較大，可不予考慮；（3）模態(tài)振型的各階MAC值均在99.9%以上，表明算法較準(zhǔn)確的分離出環(huán)境激勵(lì)下結(jié)構(gòu)獨(dú)立源信號(hào)。因此，復(fù)雜追蹤理論能夠成功應(yīng)用于隨機(jī)響應(yīng)下的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別。

表3　結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果

圖11　模態(tài)振型圖

4　結(jié)語

論文首先描述了復(fù)雜追蹤基本原理，理論上證明了該算法能夠成功分離混合信號(hào)。引入時(shí)間預(yù)測(cè)作為復(fù)雜追蹤的目標(biāo)函數(shù)，并探討了采用CP算法識(shí)別結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的可行性。運(yùn)用復(fù)雜追蹤算法對(duì)三層框架模型的自由響應(yīng)信號(hào)和隨機(jī)響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行處理，并采用Hilbert變換識(shí)別出結(jié)構(gòu)的阻尼和頻率。自由響應(yīng)中，模態(tài)參數(shù)識(shí)別精度高；隨機(jī)響應(yīng)中，由于受到噪聲激勵(lì)的影響，模態(tài)參數(shù)識(shí)別精度有所降低，但識(shí)別誤差仍在可接受范圍內(nèi)。因此，復(fù)雜追蹤理論能夠較好的應(yīng)用于結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別領(lǐng)域。

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Structural modal parameter identification based on complexity pursuit

YOU Chuanyu，LIU Wenbo，CHANG Jun
（School of Civil Engineering，SUST，Suzhou 215011，China）

Complexity pursuit（CP）is a newly developed blind source separation（BSS）of combining the signal statistical characteristics and temporal structure.The complexity of the signal can be reduced to the least by an appropriated project so as to realize the separation of the mixed signal.The structural modal shapes and single modal responses are gained by CP to separate the response signal and then to get the parameter of the structural modal by the single modal analysis.Finally，a numerical model of three-floor frame is used to identify the method，and the result shows that the model can accurately and feasibly identify the structural modal parameter.

blind source separation；complexity pursuit；temporal predictability；structural modal parameter identification

TU311

A

1672-0679（2016）02-0038-05

2015-08-31

江蘇省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（BK20141180）；江蘇省結(jié)構(gòu)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放課題（Z1405）；江蘇省建設(shè)系統(tǒng)科技項(xiàng)目（2015ZD77）

尤傳雨（1990-），男，江蘇盱眙人，碩士研究生。

通信聯(lián)系人：常軍（1973-），男，教授，博士，主要從事健康監(jiān)測(cè)與振動(dòng)控制研究，Email：changjun21@mail.usts.edu.cn。

（責(zé)任編輯：經(jīng)朝明）