顧 杰，郭振興，李恩杰

（邯鄲學(xué)院 太極文化學(xué)院，河北 邯鄲 056005）

太極文化研究

三維力作用下人體立體剛體模型的太極拳力學(xué)分析

顧 杰，郭振興，李恩杰

（邯鄲學(xué)院 太極文化學(xué)院，河北 邯鄲 056005）

在平面模型的基礎(chǔ)上建立了人體立體剛體模型，對(duì)太極拳進(jìn)行了更加全面和更加深入的力學(xué)分析。平面模型雖然計(jì)算便捷，但只能討論平面運(yùn)動(dòng)，難以對(duì)復(fù)雜動(dòng)作進(jìn)行力學(xué)分析。太極拳是 “一動(dòng)俱動(dòng)，一靜俱靜”的人體運(yùn)動(dòng)，人體是具有六個(gè)自由度的剛體，作用于人體上有三個(gè)方向的力和三個(gè)方向的力矩。只有立體模型才能對(duì)這個(gè)體系作完整的力學(xué)分析。立體模型簡(jiǎn)括了人體的立體構(gòu)架、質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、速度、角速度、攻擊力、重力、地面反力、摩擦力等因素，并引入了深方向的維度，填補(bǔ)了平面剛體模型的不足。立體模型運(yùn)用更加精細(xì)的運(yùn)算，分析了轉(zhuǎn)腰胯、翻胯、旋胯、等復(fù)雜動(dòng)作的力學(xué)原理；分析了順弓步與拗弓步的力學(xué)區(qū)別；分析了步寬對(duì)功架的力學(xué)影響；為規(guī)范太極拳動(dòng)作及技術(shù)提供了更科學(xué)的方法和更充分的理論依據(jù)。

太極拳；人體立體剛體模型；力學(xué)分析

引 言

平面模型有一定的局限性，為此本文建立了立體模型，而能更準(zhǔn)確的應(yīng)用于太極拳的力學(xué)分析，得出了幾個(gè)重要結(jié)論和平面模型的結(jié)論相仿，但在量的運(yùn)算上更符合實(shí)際：即人體的重心要在支撐面內(nèi)以維持穩(wěn)定平衡；打滑和失根是導(dǎo)致失控的兩種臨界條件；在臨界條件內(nèi)人體平衡，超過任何一個(gè)臨界條件將最終導(dǎo)致人體不平衡；攻擊力來自腳底的摩擦力、正壓力、人體整體的動(dòng)量和肢體相對(duì)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量；內(nèi)勁造就動(dòng)量和傳遞力。 還通過數(shù)學(xué)計(jì)算，推導(dǎo)出太極拳套路訓(xùn)練和推手競(jìng)技中保持平衡的臨界條件，可以用立體模型證明太極拳“發(fā)勁如放箭”、“引進(jìn)落空”、“牽動(dòng)四兩撥千斤”等技術(shù)技巧的力學(xué)原理。太極拳屬于體育，是人的肢體運(yùn)動(dòng)和本體反應(yīng)；太極拳屬于武術(shù)，是人的心理活動(dòng)和對(duì)抗行動(dòng)；太極拳蘊(yùn)含力學(xué)原理，是人體與人體、人體與大地的相互作用。運(yùn)用現(xiàn)代力學(xué)理論分析太極拳的技術(shù)動(dòng)作，揭示太極拳的奧妙，探索一條運(yùn)用現(xiàn)代科技研究太極拳的途徑，對(duì)于促進(jìn)太極拳的科學(xué)化發(fā)展和國際化傳播具有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義和深遠(yuǎn)意義。

一、順步人體立體剛體模型

根據(jù)力學(xué)分析的一般要求和用于分析太極拳的需要，采用隔離體分析。

把人體簡(jiǎn)化為一個(gè)立體剛體，見圖 1。各肢體簡(jiǎn)化成剛桿，剛桿的接點(diǎn)是剛性的，腳和地面的接觸處被簡(jiǎn)化為點(diǎn)。剛體的質(zhì)量是m0，位于剛體的質(zhì)心。人體的質(zhì)心和重心重合。圖中

圖1 順步立體剛體模型

圖1的模型右腳在前，左腳在后，重心在兩腳的連線上。圖1中Lsz為正，表示手在重心的右方，所以圖1是順步模型。注意，平面模型[1][2]把人體簡(jiǎn)化到一個(gè)平面，無法分別順步還是拗步。只有立體模型才能分析順步和拗步的異同。本節(jié)討論順步，后面要討論拗步，然后把這兩種情況在數(shù)學(xué)上統(tǒng)一表示。

圖中的人體以弓步為形象，但模型對(duì)其它步型如坐步、虛步及任何功架都適用。步型的選擇就是參數(shù)的選擇。比如，前腳距離Lqx小于后腳距離Lhx為弓步。前腳距離Lqx大于后腳距離Lhx則為坐步。前腳距離Lqx遠(yuǎn)大于后腳距離Lhx則可為虛步。功架的高低主要由兩腳的前后距離決定。功架的寬度由橫向距離Lqz和Lhz來決定，寬度的引入是立體模型和平面模型的關(guān)鍵不同之處。所以圖1的模型可以是順弓步，順坐步，順虛步，等等。

平面模型把人體限制在平面內(nèi)，數(shù)學(xué)上假定在平面內(nèi)的剛度無限大。所以在討論面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)時(shí)，平面模型能得出合理的結(jié)論。如果有垂直于平面的外力和運(yùn)動(dòng)時(shí)，平面模型就不太準(zhǔn)確。而立體模型在寬方向有客觀的度量，側(cè)向剛度會(huì)在公式中體現(xiàn)出來，因此運(yùn)算比較合理。但正因?yàn)閷挿较蚓S度的引入，公式頗為復(fù)雜。運(yùn)算量成指數(shù)增長。

現(xiàn)在我們對(duì)我方隔離體作力學(xué)分析，見圖1。先討論和平動(dòng)有關(guān)的摩擦力對(duì)人體的動(dòng)力學(xué)影響。

牛頓第二定律是外力之和等于質(zhì)量與加速度乘積之和：

圖2 順步模型俯視圖

在橫向Z將框架限制在一個(gè)平面內(nèi)，我們得到平面模型的特例，（29）簡(jiǎn)化變?yōu)楹臀墨I(xiàn)[1][2]一致的公式。

二、三維傳遞力作用下順右弓步的力學(xué)分析

我方和對(duì)方接觸，接觸處的力有大小方向。一般情況下力有三個(gè)方向的分量。比如楊式太極拳的 斜飛 ，我方向前、上、橫方向攻擊對(duì)方，見圖3。

圖3 我方弓步斜飛勢(shì)

公式（29）包括在接觸處三種力的效果：由腳根傳遞來的力、人體的動(dòng)量的碰撞力、肢體相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)量的碰撞力。先分析只有傳遞力的情況，將整體和相對(duì)加速度設(shè)為零，（29）式可得到很多簡(jiǎn)化。

弓步的輸入是，

將(30)代入（29）計(jì)算結(jié)果如表1。

表1 只有傳遞力時(shí)順弓步的攻擊力、正壓力和摩擦力

圖4是前后腳正壓力隨輸入Fx變化的曲線。

圖4 弓步斜飛勢(shì)正壓力曲線

圖5是前后腳力線角正切隨輸入Fx變化的曲線。

圖5 弓步斜飛勢(shì)力線角曲線

本例中水平力Fx是主要輸入，垂直力和橫向力按比例輸入。

臨界值應(yīng)由（29）中前腳正壓力為零 Nq=0，或后腳正壓力為零 Nh=0，或前腳力線角正切等于摩擦系數(shù)tan φq=μ，或后腳力線角正切等于摩擦系數(shù) tan φh=μ四個(gè)方程解出水平力Fx，即臨界力。但是公式（29）很復(fù)雜，完美的解不可能用公式來表達(dá)。

這里用的是優(yōu)越表逆推法。

先將Fx作為輸入，用公式（29）計(jì)算前后腳正壓力 (Nq, Nh)，畫出曲線，反過來尋找正壓力為零時(shí)的Fx輸入值。類似地，先將Fx作為輸入，用公式（29）計(jì)算前后腳力線角正切 (tan φq,tan φh)，畫出曲線，尋找力線角正切等于摩擦系數(shù)時(shí)的Fx輸入值。四個(gè)臨界條件都有可能發(fā)生，最早發(fā)生的臨界條件起控制作用。

由表1和圖4圖5可見前腳失根起控制作用。臨界失根力為 Fx:Fy:Fz=236:71:94牛頓。為了比較細(xì)致的計(jì)算臨界值，輸入的間隔是不均勻的（見表1第一欄）。

由表1看出，第二、三個(gè)臨界條件是兩腳打滑。注意，力線角可以在+/-180度內(nèi)取值，所以其正切的符號(hào)可正可負(fù)，重要的是量值等于摩擦系數(shù)。本例中在 Fx=320時(shí)前腳的力線角正切 tan φq=-μ，前腳開始打滑。當(dāng)然本例中該條件不起控制作用。

該算例以水平力：垂直力：橫向力=1:0.3:0.4來計(jì)算。實(shí)際發(fā)力不一定按這個(gè)比例，而是在需要的方向發(fā)力。

表2列出了多向和單向力的計(jì)算結(jié)果。

表2中三向力的數(shù)值（第二欄）遠(yuǎn)大于只有水平力（第三欄）及只有橫向力（第五欄），這是因?yàn)榘l(fā)力方向和兩腳連線較接近。

表2 只有傳遞力、沒有整體和相對(duì)動(dòng)量時(shí)順弓步的臨界攻擊力

文獻(xiàn)[2]提出平面剛體模型的分析。相比之下，本文立體模型的分析和平面模型的分析趨勢(shì)一致，但對(duì)其有所修正。下面我們來仔細(xì)討論。表 3列出了用平面模型算出的相應(yīng)結(jié)果。平面模型有三個(gè)基本假定：1、人體在紙面內(nèi)。2、用垂直于紙面的橫向力推不倒人體。3、垂直于紙面的摩擦力由Y向力矩來推算。第一個(gè)假定比較直觀，容易理解。第二個(gè)假定需要一些解釋。平面模型假定前后腳和地面的連接是兩個(gè)點(diǎn)，兩點(diǎn)連成的線也在平面內(nèi)。人站在這條假象線上只有瞬間的穩(wěn)定，任何微小的橫向力都能推倒人體。實(shí)際上人體的側(cè)向穩(wěn)定能力由兩腳間的步寬及腳本身的寬度來提供，但在平面模型中這兩種寬度都變成了零。為了避免模型在數(shù)學(xué)上失穩(wěn)，平面模型避免對(duì)此連線使用轉(zhuǎn)動(dòng)定律，或者說假定人體繞該連線有無限大的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度。

現(xiàn)在我們可以來比較一下表2和表3。最后一欄在僅有橫向力時(shí)平面模型的橫向攻擊力是186牛頓，立體模型的橫向攻擊力是76牛頓，誤差比是186/76=2.4。由于假定2，平面模型過高的估計(jì)了自己的能力。第四欄在僅有垂向力時(shí)平面模型的垂直向攻擊力是1765牛頓，立體模型的垂直攻擊力是353牛頓，誤差比是1765/353=5。由于假定 1，平面模型認(rèn)為手和腳在一個(gè)平面內(nèi)；而立體模型則客觀的認(rèn)為接手處不一定在兩腳連線的垂面內(nèi)。由此平面模型極高的估計(jì)了自己的垂向能力。第三欄在僅有水平力時(shí)平面模型的水平攻擊力是292牛頓，立體模型的水平攻擊力是172牛頓，誤差比是292/172=1.7。由于假定1，平面模型認(rèn)為手和腳在一個(gè)平面內(nèi)；而立體順步模型則客觀的認(rèn)為接手處不一定在兩腳連線的垂面內(nèi)，而且手的水平攻擊方向和兩腳連線的垂面有一個(gè)明顯的夾角。由此平面模型又高估計(jì)了自己的水平能力，但是平面模型面內(nèi)的性能在本例中是主要的，所以其偏差比例沒有橫向力和垂直力高。

第二欄中平面模型的三向攻擊力是 221:64:85牛頓，立體模型的三向攻擊力是 236:71:94牛頓，誤差比是212/236=0.9。這回是低估了？注意立體模型的第一臨界條件是前腳失根，而平面模型的第一臨界條件是前腳打滑。為等價(jià)比較，我們?cè)诒?3第四、五行中列出了平面模型的前腳失根的結(jié)果，它們是 535:161:214，誤差比是535/236=2.3。就這個(gè)比法，平面模型還是高估了自己的三維攻擊力。由于假定3，腳底摩擦力的承受能力和兩腳的間距成正比。平面模型的間距取1米。由于加入了步寬，立體模型兩腳的間距是米。所以就打滑而論，用平面模型計(jì)算出的攻擊力較立體模型的低。由表2和表3的第二欄可見，立體模型失根先于打滑，而平面模型正相反，這是受三個(gè)假定及輸入人體尺度的綜合影響。當(dāng)然，第一臨界條件起控制作用，因此三向攻擊力的計(jì)算中平面模型和立體模型的誤差比還是0.9。

表3 平面模型的結(jié)果

立體模型考慮了步寬的影響、考慮了手和腳的相對(duì)位置關(guān)系，得出的公式頗為復(fù)雜，但比平面模型要合理得多。當(dāng)然立體模型也有局限性。前面說平面模型中，假定用垂直于紙面的橫向力推不倒人體，我們可以把這個(gè)紙面這個(gè)平面稱為奇面。立體模型也有一個(gè)奇面，這奇面是兩腳連線的垂面。和平面模型相比，立體模型的奇面和紙面有一個(gè)夾角。這個(gè)夾角在數(shù)學(xué)上體現(xiàn)了步寬的影響，手和奇面的距離面也有了數(shù)學(xué)表述，因此模型的力學(xué)性能得到了改善。

人體是具有六個(gè)自由度的剛體，作用于人體上有三個(gè)方向的力和三個(gè)方向的力矩。只有立體模型才能對(duì)這個(gè)體系作完整的力學(xué)分析。雖然轉(zhuǎn)了一個(gè)角度，奇面仍然存在，也就是說，立體模型仍然要假定“用垂直于兩腳連線垂面的斜向力推不倒人體”。立體模型仍然假定前后腳和地面的交接處是兩個(gè)點(diǎn)。較準(zhǔn)確的模型應(yīng)該計(jì)入腳的寬度。但如何計(jì)入腳的寬度呢？譬如把每一腳簡(jiǎn)化為兩個(gè)點(diǎn)，那么人體就有四個(gè)點(diǎn)和地面接觸。三個(gè)點(diǎn)為穩(wěn)定支撐，四個(gè)點(diǎn)限制過度。限制過度將使力學(xué)計(jì)算非常復(fù)雜。

另外，現(xiàn)在用的是剛體模型，即人體內(nèi)在的抵抗力是無窮的。在論文[3]中我們提出了人體的三鉸拱模型。在那里我們把胯部簡(jiǎn)化為一個(gè)鉸。其實(shí)胯部既不是剛接，也不是鉸接，而是介于兩種理想接點(diǎn)之間的粘彈性連接。人體是生物體，胯部有骨頭、肌肉、韌帶、血液、等等，所以胯部宜用粘彈體描述。粘彈體是比彈性體或塑性體更復(fù)雜的力學(xué)材料。

那么人體的其他部分怎么辦？比如說腿、腰、胸、肩、手？我們可以建立有限元模型，即按照人體的力學(xué)性能，將人體劃分成一些列單元，加入邊界條件，用數(shù)值運(yùn)算法求解。本文只能指出一個(gè)方向，有更多的研究工作等在前面。

平面模型、立體模型、有限元模型都要有實(shí)驗(yàn)證明。人體的參數(shù)需要通過度量來建立一個(gè)數(shù)據(jù)庫。進(jìn)而可以研討高體能和高技術(shù)的對(duì)抗。摩擦力、摩擦系數(shù)需要測(cè)量，各種鞋底和地面的關(guān)系由摩擦系數(shù)來表述。現(xiàn)行太極鞋漂亮、合腳、耐久，但鞋底和地面的關(guān)系缺少定量的研究。要用傳感器，測(cè)力器來測(cè)量打太極拳或推手時(shí)的力學(xué)參量，測(cè)量力、力矩、速度、加速度、功率、等等，因而可以驗(yàn)證模型的適用范圍。模型和實(shí)驗(yàn)都是用來指導(dǎo)應(yīng)用的， 驗(yàn)證實(shí)際的攻防能力，進(jìn)而設(shè)計(jì)、優(yōu)化新的招式。醫(yī)學(xué)上，體育運(yùn)動(dòng)學(xué)上的儀器可以幫助測(cè)定太極拳的健康和養(yǎng)生效果。將太極拳和現(xiàn)代科學(xué)聯(lián)系起來有廣大的前景，有理論和實(shí)際的重要意義。

三、三維傳遞力和整體動(dòng)量作用下順右弓步模型的分析

整體動(dòng)量增加攻擊力。綜合三維力和整體動(dòng)量的效果，刪除相對(duì)動(dòng)量的部分引起的加速度，（29）式得到簡(jiǎn)化。弓步納入整體動(dòng)量的輸入是，

圖6示出了我方有整體動(dòng)量的示意圖。

圖6 我方弓步整體動(dòng)量斜飛勢(shì)

將(31)代入（29）計(jì)算結(jié)果如表4。

表4 有傳遞力和整體動(dòng)量，沒有相對(duì)動(dòng)量時(shí)右弓步的攻擊力、正壓力和摩擦力

由表可見前腳打滑 其控制作用。臨界打滑力為 Fx:Fy:Fz=461:138:184牛頓。由表4看出，第二臨界條件是前腳失根、第三個(gè)臨界條件是后腳打滑。

該算例以水平力：垂直力：橫向力=1:0.3:0.4來計(jì)算。表5列出了多向和單向力和速度時(shí)的計(jì)算結(jié)果。

表5 有傳遞力和整體動(dòng)量，沒有相對(duì)動(dòng)量時(shí)右弓步的臨界攻擊力

比較表5和表2，可見整體動(dòng)量很大地增加弓步的攻擊力（除了垂直向）。

表5第6、7欄是有整體旋轉(zhuǎn)動(dòng)量時(shí)的臨界力。經(jīng)典理論強(qiáng)調(diào)腰的動(dòng)態(tài)作用。現(xiàn)代認(rèn)為是腰胯的聯(lián)合作用。下盤穩(wěn)住，翻胯、轉(zhuǎn)腰胯、旋胯使上盤具有角動(dòng)量。該角動(dòng)量和對(duì)方碰撞而產(chǎn)生攻擊力。第6欄是水平攻擊力，第7欄是橫向攻擊力。

四、三維傳遞力和整體及相對(duì)動(dòng)量作用下順右弓步模型的分析

相對(duì)動(dòng)量增加攻擊力。綜合三維力、整體動(dòng)量和相對(duì)動(dòng)量的效果，（29）成立。弓步納入相對(duì)動(dòng)量的輸入是：

圖7示出了我方加有相對(duì)動(dòng)量的示意圖。

圖7 我方弓步加入相對(duì)動(dòng)量斜飛勢(shì)

將(32)代入（29）計(jì)算結(jié)果如表6。

比較表6和表4，水平攻擊力增加了100牛頓時(shí)，正壓力和摩擦力維持原值。即在同樣的腳底條件下，相對(duì)動(dòng)量增加臨界值。

由表6可見前腳打滑 其控制作用。臨界打滑力為 Fx:Fy:Fz=561:168:222牛頓。由表5看出，第二臨界條件是前腳失根、第三個(gè)臨界條件是后腳打滑。

表6 有傳遞力和整體及相對(duì)動(dòng)量時(shí)右弓步的攻擊力、正壓力和摩擦力

該算例以水平力：垂直力：橫向力=1:0.3:0.4來計(jì)算。表7列出了多向和單向力和速度時(shí)的計(jì)算結(jié)果。

表7 有傳遞力和整體及相對(duì)動(dòng)量時(shí)右弓步的臨界攻擊力

比較表7和表5，可見相對(duì)動(dòng)量增加弓步的攻擊力。表7第6和第7欄是只有整體旋轉(zhuǎn)動(dòng)量加相對(duì)動(dòng)量時(shí)的臨界力。

五、拗步立體剛體模型

圖8是拗步剛體模型，左腳在前，右腳在后，手在右方。例如楊式左摟膝拗步，左腳和右手在前。由模型我們得到拗步剛體模型的公式（推導(dǎo)從略）。

圖6 拗步立體剛體模型

概括平衡條件和解，我們得到拗步模型，

六、順步和拗步的統(tǒng)一數(shù)學(xué)模型

順步模型圖1和圖2中重心到前腳的橫向距離Lqz由重心指向外；重心到后腳的橫向距離Lhz由重心指向內(nèi)。拗步模型圖8中重心到前腳的橫向距離Lqz由重心指向內(nèi)；重心到后腳的橫向距離Lhz由重心指向外。兩者方向相反。拗步模型圖1和圖2中兩腳間距寬長比總是取正值。拗步模型圖8中兩腳間距寬長比也總是取正值。如果我們把負(fù)的Lqz和Lhz輸入順步模型，則圖1變成圖8；寬長比取負(fù)值。即負(fù)的Lqz和Lhz輸入順步模型使其變?yōu)檗植侥Ｐ?。反之也成立，即?fù)的Lqz和Lhz輸入拗步模型使其變?yōu)轫槻侥Ｐ停?9）式。如此我們極大地簡(jiǎn)化了軟件設(shè)計(jì)。我們只需一個(gè)模型，將負(fù)值代入以得到另一個(gè)模型。我們?nèi)№槻侥Ｐ蜑榛?，定義符號(hào)規(guī)則而得到統(tǒng)一模型，見表8。

表8 右步左步統(tǒng)一模型

[1]顧杰、郭振興、呂蒙“用人體平面剛體模型分析太極拳在水平作用力下的力學(xué)原理” 邯鄲學(xué)院學(xué)報(bào)，2015年第2期82-107頁。

[2]顧杰、郭振興、馬秀杰“用人體平面剛體模型分析太極拳在三維作用力下的力學(xué)原理” 邯鄲學(xué)院學(xué)報(bào)，2015年第4期。

[3]顧杰、王萬賓、郭振興、楊大衛(wèi) “太極拳中膝關(guān)節(jié)彎曲的力學(xué)” 中華武術(shù)研究 2016 待發(fā)。

（責(zé)任編輯：賈建鋼 校對(duì)：朱艷紅）

G852.11

A

1673-2030(2016)02-0067-21

2016-01-05

顧杰（1955—），男，江蘇蘇州人，邯鄲學(xué)院太極文化學(xué)院客座教授，美國通用汽車公司高級(jí)工程師，美國奧克蘭大學(xué)機(jī)械制造博士；郭振興（1950—），男，河北邯鄲人，邯鄲學(xué)院太極文化學(xué)院原院長，高級(jí)政工師。