王蕾

【摘 要】工程數學是高等數學課程的延伸，本文闡述了它和高等數學在理論體系上的異同，并結合對自己在教學過程中一些想法，提出對一些知識點的處理建議。

【關鍵詞】工程數學；復變函數；積分變換；教學方法

工程數學是高等數學的后續(xù)課程，是一門重要的工科專業(yè)必修課。它不僅在數學的其他分支，如常微分方程、積分方程，有著重要的應用，還在其他科學領域有著廣泛的應用，如理論物理、流體力學等。

我校是醫(yī)學院校，針對我校生物醫(yī)學工程專業(yè)，我們在學生大二第一學期開設了工程數學這門課程，是一門必不可少的專業(yè)基礎類必修課程。它為電工與電路分析、模擬電子技術、信號與系統(tǒng)等后續(xù)專業(yè)專業(yè)課學習提供了必要的數學工具，在整個課程體系中占有舉足輕重的地位和作用。因此，如何學好工程數學這門課程是非常重要的。我校工程數學計劃54學時，包括復變函數和積分變換，學時少，內容多。在教學過程中，學生也時常反應概念難懂、方法不易掌握、習題難做，容易與高等數學的知識點混淆。對此，本文結合實際授課經驗和我校工程數學這門課程教學改革，淺談教學過程中遇到的一些問題和對一些知識點的處理建議。

工程數學和高等數學既有區(qū)別又有聯(lián)系。它們的研究對象都是函數，研究主線都是通過變量研究函數，從而定義極限，利用極限去研究函數的連續(xù)、導數、積分。兩者的差異在于工程數學研究的函數是復變函數，高等數學研究的函數是實變函數。從實變函數到復變函數，函數的定義域與值域從實數域擴大到復數域。因此，復變函數是實變函數理論的延續(xù)和拓展，兩者的區(qū)別和聯(lián)系貫穿教學的始終，在教學過程中，通過類比的方式，利用高等數學的知識，理解復變函數與實變函數的區(qū)別。例如，對許多基本概念及定義進行理解時，使用類比法多做對比，找出相似點與不同點，加深對這些概念的理解。

1 復數的定義

一般稱（其中，x，y是實數）是一個復數。但這個概念的本質是什么呢？類似實數可用直線上的點來表示，一個復數由一對有序實數（x，y）唯一確定，當建立直角坐標系后，平面xoy上的任意一點P（x，y）可以按照一定規(guī)則與一對有序實數（x，y）建立一一對應的關系，也可以和起點為原點，終點為P的向量建立一一對應的關系。因此，從幾何角度理解，復數可以用點P或者向量來表示，也可以說復數是向量的另外一種表示方式。因此，復數的本質應該是向量，而不是“數”?！皵怠钡谋举|特性是可以比較大小的，因此，可以從這個角度不難理解，復數為什么不能比較大小了。

2 復變函數的定義

復變函數是一元實變函數的直接推廣，它的定義與一元實函數的定義形式完全相同，但是復變函數的自變量和因變量都取自復數，其與兩個二元實變函數相對應，因此，復變函數在幾何上就可以看成是z平面上的一個點集G到平面上一個點集的映射。因而，無法用直觀的圖形來表示函數關系，若要直角坐標系畫出，需要四維空間，而一元實變函數在幾何上表示的是一條平面曲線。這是復變函數與實變函數定義上的一個不同。在向學生講解復變函數的幾何特性時，可以從簡單的例子出發(fā)，例如，函數可以先介紹點與點的對應，然后是點集與點集的對應，如Z平面上的曲線在該函數作用下的圖像。復變函數與實變函數另外一個不同在于復變函數可以是多值函數，例如，開方函數可以將Z平面上的一點映射為平面上的兩個點。

3 復變函數的極限與連續(xù)

復變函數與一元實變函數的極限、連續(xù)在定義形式上相似，許多基本性質與運算法則也相同，但本質上與二元實變函數一致。定理證明[1-2]，一個復變函數的極限存在充要條件是它的實部函數與虛部函數的極限都存在；一個復變函數在某一點連續(xù)充要條件是它的實部函數與虛部函數在點是連續(xù)的。因此，研究復變函數的極限和連續(xù)等問題可以轉化為兩個二元實變函數的極限與連續(xù)問題。其次，復變函數中自變量的變化趨勢與實變函數的自變量的變化趨勢也有所不同，復變函數中自變量的變化趨勢指的是以任何方式任何路徑區(qū)域，不僅僅是左右兩個方向趨于，而實變函數的自變量的變化趨勢是指從左右兩個方向趨于。因此，復變函數的極限要求更高、更嚴格。而連續(xù)是基于極限這個基礎的，所以復變函數連續(xù)也要比實變函數連續(xù)要求更高。

4 解析函數

解析函數是復變函數的一個重要研究對象。函數解析是比可導（可微）更強的一個概念，復變函數在一點處解析，不僅要求在該點可導，還要求在該點的領域內可導。因此，復變函數在一點解析，一定是可導的，反之，不一定成立。在區(qū)域D內每點都解析的函數稱為區(qū)域D上的解析函數。判斷復變函數在某一點可導的充要條件是它的實部函數和虛部函數在這一點可導，且滿足柯西-黎曼方程。要判斷函數在這一點的解析性，一般只能通過定義。其次，要判斷一個復變函數在區(qū)域D內的充要條件是它的實部函數和虛部函數在區(qū)域D內可導且在區(qū)域D內滿足柯西-黎曼方程。這里主要利用了開區(qū)域的定義，因為開區(qū)域每個點都是其內點，故若函數在開區(qū)域D內處處可導，則在D內處處滿足上述兩個條件。因此，對于D內任意一點，必存在該點的一個鄰域，使得函數在該鄰域內處處可導。故由函數解析的定義可得，函數在區(qū)域D內的每一點處解析。

5 復變函數的積分

從形式上看，復變函數的積分是實變函數定積分的一種自然推廣。但其本質上是復平面上的，它可以與二元實函數的線積分聯(lián)系在一起。相對應就有了柯西-古薩基本定理，在此基礎上，得到了一系列推廣定理如：復合閉路定理、閉路變形原理等?？挛鞣e分公式的證明基于柯西-古薩定理。其重要性在于解析函數在區(qū)域內部的值可以通過其在邊界上的值通過積分得到。

綜上所述，工程數學中蘊含了豐富的數學方法，特別是類比的數學方法。工程數學中很多問題可以通過一定的技巧轉化為高等數學的問題，很多的結論可以通過與高等數學的知識類比得到。但是，它們在概念上也有一定的差異，因此，在教學過程中，要注重與高等數學知識銜接，比較和探究它們的異同，概括它們的原理，使得學生在掌握新概念的同時，領悟概念間的內在聯(lián)系，從而加深學生對知識的理解，提高分析問題和解決問題的能力。

【參考文獻】

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