遼寧省大連市育明高級中學(xué)　　李文睿

車輛碰撞各階段的運動學(xué)分析

遼寧省大連市育明高級中學(xué)李文睿

本文結(jié)合車輛碰撞中的相關(guān)運動學(xué)理論及碰撞理論，簡要分析各類車輛間碰撞的形態(tài)，以汽車碰撞為例，

拆分車輛間碰撞的各個階段，即碰撞階段、一維碰撞、二維碰撞以及碰撞后，從四個階段具體運用運動學(xué)定律，如動能定理、動量守恒定律、角動量定理等相關(guān)運動學(xué)理論，以此構(gòu)建一定的數(shù)學(xué)模型，對運動中的車輛進(jìn)行運動學(xué)分析，全面、系統(tǒng)地研究運動學(xué)定律在車輛碰撞中的應(yīng)用。

碰撞 運動學(xué) 一維碰撞 二維碰撞

隨著我國城市化與工業(yè)化進(jìn)程的加速，人們對汽車的需求日益增大，汽車工業(yè)得到迅猛發(fā)展。汽車為公眾的出行帶來極便利的同時，也使交通安全問題增多。交通安全事故頻發(fā)給交通管理與交通事故認(rèn)定帶來諸多難題。在交通事故的各種類型中，車輛碰撞事故是交通事故中出現(xiàn)率較高的一種。相關(guān)人員通過運動學(xué)定律可以確定肇事時的車輛狀態(tài)，為劃定肇事雙方責(zé)任提供依據(jù)。

一、車輛碰撞階段

碰撞階段指車輛之間發(fā)生碰撞并進(jìn)行動量互換剎那間的時間歷程。由于車輛碰撞階段的車輛加速度很大，車輛受到的碰撞撞擊力也很大，車輛在剎那間完成碰撞過程。

對車輛碰撞作用階段進(jìn)行運動學(xué)分析時，可做如下簡化：

1.以汽車碰撞為例，造成車體發(fā)生最大形變的車輛碰撞的接觸角度位移約為2～5度。實際建立碰撞模型、進(jìn)行研究時，研究人員可以忽略碰撞作用期間車輛運動位移，從而簡化模型。

2.碰撞階段，運用運動學(xué)定律中的動量定理與沖量定理時，研究人員可以忽略不計系統(tǒng)所受的外力，如車輪與地面間的摩擦力、地面制動力等外力給予系統(tǒng)造成的影響。

3.車輛碰撞中，由于一般情況下，碰撞所造成的車輛傷害變形只是車輛的局部部位，所以在車輛碰撞的運動學(xué)分析時可以把車輛當(dāng)作剛體進(jìn)行簡化。車輛碰撞中伴有機械能的損失，以及車輛碰撞階段碰撞的沖擊力在較短時間內(nèi)急劇變化。

因此，研究人員研究和描述車輛的運動狀態(tài)時，對車輛碰撞作用階段的運動力學(xué)計算分析不宜用動能定理，而應(yīng)用動量和動量矩定理。

二、車輛一維碰撞

一維碰撞指車輛的碰撞速度矢量間的夾角小于等于10°的車輛碰撞。典型的汽車一維碰撞有迎面碰撞和追尾碰撞。嚴(yán)格地講，汽車一維碰撞指汽車碰撞沿汽車縱軸線且車體的變形和運動沿著縱軸方向的碰撞。

1.迎面碰撞

迎面碰撞是汽車碰撞前速度矢量相反的一維碰撞。同型號汽車正面碰撞可與汽車對固定壁碰撞等價。汽車正面碰撞速度小的碰撞為剛體碰撞，碰撞速度大的碰撞為塑性碰撞，一般的正面碰撞遵循彈塑性碰撞規(guī)律。剛體碰撞、塑性碰撞以及彈塑性碰撞一定條件下適用于迎面碰撞。

例如，已知事故發(fā)生前兩沖突車輛的車速分別為v10和v20，引入恢復(fù)系數(shù)e。由動量守恒定理可以得到：

汽車碰撞的塑性變形與汽車的碰撞速度、結(jié)構(gòu)剛度有關(guān)。試驗表明，迎面碰撞中汽車的塑性變形與汽車有效碰撞速度有關(guān)。

圖1是碰撞速度與塑性變形量的關(guān)系。用數(shù)學(xué)式表示為：

圖2是轎車碰撞速度與恢復(fù)系數(shù)的關(guān)系。用數(shù)字式表示為：

圖1 碰撞速度與塑性變形量的關(guān)系

圖2 碰撞速度與恢復(fù)系數(shù)的關(guān)系

通過公式三和公式四得到：

式中：X表示汽車的變形。

得到恢復(fù)系數(shù)e以后，研究人員可以根據(jù)公式一和公式二確定汽車碰撞后的速度變化，進(jìn)而求出汽車迎面碰撞能的損失。

以上是基于發(fā)動機前置的汽車碰撞建立的模型。因為發(fā)動機前置加大了汽車前部剛度。發(fā)動機后置，汽車前部剛度會減小。

2.追尾碰撞

汽車追尾碰撞是汽車碰撞前速度方向一致的一維碰撞。它有如下特點：

（1）被碰撞車輛認(rèn)知的時間很晚，很少有回避操作行為。碰撞車駕駛員發(fā)現(xiàn)有尾撞發(fā)生的可能時，必定要采取緊急制動措施，在路面上留下較明顯的制動印跡（與車型和操作有關(guān)）。被碰撞車輛通常不會采取制動措施。

（2）恢復(fù)系數(shù)比正面碰撞小得多。因為汽車前部裝有發(fā)動機，剛度高，車身后部（轎車）主要是空腔，剛度低。尾撞變形主要是被撞車的后部，故恢復(fù)系數(shù)比正面碰撞小得多。

當(dāng)有效碰撞速度達(dá)到20km/h以上時，恢復(fù)系數(shù)近似為零。這種情況下，碰撞后兩車粘成一體運動。碰撞車停止后，有時被撞車還會繼續(xù)向前滾動一段距離。因汽車追尾碰撞后兩車共同運動，則：

式中：汽車1是追尾汽車；汽車2是被追尾汽車。

碰撞后，追尾汽車以vc為初速度，在制動狀態(tài)下作滑移運動。

根據(jù)能量守恒定理，滑移運動階段車輪與路面摩擦消耗盡汽車的動能。則有：

式中：μ1表示追尾汽車滑移摩擦系數(shù)；l1表示汽車1的滑移距離；k1表示制動情況修正系數(shù)。當(dāng)汽車全輪制動時，k1取1，只有前輪或后輪制動時k 1按汽車動態(tài)軸荷確定。

對被追尾汽車，有：

式中：f2表示被追尾汽車的滾動摩擦系數(shù)；l2表示被追尾汽車滾動距離。

通過公式七和公式八，得到追尾碰撞后兩車的初始速度為：因為追尾碰撞屬于塑性碰撞，追尾碰撞能損失為：

已知被追尾汽車尾部剛度C2，尾部變形面積S2，則追尾碰撞能損失為C2·S2，則有：

通過公式九和公式十一，可得到v10、v20。

試驗表明，同型號追尾碰撞的追尾汽車存在關(guān)系：

式中：v2e表示被追尾汽車的有效碰撞速度，v2e＝v20－vc。

通過公式九和公式十二，即可得到v10和v20。

三、車輛二維碰撞

車輛二維碰撞指車輛碰撞后作非一維的平面運動的碰撞類型。車輛二維碰撞模型的前提假設(shè)為：

車體僅有縱向、橫向平動和繞z軸的橫擺運動三個自由度；汽車碰撞與路面在同一平面；僅考慮車體間慣性碰撞力的作用，忽略其他外力，碰撞遵循動量守恒；碰撞過程極短，是瞬時完成的，忽略時間的影響；車體為有質(zhì)量的剛體，不考慮碰撞變形；車體運動的約束條件由汽車的切向和法向恢復(fù)系數(shù)描述；碰撞前后，汽車質(zhì)量分布和幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)不變；汽車合沖量作用在汽車碰撞中心。

汽車交通事故中的車與車碰撞，多數(shù)屬于二維碰撞。碰撞前后兩車的位置需要平面坐標(biāo)系的（x，y）坐標(biāo)和汽車偏轉(zhuǎn)角來確定。對單一車輛來說，碰撞后的位置往往不在原來的速度方向上，而且伴有角度的變化（旋轉(zhuǎn)）。二維碰撞可以有兩種不同的分類方法。

一種方法是根據(jù)兩車速度的方向以及是否對心，可將二維碰撞分為非對心碰撞、對心斜角碰撞、對心直角側(cè)碰撞、非對心直角側(cè)碰撞、非對心斜角側(cè)碰撞等。這種分類法找不到內(nèi)在規(guī)律，每一種類別在進(jìn)行事故分析的時候，所需要的參數(shù)都有所不同，而且應(yīng)用了許多經(jīng)驗公式，得不到普遍適用的表達(dá)式。事故處理的實際過程中，研究人員對其進(jìn)行應(yīng)用有一定的難度。

另外一種方法是按照受力的特點和復(fù)雜程度，將二維碰撞分為四類：忽略轉(zhuǎn)動的二維碰撞，繞碰撞點轉(zhuǎn)動的二維碰撞，一般的二維點碰撞，一般的二維面碰撞。

前兩種碰撞分析過程簡單、參數(shù)較少且計算簡便，但其特征與多數(shù)的汽車碰撞特征相差較大。后兩種碰撞具有一定的普遍性。本文針對一般的二維點碰撞和一般的二維面碰撞推導(dǎo)了下面的碰撞模型。

圖3 二維碰撞模型

圖3表示車輛1和車輛2在任意一點B相碰撞，為明確表示碰撞沖量xP和yP，分別對兩車的作用方向進(jìn)行研究，如圖a和圖b所示。

直角坐標(biāo)（x，y）分別以質(zhì)心C為原點，碰撞點B1相對車1質(zhì)心C1的坐標(biāo)為L1x和 L1y，相對車2質(zhì)心C2的坐標(biāo)為 L2x和L2y。圖b中L2x和L2y前加負(fù)號，是因為圖中B2點在相對坐標(biāo)原點C2的左下方，相對于C2的（x，y）坐標(biāo)均為負(fù)值，這樣做可以使所推導(dǎo)的公式適用于任意情況。

兩車的質(zhì)量分別是m1和m2，兩車?yán)@各自質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量分別為J1和J2，兩車碰撞前后的轉(zhuǎn)動角速度分別為ω10、ω1和ω20、ω2，兩車碰撞前后質(zhì)心的運動速度分別為v10、v1和v20、v2，它們在x、y軸上的投影分別為 v10x、v10y、v1x、v1y和v20x、v20y、v2x、v2y。

兩汽車在B點碰撞時存在相對滑動和彈性恢復(fù)。為使事故分析更加接近交通事故的實際情況，研究人員可以引入運動學(xué)相關(guān)參數(shù)：法向力彈性恢復(fù)系數(shù)和切向力滑動摩擦系數(shù)。

法向力彈性恢復(fù)系數(shù)為：

式中：vrn表示碰撞后，在碰撞點處兩車公法線方向的相對速度；vron表示碰撞前，在碰撞點處兩車公法線方向的相對速度。

兩車碰撞為完全彈性碰撞時，k值取0；兩車碰撞為完全塑性碰撞時，k值取1；

兩車碰撞為彈塑性碰撞時，k＝0～1。

切向力滑動摩擦系數(shù)為：

式中： Px表示碰撞點處x軸方向的碰撞沖量；Py表示碰撞點處y軸方向的碰撞沖量。

若汽車受撞擊時受到的x、y軸方向的碰撞沖量符號相同，則μ取正值；受到的x、y軸方向的碰撞沖量符號相反，則μ取負(fù)值。

根據(jù)動量定理和沖量矩定理，二維碰撞能損失為：

通常車輛在碰撞過程中的接觸并非只有一點，而是以面碰撞為普遍形式。由于車輛構(gòu)造的緣故，碰撞面上各點的剛度并不相同。因而，在碰撞面上由于車輛的法向力不通過碰撞面中心，而形成作用力偶和反作用力偶。

通過對二維面碰撞的研究發(fā)現(xiàn)，二維面碰撞的求解過程完全可用二維點碰撞解決，其碰撞過程中的沖力偶可利用平移碰撞點的辦法達(dá)到同樣效果，這樣就實現(xiàn)了二維點碰撞在求解車輛碰撞過程中的普遍性。

四、車輛碰撞后

碰撞后階段指汽車碰撞后，從碰撞車體分離直到汽車運動停止的過程。汽車碰撞前的狀態(tài)和碰撞性質(zhì)直接影響汽車碰撞后的運動。因此，研究人員分析汽車碰撞后的運動應(yīng)考慮汽車碰撞前狀態(tài)和碰撞性質(zhì)。

汽車正面相撞時，由于兩車在同一直線上運動，碰撞中不產(chǎn)生回轉(zhuǎn)力矩，所以碰撞后兩車的停止位置一般和原先的行駛方向偏離不大，但由于沖量的不同將使沖量小的車從碰撞位置后移。

汽車追尾相撞，由于能量的交換，后車促使前車加速，兩車一起沿原行駛路線向前運動。側(cè)面沖突中，無論是正交或斜交相撞，都會使沖突雙方不同程度地偏離原行駛路線，滑移和回轉(zhuǎn)同時存在。

車輛運動軌跡取決于碰撞沖量、撞擊部位、車輛結(jié)果及質(zhì)量分布、操縱系狀態(tài)（車輪制動情況、轉(zhuǎn)向輪偏轉(zhuǎn)角度）、路面坡度和附著系數(shù)等。由于汽車的損壞僅限于相撞部位，研究人員可按剛體運動規(guī)律分析汽車碰撞后運動軌跡。

根據(jù)汽車碰撞前駕駛員可能采取的措施，汽車碰撞后會出現(xiàn)以下幾種狀態(tài)：車輪制動抱死未轉(zhuǎn)向，車輪制動抱死轉(zhuǎn)向，車輪未制動未轉(zhuǎn)向，車輪未制動轉(zhuǎn)向。

汽車行駛過程中，車輪受到側(cè)向力作用出現(xiàn)側(cè)偏現(xiàn)象，車輪側(cè)偏會影響汽車行駛方向。車輪所受側(cè)偏力較大時，車輪與接地區(qū)域發(fā)生部分側(cè)滑。當(dāng)側(cè)向力達(dá)到側(cè)向附著極限時，整個車輪側(cè)滑。綜合以上分析，可認(rèn)為汽車碰撞后的運動受汽車制動情況、轉(zhuǎn)向情況以及車輪側(cè)偏特性影響。

汽車碰撞后運動過程中具體涉及的運動學(xué)定律包括以下幾方面內(nèi)容：

1.當(dāng)汽車處于制動狀態(tài)時，汽車碰撞后運動不隨轉(zhuǎn)向輪轉(zhuǎn)角變化，車輪摩擦力的方向與該車輪速度方向相反，摩擦力大小與該車輪負(fù)荷成正比。

2.當(dāng)汽車處于未制動狀態(tài)時，汽車碰撞后運動過程可分為兩階段。第一階段為汽車的平面滑移運動階段。碰撞剛結(jié)束時，當(dāng)車輪平面與車輪滑移速度方向間夾角較大時，車輪不能自由轉(zhuǎn)動，通常只產(chǎn)生滑移運動，隨著運動過程的繼續(xù)，該夾角減小。車輪摩擦力方向與車輪平面垂直，摩擦力方向與該車輪滑移速度方向相反。第二階段為汽車的滾動運動階段。在汽車平面滑移運動階段，當(dāng)車輪平面與其滑移速度方向間夾角減小到一定程度時，汽車從平面滑移運動階段過渡到滾動運動階段。

通過以上分析，筆者希望本文能為研究人員處理交通事故提供一些參考。Normal and Tangential Restitution coefficient[J]．SAE 940564，1994

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ISSN2095-6711/Z01-2016-08-0202

李文睿（1999—），女，遼寧大連人，大連市育明高級中學(xué)高三十一班學(xué)生