楊燕，趙 春

（天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

具有食餌避難所的Leslie-Gower捕食系統(tǒng)的捕獲分析

楊燕，趙 春

（天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

研究一類具有食餌避難所的Leslie-Gower捕食系統(tǒng)的捕獲問(wèn)題.首先分析了系統(tǒng)平衡態(tài)的存在性和穩(wěn)定性條件，然后獲得了經(jīng)濟(jì)平衡點(diǎn)的存在性條件，并分析了避難所對(duì)經(jīng)濟(jì)平衡點(diǎn)的影響，最后利用Pontryagin最大值原理得到了達(dá)到最優(yōu)捕獲的最優(yōu)平衡解.

Leslie-Gower捕食系統(tǒng)；食餌避難所；存在性；穩(wěn)定性；平衡點(diǎn)；最優(yōu)捕獲

種群動(dòng)力學(xué)模型是描述種群與環(huán)境，種群之間相互競(jìng)爭(zhēng)、相互作用的動(dòng)力學(xué)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，用來(lái)預(yù)測(cè)、描述以及調(diào)節(jié)和控制物種的發(fā)展過(guò)程和發(fā)展趨勢(shì).其中，Leslie-Gower模型[1]和Lotka-Volterra模型[2]是捕食者-食餌系統(tǒng)中2類重要模型.Leslie-Gower模型體現(xiàn)了環(huán)境對(duì)捕食者的承載能力與食餌的數(shù)量成正相關(guān)，比一般的Lotka-Volterra模型更具有實(shí)際意義.因此，許多學(xué)者對(duì)Leslie-Gower捕食者-食餌模型進(jìn)行了深入研究并取得了許多成果.文獻(xiàn)[3]通過(guò)構(gòu)造合適的Lyapunov函數(shù)證明了正平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[4]對(duì)加入避難所的模型進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)避難所對(duì)系統(tǒng)的持久性不會(huì)產(chǎn)生影響.文獻(xiàn)[5]研究了具有捕獲項(xiàng)的Leslie-Gower模型，詳細(xì)分析了捕獲的作用，發(fā)現(xiàn)在某種條件下捕獲對(duì)食餌的平衡密度不產(chǎn)生影響，并得到達(dá)到最優(yōu)捕獲的平衡解.文獻(xiàn)[6]對(duì)具有避難所的Leslie-Gower模型的最優(yōu)稅收問(wèn)題進(jìn)行分析，得到了達(dá)到最優(yōu)稅收量的最優(yōu)平衡解.文獻(xiàn)[7]研究了具有食餌避難所和Michaelis-Menten項(xiàng)的Leslie-Gower模型，得到了平衡解穩(wěn)定性的條件以及最優(yōu)收獲的最優(yōu)平衡解.文獻(xiàn)[8]研究了具有Holling型功能反應(yīng)的最優(yōu)捕獲策略.本研究考慮一類三種群捕食系統(tǒng)，將食餌種群（x）分為2部分，mx數(shù)量的食餌種群躲進(jìn)避難所（0

其中：x（t）為食餌種群在t時(shí)刻的密度；y（t）、z（t）分別

為2個(gè)競(jìng)爭(zhēng)捕食種群在t時(shí)刻的密度；r1、r2、r3分別為3個(gè)種群的內(nèi)稟增長(zhǎng)群；r1/a1＞0為x種群的環(huán)境容納量；q1（1-m）＞0、q2＞0分別為對(duì)x、z種群的可捕系數(shù)；E1＞0、E2＞0分別為對(duì)食餌x與捕食者z進(jìn)行收獲的努力量.為了避免過(guò)度捕獲，假設(shè)0＜q1E1（1-m）＜r1，0＜q2E2＜r3.根據(jù)x、y、z的生物意義，僅在區(qū)域R+= {（x，y，z）|x＞0，y＞0，z＞0}內(nèi)對(duì)系統(tǒng)（1）進(jìn)行討論.

1 正平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性

由0＜q1E1（1-m）＜r1，0＜q2E2＜r3，通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算得到正平衡點(diǎn)M（x*，y*，z*）存在，其中

顯然內(nèi)部平衡點(diǎn)x*、y*、z*滿足下列方程組

定理1當(dāng)ab-c＞0時(shí)，正平衡點(diǎn)M（x*，y*，z*）局部漸近穩(wěn)定，其中

證明 系統(tǒng)（1）在正平衡點(diǎn) M（x*，y*，z*）處的Jacobi矩陣為

特征多項(xiàng)式為λ3+aλ2+bλ+c=0.顯然a＞0，b＞0，c＞0，由Routh-Hurwitz判據(jù)可得結(jié)論成立.

定理2 正平衡點(diǎn)M（x*，y*，z*）是全局漸近穩(wěn)定的.

證明 構(gòu)造函數(shù)V（x，y，z）

易知V（x，y，z）是關(guān)于x、y、z的連續(xù)函數(shù)，計(jì)算得

因此，當(dāng)x=x*，y=y*，z=z*時(shí)，系統(tǒng)取全局最小值，即

沿著系統(tǒng)（1）對(duì)V（x，y，z）求導(dǎo)

2 經(jīng)濟(jì)平衡點(diǎn)

生物平衡點(diǎn)是系統(tǒng)（1）的平衡點(diǎn)，經(jīng)濟(jì)平衡點(diǎn)則是當(dāng)經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)最大時(shí)所求的平衡點(diǎn).假設(shè)捕獲x、z種群所需要的費(fèi)用不變，分別用d1、d2表示，單位資源x、z的售價(jià)也為常數(shù)，分別用p1、p2表示.捕獲2種群可獲得的經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)為

X1、X2分別為捕獲x、z種群所得的經(jīng)濟(jì)利潤(rùn).如果p1q1·（1-m）x＞d1，p2q2z＞d2，即捕獲x、z種群所得的經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)分別大于捕獲該種群所需要的費(fèi)用，這時(shí)才對(duì)2種群進(jìn)行捕獲.

定理3如果

則經(jīng)濟(jì)平衡點(diǎn)（x1∞，y1∞，z1∞，E1∞，E2∞）存在.

證明 經(jīng)濟(jì)平衡點(diǎn)由下列方程組確定

顯然當(dāng)式（3）成立時(shí)，E1∞＞0，E2∞＞0.因此，經(jīng)濟(jì)平衡點(diǎn)（x1∞，y1∞，z1∞，E1∞，E2∞）存在.

下面考慮避難所對(duì)經(jīng)濟(jì)平衡點(diǎn)的影響，分2種情況討論:不能捕獲到避難所內(nèi)的食餌種群和可以捕獲到避難所內(nèi)的食餌種群.

Ⅰ不能捕獲到避難所內(nèi)的食餌種群.這時(shí)系統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)平衡點(diǎn)（x1∞，y1∞，z1∞，E1∞，E2∞）如定理3所述，且x1∞、y1∞、z1∞、E1∞、E2∞均是關(guān)于避難所m的連續(xù)可微函數(shù)，且

Ⅱ可以捕獲到避難所內(nèi)的食餌種群.假設(shè)p1q1x＞d1，p2q2z＞d2.這時(shí)捕獲2種群所獲得的經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)為

定理4如果

證明 經(jīng)濟(jì)平衡點(diǎn)由下列方程組確定

在這種情況下，經(jīng)營(yíng)者可以捕獲到避難所內(nèi)的x種群，即避難所的大小對(duì)可捕獲x種群的數(shù)量沒(méi)有影響，所以在經(jīng)濟(jì)平衡時(shí)，x種群的密度不隨避難所的變化而變化，而避難所的增大，使y、z種群的競(jìng)爭(zhēng)加大，表現(xiàn)為y種群密度隨著避難所的增大而減小.但是對(duì)于種群z而言，捕獲所獲得的利潤(rùn)減少，經(jīng)營(yíng)者便減少對(duì)z種群的捕獲.2種作用力相互抵消，使得避難所的增大對(duì)z種群生物平衡不產(chǎn)生影響.隨著避難所的增大，捕獲x種群所獲得利潤(rùn)有增大的趨勢(shì)，經(jīng)營(yíng)者便加大對(duì)x種群的捕獲，表現(xiàn)為增大；而捕獲z種群所獲得利潤(rùn)減少，表現(xiàn)為減小.

3 最優(yōu)捕獲策略

捕獲者的目標(biāo)是從資源開(kāi)發(fā)中得到最大的凈利潤(rùn).考慮如下現(xiàn)值函數(shù)

其中δ為貼現(xiàn)率.本節(jié)通過(guò)確定最優(yōu)捕獲量E1=E1δ，E2=E2δ，使得J在滿足狀態(tài)方程（1）和控制約束條件0≤Ei（t）≤（Ei）max（i=1，2）時(shí)取得最大值，此時(shí)控制問(wèn)題的Hamilton函數(shù)為

其中λ1、λ2、λ3為伴隨變量.令

為轉(zhuǎn)換函數(shù).使H取最大值的最優(yōu)控制應(yīng)滿足條件

當(dāng)ψi（t）=0（i=1，2）時(shí)，Hamilton函數(shù)H與控制變量無(wú)關(guān)，即滿足此條件的控制為奇異控制.奇異控制滿足ψi（t）=0（i=1，2），即為

所以最優(yōu)捕獲策略應(yīng)滿足

下面尋求優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)平衡解，此時(shí)x、y、z、E1、E2均為常數(shù)，且滿足系統(tǒng)（1）和式（7）～式（11）.下面結(jié)合求解伴隨方程（9）～方程（11）.

由系統(tǒng)（1）可得

故式（12）和式（13）可表示為如下關(guān)于x、z的方程組

如果此方程組存在正實(shí)數(shù)根x=xδ，z=zδ，則可得

[1]LESLIE P H，GOWER J C.The properties of a stochastic model for the predator-prey type of interaction between species[J].Biometrica，1960，47（3）:219-234.

[2]陳婉琳，陳風(fēng)德，王海娜，等.具有避難所的Lotka-Volterra競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)捕獲分析[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2014，6（37）:1117-1129. CHEN W L，CHEN F D，WANG H N，et al.Harvesting analysis of a Lotka-Volterra competitive system incorporating a refuge[J].Acta MathematicaeApplicataeSinica，2014，6（37）：1117-1129（inChinese）.

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（責(zé)任編校 馬新光）

Harvesting analysis of a Leslie-Gower predator-prey system with prey refuge

YANG Yan，ZHAO Chun
（College of Mathematical Science，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China）

The harvesting problem for a Leslie-Gower predator-prey system with prey refuge is studied.Firstly，the existence and stability of equilibrium states are analyzed.And then the existence of the equilibrium point is obtained，and the effect of the refuge on the equilibrium point is analyzed.Finally，the optimal harvesting policy is obtained by using the Pontryagin′s maximum principle.

Leslie-Gower predator-prey system；prey refuge；existence；stability；equilibrium point；optimal harvesting

O175

A

1671-1114（2016）04-0001-05

2015-12-08

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（60972089）.

楊 燕（1991—），女，碩士研究生.

趙 春（1963—），男，教授，主要從事控制論及其應(yīng)用方面的研究.