王煥玲 / 福建省計(jì)量科學(xué)研究院

表面粗糙度信號(hào)的統(tǒng)計(jì)誤差特征分析

王煥玲 / 福建省計(jì)量科學(xué)研究院

根據(jù)最小二乘法原理對(duì)表面粗糙度信號(hào)統(tǒng)計(jì)誤差進(jìn)行了分析，并繪制了最小二乘法統(tǒng)計(jì)直方圖。研究成果表明，表面粗糙度信號(hào)統(tǒng)計(jì)誤差近似服從正態(tài)分布。由matlab做出的數(shù)組normal plot函數(shù)圖形以及誤差統(tǒng)計(jì)學(xué)中的皮爾遜χ2檢驗(yàn)法進(jìn)一步驗(yàn)證了表面粗糙度誤差信號(hào)的正態(tài)性分布特征。

表面粗糙度；誤差信號(hào)；統(tǒng)計(jì)特征；最小二乘法；正態(tài)分布

0 引言

隨著現(xiàn)代社會(huì)經(jīng)濟(jì)的迅猛發(fā)展，機(jī)械工業(yè)對(duì)加工零件的表面質(zhì)量提出了更高的要求，表面粗糙度就是衡量加工工件表面質(zhì)量的重要指標(biāo)之一。表面粗糙度反映的是機(jī)械零件表面的微觀幾何形狀誤差，其準(zhǔn)確度極大地影響加工工件的使用性能，因此快速準(zhǔn)確地測(cè)量出表面粗糙度成為現(xiàn)代社會(huì)機(jī)械工業(yè)的迫切需要［1-2］。

以往一些發(fā)達(dá)國家如德國、美國、英國的國家標(biāo)準(zhǔn)中都采用了中線制作為表面粗糙度參數(shù)的評(píng)定方法。具體參數(shù)千差萬別，但主要評(píng)定參數(shù)有Ra、Rz和Ry，這也是國際間交流最常用的一些參數(shù)。隨著當(dāng)今微機(jī)處理技術(shù)、集成電路技術(shù)的發(fā)展，出現(xiàn)了時(shí)序分析法、最小二乘多項(xiàng)式擬合法、濾波法、分形法、Motif法、功能參數(shù)集法等各種評(píng)定方法，取得了諸多進(jìn)展，但是它們只能得到真實(shí)表面的有限信息，仍然存在一些問題有待完善，如缺乏表面粗糙度誤差信號(hào)統(tǒng)計(jì)特征的全面準(zhǔn)確描述。

對(duì)某一工件進(jìn)行表面粗糙度測(cè)量，并對(duì)其誤差信號(hào)的正態(tài)特性分析是本文的主要研究問題。通過對(duì)測(cè)量信號(hào)加以提取分析，從各個(gè)方面分析影響測(cè)量結(jié)果的因素。分析結(jié)果表明，表面粗糙度誤差近似符合正態(tài)分布。最后對(duì)其正態(tài)分布利用皮爾遜檢驗(yàn)法進(jìn)行檢驗(yàn)，總結(jié)影響表面粗糙度誤差正態(tài)分布的因素。研究發(fā)現(xiàn)，實(shí)驗(yàn)提取數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)是其主要因素，從而提出最優(yōu)提取原則，以采用科學(xué)有效的方案提取被測(cè)表面粗糙度的特征信息。根據(jù)國家標(biāo)準(zhǔn)GB/T 4881-2001《數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)處理和解釋 正態(tài)性檢驗(yàn)》，當(dāng)對(duì)觀測(cè)值是否服從正態(tài)分布存在疑問時(shí)，使用偏離正態(tài)分布的檢驗(yàn)是有用的，甚至是必須的。該標(biāo)準(zhǔn)中偏離正態(tài)分布的檢驗(yàn)是針對(duì)非分組的原始數(shù)據(jù)，而不是分組數(shù)據(jù)，而χ2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)僅適用于分組數(shù)據(jù)。為研究表面粗糙度誤差信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性，本文采用誤差統(tǒng)計(jì)學(xué)中的皮爾遜χ2檢驗(yàn)法，最終得出表面粗糙度信號(hào)誤差確實(shí)服從正態(tài)分布規(guī)律，并且表面粗糙度誤差模型和提取點(diǎn)數(shù)有一定的必然關(guān)系。

1 表面粗糙度誤差分析

表面粗糙度測(cè)量常用的方法有比較法、觸針法、光切法和干涉法［3］。通過綜合考慮本文采用觸針法。國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定采用中線制評(píng)定表面粗糙度，粗糙度的評(píng)定參數(shù)一般從Ra、Rz、Ry中選取，并且優(yōu)先選用Ra，故在本文中表面粗糙度誤差選取的是參數(shù)。

1.1 表面粗糙度誤差的最小二乘中線評(píng)定模型

根據(jù)觸針法測(cè)量表面粗糙度的原理，觸針在被測(cè)表面滑出一條直線。選5個(gè)0.8 mm的取樣長度，總評(píng)定長度4 mm，總?cè)↑c(diǎn)數(shù)4 000點(diǎn)，即得到4 000個(gè)Ra參數(shù)，根據(jù)最小二乘法得到表面粗糙度誤差的最小二乘中線。最小二乘法是評(píng)定形位誤差最常用的方法之一，具有計(jì)算簡(jiǎn)單、適用性廣的特點(diǎn)。最小二乘評(píng)定的基本思想是：尋找一理想要素，使已測(cè)得的實(shí)際要素各點(diǎn)相對(duì)于該理想要素的偏差平方和為最小，并將由此得到的最大極差作為評(píng)定的誤差值［5-6］。在測(cè)量過程中，被測(cè)對(duì)象坐標(biāo)x軸跟坐標(biāo)測(cè)量x軸基本是一致的，設(shè)測(cè)量采樣數(shù)據(jù)為（xi， yi），i = 1， 2， …， N，建立坐標(biāo)系xoy，x軸代表采樣點(diǎn)順序，y軸代表測(cè)量得到的數(shù)據(jù)，如圖1所示。

圖1 最小二乘法示意圖

假定最小二乘直線（即理想直線）的方程為

式中：a——最小二乘直線的斜率，待定系數(shù)；

b——最小二乘直線y軸的截距，待定系數(shù)則各采樣點(diǎn)（xi，yi）相對(duì)于該理想直線的距離即為偏差值εi：

偏差的平方和為

依據(jù)最小二乘原理，應(yīng)有：

1.2 表面粗糙度誤差統(tǒng)計(jì)分析

為了更全面地了解表面粗糙度誤差的特征，根據(jù)誤差產(chǎn)生的隨機(jī)性對(duì)其進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。

1.2.1 表面粗糙度誤差最小二乘中線擬合統(tǒng)計(jì)分析

通過編程把實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)導(dǎo)入MATLAB軟件，根據(jù)最小二乘原理擬合出計(jì)算表面粗糙度誤差參數(shù)Ra的基準(zhǔn)中線［8］，并繪出根據(jù)最小二乘法轉(zhuǎn)換坐標(biāo)系后各點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)分布圖（圖2）和誤差分布圖（圖3）。圖2中橫軸代表誤差，縱軸代表出現(xiàn)的次數(shù)。圖3中橫軸代表被測(cè)物件的長度，縱軸代表誤差，即距離基準(zhǔn)中線的距離。

實(shí)現(xiàn)的具體工作流程如圖4所示。

圖2 最小二乘法轉(zhuǎn)換坐標(biāo)后點(diǎn)的分布

圖3 最小二乘法轉(zhuǎn)換坐標(biāo)系后的誤差分布

圖4 最小二乘中線實(shí)現(xiàn)流程

1.2.2 表面粗糙度粗大誤差的剔除

在一列重復(fù)測(cè)量數(shù)據(jù)中，有個(gè)別數(shù)據(jù)與其他數(shù)據(jù)有明顯差異，它可能是含有粗大誤差的數(shù)據(jù)，稱為可疑數(shù)據(jù)。它會(huì)對(duì)測(cè)量結(jié)果產(chǎn)生明顯的歪曲，因此從測(cè)量結(jié)果中剔除粗大誤差是必要的。

判別粗大誤差最常用方法是萊依達(dá)法則，即3σ準(zhǔn)則［5-6］。該法則是以測(cè)得數(shù)據(jù)均為正態(tài)分布為前提，采用逐步剔出法判別測(cè)量數(shù)列中是否包含粗大誤差。在實(shí)際測(cè)量中常以標(biāo)準(zhǔn)偏差s代替σ，以測(cè)量平均值代替真值。對(duì)某個(gè)可疑數(shù)據(jù)，若其滿足，則剔除xd。剔除粗大誤差后的最小二乘法轉(zhuǎn)換坐標(biāo)后的統(tǒng)計(jì)直方圖如圖5所示。圖5中橫軸代表誤差，縱軸代表出現(xiàn)的次數(shù)。

圖5 剔除粗大誤差后的最小二乘法轉(zhuǎn)換坐標(biāo)后點(diǎn)的分布

2 表面粗糙度統(tǒng)計(jì)誤差正態(tài)性檢驗(yàn)

由以上表面粗糙度誤差最小二乘統(tǒng)計(jì)直方圖可以看出，表面粗糙度誤差近似服從正態(tài)分布，下面驗(yàn)證其正態(tài)性分布。

2.1 表面粗糙度誤差的normplot統(tǒng)計(jì)繪圖函數(shù)分析

在MATLAB中做出數(shù)組的normal plot函數(shù)圖形，若落在直線上的數(shù)據(jù)點(diǎn)越多，則表示該組數(shù)據(jù)越符合正態(tài)分布［9-10］。一般地，中間的點(diǎn)離直線位置偏差不能過大，兩頭的點(diǎn)的偏差可以允許大一些。圖6是本研究中四組圖形的normalplot函數(shù)圖形，圖中橫坐標(biāo)代表概率區(qū)間，縱坐標(biāo)代表概率分布。從圖6可以看出，除了第二組數(shù)據(jù)落在直線外的數(shù)據(jù)點(diǎn)稍多外，每組數(shù)據(jù)大部分的數(shù)據(jù)點(diǎn)都落在直線上，因此，可以基本確定表面粗糙度統(tǒng)計(jì)誤差是服從于正態(tài)分布的。

圖6 誤差的normplot函數(shù)圖形

2.2 表面粗糙度統(tǒng)計(jì)誤差正態(tài)性特征的驗(yàn)證

表面粗糙度統(tǒng)計(jì)誤差正態(tài)性特征的檢驗(yàn)方法步驟如下［6］：

2）將搜集到的樣本資料進(jìn)行組距式分組，并得到實(shí)際頻數(shù)。

3）對(duì)各組組距進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，并計(jì)算出各組的概率。

4）用樣本容量乘以各組的概率，得到各組的理論頻數(shù)。

5）進(jìn)行檢驗(yàn)：

（1）提出假設(shè)：H0服從正態(tài)分布，H1不服從正態(tài)分布；

（3）給定顯著性水平α，確定臨界值；

（4）作出結(jié)論，是接受正態(tài)分布原假設(shè)還是拒絕原假設(shè)。

四組數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)結(jié)果如表1所示。

表1 檢驗(yàn)結(jié)果

由表1可知，以上四組數(shù)據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果都不符合正態(tài)分布，并且第二組的χ2系數(shù)明顯大于其他三組數(shù)據(jù)。由四組normplot統(tǒng)計(jì)函數(shù)圖而知，皮爾遜檢驗(yàn)確實(shí)有一定的可信性。與其他檢驗(yàn)方法對(duì)比，皮爾遜檢驗(yàn)法要求樣本數(shù)量至少為50，D檢驗(yàn)法中明確提出樣本數(shù)量在51～1 000之間，所以提出假設(shè)，是不是因?yàn)閿?shù)量過大導(dǎo)致皮爾遜檢驗(yàn)法失效。于是分別在各組數(shù)據(jù)中隨機(jī)提取了100、300、500、600、800、1 000、1 050、1 125、1 250、1 500、2 000個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)重新進(jìn)行皮爾遜檢驗(yàn)，每一組實(shí)驗(yàn)點(diǎn)數(shù)都隨機(jī)選10次來做重復(fù)試驗(yàn)，并取平均值作為最終χ2的值，再與標(biāo)準(zhǔn)的χ2值進(jìn)行對(duì)比，檢驗(yàn)結(jié)果如表2～表5所示。

由表2～表5可以看出，第二組數(shù)據(jù)明顯不符合正態(tài)分布，而其他三組數(shù)據(jù)提取點(diǎn)數(shù)在1 000左右時(shí)基本都符合正態(tài)分布，而且在提取500左右數(shù)據(jù)點(diǎn)時(shí)正態(tài)性最佳。

表2 數(shù)據(jù)1 處理結(jié)果表（顯著性水平α = 0.05）

表3 數(shù)據(jù)2處理結(jié)果表（顯著性水平α = 0.05）

表4 數(shù)據(jù)3處理結(jié)果表（顯著性水平α = 0.05）

表5 數(shù)據(jù)4處理結(jié)果表（顯著性水平α = 0.05）

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)論及分析總結(jié)

實(shí)驗(yàn)結(jié)論：經(jīng)過皮爾遜檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)1、3、4誤差分布服從正態(tài)分布，數(shù)據(jù)2不符合。

通過對(duì)本實(shí)驗(yàn)的初步分析可得出：皮爾遜檢驗(yàn)的使用范圍樣本數(shù)應(yīng)小于等于1 000；在運(yùn)用皮爾遜假設(shè)檢驗(yàn)法檢驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，分組和合并組后，應(yīng)保證實(shí)際頻數(shù)最多的區(qū)間頻數(shù)不能大于實(shí)際頻數(shù)最小的區(qū)間，否則會(huì)導(dǎo)致的結(jié)果很大，致使檢驗(yàn)失效，所以可得出結(jié)論：皮爾遜檢驗(yàn)需針對(duì)不同的樣本數(shù)量，應(yīng)對(duì)分組后的各組頻數(shù)進(jìn)行限定。針對(duì)此觀點(diǎn)，大樣本數(shù)據(jù)如果要求各組實(shí)際頻數(shù)不相差過大，也必然會(huì)使分組數(shù)增加，進(jìn)而大于理論分組數(shù)，這與檢驗(yàn)原則相悖。

4 結(jié)語

本文通過對(duì)表面粗糙度誤差正態(tài)分布特性及正態(tài)性檢驗(yàn)的研究，得出表面粗糙度誤差近似符合正態(tài)性分布的結(jié)論。特別值得強(qiáng)調(diào)的是，在檢驗(yàn)正態(tài)特性分布時(shí)采取了皮爾遜檢驗(yàn)法。通過實(shí)驗(yàn)探索了表面粗糙度誤差特征模型與提取點(diǎn)數(shù)之間存在的必然關(guān)系，最終得出數(shù)據(jù)提取點(diǎn)數(shù)在1 000左右時(shí)基本都符合正態(tài)分布，而且在提取500左右數(shù)據(jù)點(diǎn)時(shí)正態(tài)性最佳。本文的初步研究成果對(duì)于表面粗糙度檢測(cè)的整個(gè)過程完善具有非常重要的科學(xué)意義，同時(shí)為其他統(tǒng)計(jì)誤差特征識(shí)別項(xiàng)目的研究打下了良好的基礎(chǔ)。

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The analysis of statistical error characteristics of the surface roughnesssignal

Wang Huanling
（Measurement Science Research Institute of Fujian Province）

According to the principle of least square method the statistical error characteristics of surface roughness signal are analyzed， and statistical histograms of least square method are drawn.The research results indicate that the statistical errors of surface roughness signal obey the normal distribution similarly. The normal plot function graphs of array made by matlaband Pearson χ2test method of the error statistics further verify the normal distribution characteristic of surface roughness error signals.

surface roughness； error signal； statistical characteristic； least square method； normal distribution