張 雷, 張俊成

(西南石油大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院，四川 成都 610500)

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三樣條插值在精餾塔設(shè)計(jì)中的運(yùn)用

張 雷, 張俊成

(西南石油大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院，四川 成都 610500)

一個(gè)好的插值方法在精餾塔設(shè)計(jì)中理論塔板數(shù)的計(jì)算中起著足輕重的作用，具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的三次樣條插值(the cubic spline interpolation)能很好的擬合出氣液平衡曲線，其平滑性、高精度是其它插值方法所無(wú)法比擬的，同時(shí)三次條插值沒(méi)有龍格現(xiàn)象，適用范圍特別廣泛。本文利用基于采用三次樣條插值法visual basic編程獲得精餾塔設(shè)計(jì)中的氣液平衡擬合曲線、操作線方程、q線方程、最小回流比及其它相應(yīng)的參數(shù)求得理論塔板數(shù)。

三樣條插值；氣液平衡曲線；理論塔板數(shù)

精餾是一種非常重要的化工分離手段，而精餾(塔)設(shè)計(jì)中最主要的部分就是精餾塔理論塔板數(shù)的求取。常見(jiàn)的理論塔板數(shù)的求取方法有圖解法、逐板計(jì)算法和簡(jiǎn)捷計(jì)算法[1]等。無(wú)論何種方法，何種軟件，一種好的插值方法都對(duì)設(shè)計(jì)起著至關(guān)重要的作用，文獻(xiàn)中已經(jīng)使用過(guò)拉格朗日插值法[2]，愛(ài)爾米特插值，最小二乘法[3]，以及其他的一些插值及計(jì)算方法[4-5]，但是這些插值方法與三樣條插值法比起來(lái)雖然其它插值方法雖然能保證插值曲線各個(gè)分段是互相銜接的，但在節(jié)點(diǎn)處不能保證曲線的光滑性[6]。三樣條插值法在上述插值方法的基礎(chǔ)上大大提高了總體的光滑度，更加接近原函數(shù)[7]。

實(shí)際所用的各種溶液的氣液平衡數(shù)據(jù)一般都由實(shí)驗(yàn)測(cè)得，大量的物系的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)已列入專(zhuān)門(mén)的書(shū)籍和手冊(cè)以供查閱或者檢索[1]。我們采用實(shí)驗(yàn)測(cè)定值作為插值節(jié)點(diǎn)，然后采用精度高，曲線平滑度好的三樣條插值進(jìn)行插值其結(jié)果也是為設(shè)計(jì)者所認(rèn)同與采納的。采用三樣條插值最能得到光滑的汽液平衡曲線，降低求理論塔板數(shù)的誤差，可廣泛用于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理、實(shí)驗(yàn)結(jié)果預(yù)測(cè)等。

1 三樣條插值

1.1 三樣條插值原理

函數(shù)S(x)∈C2[a,b],且在每個(gè)小區(qū)間[xj，xj+1]上是三次多項(xiàng)式，其中a=x0

S(xj-0)=S(xj+0)

S′(xj-0)=S′(xj+0)

S″(xj-0)=S″(xj+0)(j=1,2，…,n-1)

共有3n-3個(gè)條件，加上S(xj)=yj條件共有4n-2個(gè)條件，還需要2個(gè)條件才能確定S(x)。通常在區(qū)間[a，b]端點(diǎn)上加一個(gè)邊界條件，本文采用S’(x0)=y0，S’(xn)=yn，具體到本文中，一般氣液平衡數(shù)據(jù)符合平衡方程：

對(duì)平衡方程求一階導(dǎo)數(shù)：得到:S′(x0)=y0=α;S′(xn)=yn=1。故在設(shè)計(jì)條件中需要添加x=0時(shí)的相對(duì)揮發(fā)度，這樣就可以得出相應(yīng)的參數(shù)并求出S(x)：

(1)

其中hj=xj+1-xj。

1.2 參數(shù)的求解

對(duì)于每個(gè)插值段公式(1)中mj、mj+1由以下方法求取由下方法獲得，求得的函數(shù)也是唯一確定的。

gj=3(λj·f[xj-1,xj]+μj·f[xj,xj+1])(j=1,2，…，n-1)

λjmj-1+2mj+μjmj+1=gj(j=1,2，…,n-1)

采用追趕法解得此方程組mj(j=1，2，…，n-1)。有相應(yīng)的參數(shù)及公式(1)求得了三樣條插值函數(shù)的表達(dá)式。

2 逐板計(jì)算法

雙組份連續(xù)精餾塔塔板數(shù)最直接的設(shè)計(jì)計(jì)算方法就是逐板計(jì)算法，雖然逐板計(jì)算法很繁瑣，但是準(zhǔn)確度高，常常也為設(shè)計(jì)者所采用。逐板計(jì)算法的求解過(guò)程如下：

(1)根據(jù)實(shí)驗(yàn)所得氣液平衡數(shù)據(jù)得到氣液平衡線。

(2)確定回流比(R)根據(jù)精餾段方程得到精餾段操作線。

(3)根據(jù)精餾段操作線和q線方程聯(lián)立求解得到交點(diǎn)(xq，yq)。

(4)由交點(diǎn)(xq，yq)和點(diǎn)(xw，xw)由兩點(diǎn)式求得提餾段操作線。

(5)由第一塊板上升的蒸汽組成等于塔頂產(chǎn)品的組成，故y1=xD。第一板下降的液體組成x1與y1成平衡，故可由平衡方程計(jì)算x1。第二塊板上升的蒸汽y2與x1滿(mǎn)足操作線方程，如此交替的計(jì)算下去直到xn

3 結(jié) 果

3.1 對(duì)氣液平衡實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的插值

三樣條插值的插值節(jié)點(diǎn)無(wú)論是不是等距節(jié)點(diǎn)，只要是實(shí)驗(yàn)測(cè)定的準(zhǔn)確數(shù)據(jù)都可用于插值，不用對(duì)插值節(jié)點(diǎn)進(jìn)行選擇(拉格朗日插值法需對(duì)節(jié)點(diǎn)有所選擇)，而且插值節(jié)點(diǎn)越多，其精度越高。一般氣液平衡數(shù)據(jù)都是由0到1按間隔0.1左右取值，本文所設(shè)計(jì)軟件插值節(jié)點(diǎn)最多為20個(gè)(如需要也可以增加)。以苯——甲苯為例，輸入11個(gè)插值節(jié)點(diǎn)(物性手冊(cè)中苯——甲苯氣液平衡數(shù)據(jù))采用三樣條插值的結(jié)果如下圖1，由圖1可以看出曲線非常光滑，因?yàn)槿龢訔l插值法具有2階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，這是其他插值法所無(wú)法比擬的。

圖1 苯-甲苯汽液平衡數(shù)據(jù)擬合曲線

采用三樣條插值其優(yōu)點(diǎn)還有就是不會(huì)像拉格朗日插值法產(chǎn)生龍格現(xiàn)象[8]，拉格朗日插值法擬合醋酸——水二元體系時(shí)就會(huì)產(chǎn)生龍格現(xiàn)象，計(jì)算的函數(shù)值嚴(yán)重的偏離正常值，采用三樣條插值我們可以看出擬合出的曲線(圖2)效果卻是十分理想的。

圖2 苯-甲苯汽液平衡數(shù)據(jù)擬合曲線

液相氣相實(shí)驗(yàn)值三樣條插值拉格朗日插值000-0.0880.2120.2120.1910.20.3700.3700.3670.30.5000.5000.5030.3970.6180.6180.6160.4890.7100.7100.7040.5920.7890.7890.7780.70.8530.8530.8590.8030.9140.9140.9070.9030.9570.9570.965111-

由于缺少其他相應(yīng)點(diǎn)的準(zhǔn)確實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，其它點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)值與準(zhǔn)確值的誤差難以確定，可知的1點(diǎn)是當(dāng)液相為0.95時(shí)實(shí)驗(yàn)測(cè)定值為0.979，三樣條插值計(jì)算值為0.978，相差僅0.001，綜合其它節(jié)點(diǎn)的值我們可以看出三樣條插值的精度很高。同時(shí)與拉格朗日插值法相比較，三樣條插值的精度明顯高于拉格朗日插值法,還可以看出三樣條插值在節(jié)點(diǎn)處的值與實(shí)驗(yàn)值是一致的。

3.2 精餾塔塔板數(shù)計(jì)算的實(shí)現(xiàn)

軟件設(shè)計(jì)采用了visual basic 6.0為設(shè)計(jì)軟件，因?yàn)榇塑浖哂锌梢暬?，自由添加空鍵[8-10]，設(shè)計(jì)好以后可以方便的更改相應(yīng)的參數(shù)就可以實(shí)現(xiàn)多次，重復(fù)的計(jì)算，能大大減少設(shè)計(jì)者重復(fù)計(jì)算的好處。軟件設(shè)計(jì)的流程圖如圖3所示。

圖3 理論塔板數(shù)計(jì)算流程圖

軟件設(shè)計(jì)好以后，輸入相應(yīng)的插值節(jié)點(diǎn)(以苯——甲苯為例)，設(shè)計(jì)參數(shù)點(diǎn)擊“開(kāi)始”命令按鈕就能得到圖4的結(jié)果，其輸出結(jié)果有相應(yīng)的設(shè)計(jì)參數(shù)，也有設(shè)計(jì)的中間變量，q線與兩天操作線的交點(diǎn)，同時(shí)也有最小回流比的值，當(dāng)回流比比最小回流比還小的時(shí)候會(huì)有相應(yīng)的提示。同時(shí)也顯示出每塊板上面氣液相相應(yīng)的值(4位小數(shù))同時(shí)也做出了相應(yīng)的圖形。

圖4 軟件運(yùn)行結(jié)果圖

4 結(jié) 語(yǔ)

三樣條插值是工程中常用的一種插值方法，由于其出色的二階可導(dǎo)性，極其高的精度常為工程設(shè)計(jì)中所使用?，F(xiàn)在將三樣條插值與計(jì)算機(jī)編程相結(jié)合求取精餾塔理論塔板數(shù)極大的提高了精餾塔塔板數(shù)求取的準(zhǔn)確度，同時(shí)插值數(shù)據(jù)完全來(lái)自于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，真實(shí)可靠，突破了以往非理想溶液的限制，而且可以求得大部分非理想溶液的最小回流比，這在以前的文章中是不能做到的。所以所設(shè)計(jì)的軟件相對(duì)于以前所設(shè)計(jì)的有了新的突破。同時(shí)用visual basic 基于逐板法計(jì)算精餾塔理論塔板數(shù)， 經(jīng)過(guò)驗(yàn)證， 準(zhǔn)確無(wú)誤， 只需按照要求輸入所需的相關(guān)參數(shù)就能顯示出詳盡的計(jì)算結(jié)果，軟件簡(jiǎn)便實(shí)用，完全可以用于工程設(shè)計(jì)中。

[1] 陳敏恒,方圖南,從德滋.化工原理:下冊(cè)[M].北京: 化學(xué)工業(yè)出版社,2006:60-97.

[2] 吳曉藝,王靜文,司秀麗.拉格朗日插值算法在圖解法精餾塔設(shè)計(jì)中的應(yīng)用[J].計(jì)算機(jī)與應(yīng)用化學(xué),2009,26(3):311-314.

[3] 許可,劉軍壇,彭偉功,等. 基于Excel 的精餾塔理論塔板數(shù)的圖解法[J]. 化學(xué)工程師, 2010(6):16-19.

[4] 劉愛(ài)科,陳亞軍.AutoCAD圖解法求精餾板理論塔板數(shù)[J]. 西華師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2008,29(3):288-290

[5] 許新樂(lè). MATLAB化工輔助計(jì)算[J].青海大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2005,19(5):34-36.

[6] 李慶揚(yáng),王能超,易大義. 數(shù)值分析[M]. 北京:清華大學(xué)出版社,2008:41-46.

[7] 霍健,唐介汾,黃麗珍.三次樣條插值函數(shù)在化工工藝計(jì)算中的應(yīng)用[J].化工設(shè)計(jì),2000,10(4):7-8.

[8] 西南石油大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)教研室主編.數(shù)值計(jì)算方法[M]. 成都:四川科技出版社,2005:141-147.

[9] 劉瑞新,汪遠(yuǎn)征.Visual basic程序設(shè)計(jì)教程[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2011:40-60.

[10]劉炳文. Visual basic程序設(shè)計(jì)教程[M]. 北京:清華大學(xué)出版社,2009:30-47.

Application of Cubic Spline Interpolation in the Design of Rectifying Tower

ZHANGLei,ZHANGJun-cheng

(School of Chemistry & Chemical Engineering, Southwest Petroleum University, Sichuan Chengdu 610500, China)

A good interpolation method plays an important role in calculating the number of theoretical plates. The continuous second derivative’s cubic spline interpolation can get a good vapor liquid equilibrium fitting curve which smoothness and high precision is unmatched by other interpolation method and the scope of application particularly widespread and without runge phenomenon. Used visual basic programming based on cubic spline interpolation, vapor liquid equilibrium fitting curve, operation line, q line, Minimum reflux ratio and other relevant parameters were discussed and the number of theoretical plates was got.

the cubic spline interpolation; vapor liquid equilibrium curve; theoretical plates

張俊成(1993-)，男，在讀研究生，專(zhuān)業(yè)方向：化學(xué)工程。

TQ209

A

1001-9677(2016)020-0135-03