江蘇省泰興市第一高級(jí)中學(xué)(225400)

張永豐 ●

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例談銜接教學(xué)中圖形化思想的教學(xué)設(shè)計(jì)

江蘇省泰興市第一高級(jí)中學(xué)(225400)

張永豐 ●

與一元二次相關(guān)的不等式、方程以及二次函數(shù)，是初高中銜接中非常重要的基本知識(shí)，是后續(xù)學(xué)習(xí)不等式的基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)三次以上函數(shù)的根本．如何將圖形化思想滲透到三者相關(guān)的教學(xué)中，并加以合理整合引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)知呢？筆者做了這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，與讀者交流：

1.情境問(wèn)題 建立模型

《爸爸去哪兒》欄目組為了培養(yǎng)五位萌娃的環(huán)保意識(shí)，決定給爸爸和寶貝們新派一個(gè)任務(wù)：在長(zhǎng)為8米寬為6米的長(zhǎng)方形地面上進(jìn)行綠化，要求四周種滿花卉且花卉帶的寬度相同，中間種植草坪(如圖所示)．為了美觀起見(jiàn)，現(xiàn)草坪的種植面積需超過(guò)總面積的一半，試問(wèn)花卉帶的寬度應(yīng)滿足什么條件？請(qǐng)同學(xué)們幫他們想想辦法……

分析 設(shè)花卉帶的寬為x，則依題意有：(8-2x) (6-2x) > 0.5×8×6，化簡(jiǎn)得：x2-7x+6>0．

設(shè)計(jì)意圖：從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型(綠化問(wèn)題)，引入新課．(1)給出一元二次不等式的定義.定義：諸如x2-7x+6>0的僅含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2次的不等式，稱為一元二次不等式．(2)探究一元二次不等式x2-7x+6>0的解集：怎樣求不等式x2-7x+6>0的解集呢？

2.類比教學(xué) 探究解法

初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)領(lǐng)會(huì)了一元一次方程和不等式的解法，相關(guān)的一次函數(shù)的知識(shí)也積極領(lǐng)悟了，那么這三者是什么關(guān)系？學(xué)生卻很難講清楚，這說(shuō)明學(xué)生學(xué)習(xí)的知識(shí)都是孤立的、割裂的．師生活動(dòng)：教師給出函數(shù)圖象，并利用幾何畫(huà)板的動(dòng)態(tài)功能演示點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的變化，請(qǐng)學(xué)生觀察其縱坐標(biāo)反映的是什么量？方程、不等式、函數(shù)三者之間的關(guān)系如何表述？并得出以下結(jié)論：

(1)x軸是一條分界線，一次函數(shù)y=2x-7與x軸的交點(diǎn)是分界點(diǎn)．(2)y>0的解即為y=2x-7在x軸上方的圖象對(duì)應(yīng)的x的范圍；y=0的解即為y=2x-7與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；y<0的解即為y=2x-7在x軸下方的圖象對(duì)應(yīng)的x的范圍．(3)寫(xiě)出2x-7>0(=0,<0)的解．

學(xué)生通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，原來(lái)一次方程和一次不等式可以說(shuō)是一次函數(shù)的特殊情況，這三者之間有著極強(qiáng)的聯(lián)系，這樣利用函數(shù)圖象關(guān)系我們可以快速地解決方程的根和不等式的解集.請(qǐng)學(xué)生思考，如何將這種圖形化問(wèn)題解決的思想用于一元二次不等式x2-7x+6>0的求解呢？將其與二次函數(shù)聯(lián)系起來(lái)討論，從而找到其求解方法呢．

探究：一元二次不等式不是我們熟悉的東西，但是大家看f(x)=x2-7x+6和x2-7x+6=0這是什么？研究函數(shù)圖象成為研究二次方程的一般普適情況，這三者間的關(guān)系如一次問(wèn)題的解決．

容易知道：(1)二次方程的有兩個(gè)實(shí)數(shù)根：x1=1，x2=6,二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)：x1=1,x2=6．于是，我們得到：二次方程的根就是二次函數(shù)的零點(diǎn)．

(2)觀察圖2，獲得解集：畫(huà)出二次函數(shù)y=x2-7x+6的圖象，如圖，觀察函數(shù)圖象，可知：當(dāng)x<1，或x>6時(shí)，函數(shù)圖象位于x軸上方，此時(shí)，y>0，即x2-7x+6>0；當(dāng)x=1，或x=6時(shí)，函數(shù)圖象與x軸相交，此時(shí)，y=0，即x2-7x+6=0；當(dāng)10的解集是{x|x<1或x>6}，從而解決了開(kāi)始時(shí)提出的問(wèn)題．

設(shè)計(jì)意圖 從一個(gè)初中生能解決的特殊不等式入手，通過(guò)圖形化思想研究函數(shù)圖象關(guān)系，學(xué)生發(fā)現(xiàn)利用圖形化思想研究不等式的解集可以成為一種一般性的解決方法．

3.一般情形 深入探究

教師引導(dǎo)學(xué)生設(shè)計(jì)一元二次函數(shù)圖象的不同情形，并從圖形中去思考不等式的解集和函數(shù)方程的根的關(guān)系，將一般化的情形請(qǐng)學(xué)生嘗試、探索、總結(jié)．研究ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)的形式，即由拋物線與x軸的交點(diǎn)可以確定對(duì)應(yīng)的一元二次方程的解和對(duì)應(yīng)的一元二次不等式的解集．

通過(guò)探究一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)的解集：觀察Δ的值以及拋物線與x軸相關(guān)位置，引導(dǎo)學(xué)生得出一元二次不等式的解集應(yīng)分為Δ>0,Δ=0,Δ<0三種情況討論．將知識(shí)總結(jié)成表格，限于篇幅不贅述．

4.運(yùn)用成果 解決問(wèn)題

題組1 解不等式x2-2x-15≥0．

分析 方程x2-2x-15=0有兩個(gè)解是x1=-3,x2=5，所以不等式的解集為{x|x≤-3或x≥5}．

總結(jié)： 解一元二次不等式的步驟是：(1)化成標(biāo)準(zhǔn)形式ax2+bx+c>0，ax2+bx+c<0(a>0) (一看)；(2)判定Δ的符號(hào)(二判)；(3) 求出方程ax2+bx+c=0 的實(shí)根;(畫(huà)出函數(shù)圖象)(三求)；(4)(結(jié)合函數(shù)圖象)寫(xiě)出不等式的解集(四寫(xiě))．

題組2 解不等式4x2-4x+1>0．

分析 通過(guò)計(jì)算Δ=0，方程4x2-4x+1=0的解是x1=x2=1/2,所以原不等式的解集是{x|x≠1/2}．

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)不同形式的不等式問(wèn)題，從頭腦中的基本二次函數(shù)圖象出發(fā)，讓學(xué)生深刻體會(huì)解一元二次不等式的關(guān)鍵，還是在頭腦中形成相關(guān)的二次函數(shù)模型．這樣對(duì)于三者間關(guān)系的掌握和處理，對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)都是有益的．

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1008-0333(2016)26-0029-01