邢家省，楊小遠(yuǎn)，白 璐

(1.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，北京 100191；2.數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點實驗室，北京 100191)

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兩無窮區(qū)間上積分交換次序充分條件的改進(jìn)及其應(yīng)用

邢家省1,2，楊小遠(yuǎn)1,2，白 璐1,2

(1.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，北京 100191；2.數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點實驗室，北京 100191)

考慮兩無窮區(qū)間上的積分交換次序定理的充分條件問題，指出了數(shù)學(xué)分析中經(jīng)典定理的充分條件的不足和局限性、適用范圍有限、解決問題困難等問題。對經(jīng)典的充分條件在表述條件上給予改進(jìn)，并運用數(shù)學(xué)分析中積分控制收斂定理給予證明，達(dá)到了數(shù)學(xué)分析中應(yīng)有的理論高度，從而得到新結(jié)果。通過實例比較，使用新的積分交換次序定理更方便于驗證條件。

無窮區(qū)間上的積分交換次序定理；含參變量廣義積分；內(nèi)閉一致收斂性；比較判別法；控制收斂定理

兩無窮區(qū)間上的積分交換次序定理[1-12]是數(shù)學(xué)分析中的重要結(jié)果，在文獻(xiàn)[1-7]中，給出了兩無窮區(qū)間上的積分可交換積分次序的充分條件和證明過程。發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)分析中的積分交換次序定理的經(jīng)典充分條件在實際問題中很難滿足，對許多不滿足此充分條件的函數(shù)不能直接利用[2，8]，對有些函數(shù)驗證滿足經(jīng)典充分條件也繁瑣[1-2]。將經(jīng)典的充分條件給予改進(jìn)，在廣泛的充分條件下給出積分交換次序定理的結(jié)果，得到最好的理論表現(xiàn)形式，并且在導(dǎo)出結(jié)果的過程中沒有增加任何理論難度，利用新的表述結(jié)果可以更方便解決一批函數(shù)的積分計算問題。經(jīng)典的積分交換次序定理中充分條件的局限性問題在文獻(xiàn)[2，8]中已探討，由于直接套用很困難，因而采用其他復(fù)雜的解決方法，其實，可以將原有理論結(jié)果發(fā)展，達(dá)到數(shù)學(xué)分析學(xué)中應(yīng)有的理論高度和廣泛適用性。

1 無窮區(qū)間上積分交換次序定理的經(jīng)典充分條件及其局限性

定理1[1-7](無窮區(qū)間的積分交換次序)設(shè)函數(shù)f(x,u)在[a,+∞)×[α,+∞)上連續(xù)，如果滿足下列條件：

定理1是標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)分析教材中的經(jīng)典結(jié)果[1-7]。可以發(fā)現(xiàn)，定理1中充分條件(1)是苛刻的，對有些函數(shù)的驗證很困難，有些函數(shù)也不滿足此條件，不能直接套用此定理?？梢詫⒍ɡ?中的條件(1)改進(jìn)為一般形式，得到更好的一般結(jié)果形式，新的結(jié)果更方便使用。

定理2[1-7](無窮區(qū)間上的積分交換次序)如果函數(shù)f(x,u)滿足條件：

(1)f(x,u)在[a,+∞)×[α,+∞)上連續(xù)且非負(fù)。

定理2中的條件(2)也有局限性，適用范圍有限。

2 無窮區(qū)間上積分交換次序的充分條件的改進(jìn)條件

如果滿足條件：

(1)對任意A>δ>a，{fn(x)}在[δ,A]上一致收斂于f(x)。

注意這里的積分下限a可能是積分的瑕點，a也可能是-∞。

定理3常被使用的情形是控制收斂定理。

如果滿足：

(1)對任意A>δ>a，{fn(x)}在[δ,A]上一致收斂于f(x)。

定理4雖然是以函數(shù)列的極限形式敘述的，完全可以寫出其他極限形式的相應(yīng)結(jié)論[3,5,9]。

定理5 (無窮區(qū)間上的積分交換次序)設(shè)函數(shù)f(x,u)在(a,+∞)×(α,+∞)上連續(xù)，如果滿足條件：

記

顯然

因此，證明了結(jié)論。

顯然定理5的條件比定理1的條件廣泛自然，也就是定理5的結(jié)果優(yōu)于定理1的結(jié)果，完全應(yīng)該采用定理5替代定理1，數(shù)學(xué)分析中應(yīng)該以定理5的結(jié)果為最終形式，為得此結(jié)果，證明過程沒有增加任何困難，定理5的充分條件，在實際應(yīng)用中非常方便于驗證，減少了解決問題的難度。

文獻(xiàn)[1-9]中的狄尼定理也可以改進(jìn)為如下形式。

定理6 (狄尼定理)如果函數(shù)f(x,u)滿足條件：

(1)f(x,u)在(a,+∞)×(α,+∞)上連續(xù)且非負(fù)。

一般地，對(a,b)×(c,d)上的積分交換次序定理的充分條件類似的可以給出，這里下限a,c可以是有限的或為-∞，上限b,d可以是有限的或為+∞。

3 一些含參變量廣義積分的一致收斂性

證法2注意到

于是對A>0，成立

證明 由

定理13[1-9]成立

4 利用無窮區(qū)間上積分交換次序定理計算廣義積分的方法

令f(t,u)=ue-u2(1+t2)，則有f(t,u)在[0,+∞)×[0,+∞)上是連續(xù)且非負(fù)的。

故由定理5，交換積分次序是允許的，于是

所以

注意

e-u2I,(u>0)，φ(u)在(0,+∞)

函數(shù)f(t,u)=ue-u2(1+t2)在[0,+∞)×[0,+∞)上不滿足定理1的條件，也不滿足定理2的條件，但滿足定理5和定理6的條件。

證明 命x2=t，那么

(1)

記f(t,u)=e-(u2+k)tcost，(k>0)。

(2)

所以，有

(3)

故有

注意函數(shù)f(t,u)=e-(u2+k)tcost在[0,+∞)×[0,+∞)上不滿足定理1的條件。

類似的，可以給出：

函數(shù)f(t,u)=e-(u2+k)tsint在[0,+∞)×[0,+∞)上滿足定理1的條件，但驗證比較復(fù)雜[1-2]。驗證函數(shù)f(t,u)=e-(u2+k)tsint在[0,+∞)×[0,+∞)上滿足定理5的條件就非常容易。

定理17[2]設(shè)α為實常數(shù)，則成立

(4)

在文獻(xiàn)[2]中，為了證明(4)式成立，給出了相當(dāng)繁瑣的證明過程。

于是

記

(t,y)∈(0,+∞)×(0,+∞)

(5)

式(5)兩端令k→0+，即得

故

[1] 常庚哲,史濟懷.數(shù)學(xué)分析教程(下冊)[M].北京:高等教育出版社,2003.

[2] 黃玉民,李成章.數(shù)學(xué)分析(下冊)[M].2版.北京:科學(xué)出版社,2007.

[3] 華羅庚,著.王元,校.高等數(shù)學(xué)引論(第二冊)[M].北京:科學(xué)出版社,2009.

[4] 復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(下冊)[M].北京:高等教育出版社,1988.

[5] 張筑生.數(shù)學(xué)分析新講(第三冊)[M].北京:北京大學(xué)出版社,1990.

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[7] 陳紀(jì)修,於崇華,金路.數(shù)學(xué)分析(下冊)[M].2版.北京:高等教育出版社,2003.

[8] 費定暉,周學(xué)圣.吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解(五)[M].濟南:山東科學(xué)技術(shù)出版社,1980.

[9] 裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M].北京:高等教育出版社,2002.

[10] 匡繼昌.Dirichlet積分九種解法的思路分析[J].高等數(shù)學(xué)研究,2012,15(4):61-64.

[11] 黃麗云.被積函數(shù)正負(fù)性周期變化的反常積分[J].高等數(shù)學(xué)研究,2013,16(6):9-10.

[12] 宋文章.無界函數(shù)的反常積分的計算[J].高等數(shù)學(xué)研究,2014,17(6):19-21.

Improvement and Application of Sufficient Condition of Integrals Exchange on Two Infinite Interval

XINGJiasheng,YANGXiaoyuan,BAILu

(1.College of Mathematics and System Science, Beihang University, Beijing 100191, China;2.Key Laboratory of Mathematics, Information and Behavior, Ministry of Education, Beijing 100191, China)

Considered the sufficient condition of integrals exchange theorem on two infinite intervals, the shortage and limitation of the sufficient condition of classic theorem in mathematical analysis was put forward. Because of the limited range of application, difficulty of solving problem, the expression of classic sufficient condition was proved by the integral dominated convergence theorem of mathematical analysis. Then the proper theoretical height in mathematical analysis was achieved, and a better theoretical result was obtained.Via comparing the examples, it was very convenience to verify the conditions using the new integrals exchange theorem.

integrals exchange theorem on infinite interval; generalized integral contained parameters; inner close uniform convergence; comparison discriminance; dominated convergence theorem

2015-10-22

國家自然科學(xué)基金項目(61271010)；北京航空航天大學(xué)校級重大教改項目(201401)

邢家省(1964-)，男，河南泌陽人，副教授，博士，主要從事偏微分方程、微分幾何方面的研究，(E-mail)xjsh@buaa.edu.cn;

楊小遠(yuǎn)(1964-)，女，遼寧沈陽人，教授，博導(dǎo)，主要從事應(yīng)用調(diào)和分析、圖像處理方面的研究，(E-mail)xiaoyuanyang@buaa.edu.cn

1673-1549(2016)01-0087-06

10.11863/j.suse.2016.01.18

O177.2

A