◇謝玉娓 林俊峰

把握學(xué)情 豐富感知 適度抽象
——“認識角”教學(xué)思考

◇謝玉娓 林俊峰

近期，在北師大版教材的回訪與培訓(xùn)活動中，我執(zhí)教了二年級下冊第六單元“認識圖形”中“認識角”一課，這是學(xué)生第一次正式接觸角的概念。角作為一個抽象圖形，與學(xué)生頭腦中想象的生活中的墻角、桌角不盡相同，本節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)的是平面上的角。如何結(jié)合生活實際，讓學(xué)生經(jīng)歷從實際物體中抽象出角的過程，直觀感知“角”呢？筆者進行了嘗試，取得不錯的教學(xué)效果。

一 為教學(xué) “把脈”：意想不到的學(xué)情

（一）部分老師預(yù)想的學(xué)情。

學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，學(xué)生對數(shù)學(xué)上的“角”已經(jīng)知道了什么？老師又是怎么預(yù)想的呢？我訪談了部分老師。

教師甲（剛走上講臺不到1年的新教師）：這個內(nèi)容太簡單了，重點應(yīng)該是讓學(xué)生掌握角的組成和各部分名稱，我覺得10分鐘就能上完新課。

教師乙（工作2年半）：去年我也執(zhí)教了這節(jié)課，當時我把“比較角的大小”放在了同一課時，不然我覺得這節(jié)課的內(nèi)容太少了。

教師丙（工作4年半）：北師大第三版的教材是將“角的大小比較”與“認識角”放在同一課時的，新版教材將“角的大小比較”后移到了第二課時，這樣編排的意圖是什么呢？我能否將這一內(nèi)容也放在第一課時上呢？

從老師的想法中不難發(fā)現(xiàn)：他們覺得學(xué)生學(xué)習(xí)角的難度不大。雖然是三位入職時間不長老師的看法，但在一定程度上也代表了部分老師的想法。

（二）意想不到的學(xué)情。

事實果真如此嗎？通過前測與訪談，我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對角的認識存在以下4個誤區(qū)：

1.學(xué)生頭腦中有著墻角、桌角這樣的“實物角”，這是他們已有的生活經(jīng)驗。他們往往用“生活角”的眼光感知和描述“數(shù)學(xué)角”。

2.學(xué)生對角的認識常常停留在“點”的狀態(tài)，甚至個別高年級的學(xué)生還會指著長方體上的某個頂點說“這是一個角”。

3.學(xué)生難以將“角”從封閉的平面圖形中剝離出來，角的圖形表象遠遠少于封閉平面圖形的表象。如，請他們找到生活中的角，有的學(xué)生會描出電腦屏幕的面的形狀（長方形）或三角板的形狀（三角形），而不是其中的一個角。

4.學(xué)生對角的本質(zhì)特征的認識模糊不清，這在學(xué)習(xí)“角的大小比較”時表現(xiàn)更為明顯。甚至在第三學(xué)段探討角的對稱性時，有的學(xué)生會認為“角不是軸對稱圖形”，因為“角的兩邊好像不一樣長”。

二 對癥下藥：豐富感知，適度抽象

學(xué)生對“角”的認識誤區(qū)是客觀存在的，教學(xué)中不可回避，也不能回避。首先，要消除學(xué)生生活經(jīng)驗中關(guān)于角是“一個點”或“一個封閉平面圖形”的錯誤表象。其次，引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷從實物中抽象出角的過程，完成對角的直觀認識過程。再次，通過大量的材料感知，經(jīng)歷辨析比較的過程，從而適度抽象出角的本質(zhì)屬性。其中，學(xué)習(xí)重點是“結(jié)合生活實際，經(jīng)歷從實際物體中抽象出角的過程”，學(xué)習(xí)難點是“完成角的抽象認識過程”。

（一）豐富感知，為抽象奠基。

教學(xué)片段一：初識角。

1.說角，充分暴露學(xué)生的已有認知。

師：這節(jié)課，我們一起來認識角。說說看，關(guān)于數(shù)學(xué)上的角，你知道什么？

生：（拿出一把三角尺）我知道，這上面有角。

師：你能指出它的一個角嗎？

生：（分別點著三角尺上的三個頂點）這是一個角……一共有三個角。

師：你找到了三個角，我把你指的這三個角畫在黑板上吧。（教師將三角尺按在黑板上，分別將三個點描在黑板上）你們有什么想說的？

生：（搖頭反對）這不是角，這只是三個點。

師：同學(xué)們說你找到的不是三個角，是三個點，你覺得呢？

生：（面露思考狀）嗯，是三個點。

師：那角在哪兒呢？

生：我知道?。ㄓ檬直犬嬃苏麄€三角尺的形狀）這是一個角。

師：（將三角尺的形狀描在黑板上）這是一個角嗎？

生：（搖頭）不對，這是一個三角形。

師：三角形上確實有三個角，但角究竟在哪兒呢？

生：（邊說邊比畫出三角尺上其中一個角的兩條邊）角在這兒。

生：是。

師：是的，這就是數(shù)學(xué)上的角，大家把它的樣子用手比畫出來。

（教師帶著學(xué)生比畫，從點出發(fā)，分別描出兩條直直的線）

2.找角，從實物中抽象出角。

（1）課件呈現(xiàn)教材中的三幅實物圖：剪刀、鐘表、紅領(lǐng)巾。

問題：你能從每幅圖中找到角嗎？

學(xué)生通過用“剪刀手”模仿剪刀工作時兩片刀刃的張合，很快能比畫出兩片刀刃組成的圖形。

（2）結(jié)合學(xué)生交流，課件動態(tài)描出角，如下圖。教師指出：剪刀的兩片刀刃組成了這樣的一個圖形（張口可變化，抽象出大小不同的兩個角），鐘面上的時針和分針組成了這樣一個角，紅領(lǐng)巾上也有這樣的角（課件演示，分別描出角并從實物中剝離，留下角的圖形）。

（3）師：這些圖形，它們的位置不同、開口方向也不盡相同，那么，它們有沒有相同的地方呢？

（鼓勵學(xué)生個性化的感受和表達，如有兩條直直的線，有一個尖尖的地方；也有的學(xué)生用手勢表達等）

（4）師小結(jié)：是的，就像大家所說的，這些圖形都有一個尖尖的點，還有兩條直直的線，數(shù)學(xué)上，把像這樣的圖形叫作“角”。（揭示課題）

3.指角，直觀認識角。

師：找一找，在教室里，你能找到哪些角？找到后，用手比畫一下它的樣子。

4.師引導(dǎo)小結(jié)：這些都是角，它們的相同點是什么呢？

(生：都有一個點，還有兩條直直的線）

正式學(xué)習(xí)角之前，學(xué)生心目中的角是什么樣子的？教師充分利用學(xué)習(xí)資源，引導(dǎo)學(xué)生進行辨析，慢慢消除生活經(jīng)驗中角是一個點或一個封閉圖形的錯誤認知。隨后利用課件動態(tài)描出角的圖形，并呈現(xiàn)不同位置、不同大小、不同張口方向的角，鼓勵學(xué)生在觀察與比較中異中求同，用自己的語言描述角的樣子，經(jīng)歷從實際物體中抽象出角的過程，直觀認識角，為后續(xù)進一步抽象出角的本質(zhì)特征奠基。

（二）適度抽象，建立角的表象。

教學(xué)片段二：再識角。

1.自由畫角，初步感受角的組成。

（1）畫一畫：學(xué)生自由畫角。

師：剛才大家找到了這么多角，能不能用上你手邊的東西，想辦法把角請到紙上呢？

學(xué)生自由畫角，有的描出三角板上的角，有的用自己的“剪刀手”描出角，有的用尺子畫出角……

（2）捕捉學(xué)生資源，展示不同作品，進行交流反饋與糾錯。

2.教師示范畫角，進一步體驗角的組成。

師：剛才同學(xué)們用各種方法畫出了自己心目中角的樣子，數(shù)學(xué)上的角該怎么畫呢？

師:（示范）先畫一個點，再從這個點出發(fā)向這個方向畫一條直直的線，這條線可以畫得短一些，也可以畫很長；接著還從這個點出發(fā)，向另一個方向再畫一條筆直的線。

接著，學(xué)生說，教師示范，畫兩個張口方向不同、大小也不同的角。

3.再次比較，抽象角的本質(zhì)特征。

師：老師剛才畫了三個角。這三個圖形，位置不同，張口方向不同，張口大小也不同，可它們都是角?？梢姡@些角肯定有相同的地方，是什么呢？

生：它們都有一個尖尖的點，還有兩條直直的線。

對角的抽象不能一蹴而就，需要在充分感知的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生經(jīng)歷概念本質(zhì)屬性的剝離和抽取過程，逐步實現(xiàn)對角的抽象。

在初步感知角的基礎(chǔ)上，放手讓學(xué)生畫角，真實反映學(xué)生對角的認識，經(jīng)歷將“角”從實物中剝離的過程，而后老師示范畫角，借助這一活動體會角的組成。在示范畫角的活動中，教師獨具匠心地畫了三個位置、方向、張口大小各不相同的角，讓學(xué)生“尋找不同中的相同”，從而把對角的感性認識逐步引向理性認識。

教學(xué)片段三：角的特征。

1.認一認，突出角的特征。

（1）自學(xué)，知道角的各部分名稱。

師：每個角都有一個點和兩條直直的線，這個點和這兩條線分別叫作角的什么呢？（引導(dǎo)學(xué)生自學(xué)教科書第62頁，看懂了說給同桌聽）

（2）認一認：指著黑板上其他角，讓學(xué)生說、認、指。

（3）除了知道角的各部分名稱，你從書上還看懂了什么？（角的符號）

結(jié)合學(xué)生的匯報，教師示范：在兩條線之間畫一條圓弧，標上“1”，讀作角“1”，記作∠1。同時，在黑板上進行板書。

2.想象與畫角，強化角的表象。

（1）讓學(xué)生閉上眼睛想象一個角。在學(xué)生想象的過程中，提示學(xué)生想象角的大小、位置等。

（2）請把你剛才想好的這個角，用尺子畫在練習(xí)本上。

角的各部分名稱及角的符號，由學(xué)生自學(xué)而得，同時滲透用簡潔的符號來表示角的符號化思想。在認角各部分名稱時，不斷強化每個角都有一個頂點和兩條邊，這樣，即使閉上眼睛，學(xué)生也能想象出各種大小不同、位置不同、張口方向不一的角的表象。這進一步加強了學(xué)生對角的概念的體會，培養(yǎng)其空間觀念。

教學(xué)片段四：進一步認識角。

標一標，明晰角的內(nèi)涵。

在下面的圖中各找出三個角，標一標（如下圖）。

學(xué)生獨立完成之后，組織學(xué)生進行作品展示、交流、糾錯。在交流中，學(xué)生能清晰地根據(jù)角的特征，找出每個圖形中的角，逐步明晰角都有一個頂點和兩條邊。比較有爭議的是上面左數(shù)第四幅圖中學(xué)生標出的兩個角，如下圖所示。有的認為是角，因為它也有一個頂點和兩條“邊”；有的認為不能說是角，雖然一條邊是直的，可是另外一條是彎的。在討論交流中，學(xué)生逐步明晰角的兩條邊必須是直的，這兩個不是角。

“標一標”是在變化的圖形中識別角。雖然學(xué)生已建立了角的表象，但在封閉的平面圖形中剝離出“角”這一元素，還是有一定難度的，這是對角的內(nèi)涵較高水平的辨別。通過在平面圖形中辨認角，再一次加深學(xué)生對角的認識。其中的反例更好地突出了“角是由一個頂點和兩條直邊組成的”這一特點。

教學(xué)片段五：慧眼識角。

（課件動態(tài)呈現(xiàn)蕩秋千圖）

師：蕩秋千的過程中，也有今天認識的角，我們一起來看一下。

學(xué)生邊模仿動作邊找角，結(jié)合學(xué)生的回答，課件動態(tài)演示出繩子由起始狀態(tài)繞著點慢慢旋轉(zhuǎn)，形成一個角的過程。隨著搖擺幅度的變化，明確角有大小之分，為下節(jié)課做鋪墊。（如下圖）

結(jié)合觀察動態(tài)秋千圖，引導(dǎo)學(xué)生認識動態(tài)變化中的角。這里，一是動態(tài)演示了一條射線繞著端點旋轉(zhuǎn)而成的角，為四年級的“角的再認識”做鋪墊；二是滲透了角的大小與角的張口大小有關(guān)，為下節(jié)課“角的大小”的學(xué)習(xí)埋下伏筆。

在磨課過程中，前面提及的三位老師的想法也逐漸改變，他們感悟到只有對學(xué)情有了較準確的把握和清晰的認識，才能準確拿捏“從生活到數(shù)學(xué)，從感性到理性”的“度”。他們認為北師大版教材將“角的大小比較”后移到第二課時是非常有道理的，這樣才能騰出時間與空間，把兒童已有的對角的粗糙的甚至錯誤的認識，慢慢抽象，引導(dǎo)學(xué)生建立對角的正確表象，積累認識圖形的經(jīng)驗，初步發(fā)展空間觀念。

（作者單位：福建泉州師范學(xué)院附屬小學(xué)）