趙舜

數(shù)學實驗在開放數(shù)學課程教學中的應用*

趙舜

（無錫開放大學，江蘇無錫214011）

文章針對開放數(shù)學課程教學中的不足，以《微積分初步》課程為例，闡述了在教學中引入數(shù)學實驗，促進教學目標的實現(xiàn)，并給出了教學模式的設計方案。數(shù)學實驗由數(shù)學實驗任務和數(shù)學實驗工具兩部分構(gòu)成，前者由教師設計，用以引導學生學習和考核學生，后者作為學習工具提供給學生使用。為了適應遠程開放教育的需要，還需要借助數(shù)學軟件構(gòu)建虛擬數(shù)學實驗室，為遠程操作數(shù)學實驗提供支持。

數(shù)學實驗；開放數(shù)學課程；應用

一、開放數(shù)學課程教學現(xiàn)狀和不足

開放教育是為了大眾的教育，是讓人人享有終身接受教育的權利。中國的開放教育原本以電視為載體，隨著計算機技術的發(fā)展，開放教育也已經(jīng)轉(zhuǎn)型為以計算機、網(wǎng)絡為載體的教學模式。然而這樣的改變并未對開放數(shù)學課程的教與學產(chǎn)生實質(zhì)影響。

以開放數(shù)學課程《微積分初步》為例，《微積分初步》是國家開放大學“人才培養(yǎng)模式改革和開放教育試點”數(shù)控技術等專業(yè)的一門必修的重要基礎課程[1]。通過本課程的學習，使學生對微分、積分有初步認識和了解，使學生初步掌握微積分的基本知識、基本理論和基本技能，并逐步培養(yǎng)學生邏輯推理能力、自學能力，較熟練的運算能力和綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力，為學習其他專業(yè)課程和今后工作的需要，打下必要的基礎。

該課程目前已經(jīng)成功地完成了網(wǎng)絡化，即通過網(wǎng)絡傳遞教學資源，通過網(wǎng)絡BBS進行教學討論，通過網(wǎng)絡完成形成性考核。但是這些改變并沒有改善教學效果，其原因分析如下。

一是教學資源沒有較大變化。該課程的網(wǎng)絡學習平臺上存放的電子稿件，原本大都是紙質(zhì)的，平臺上存放的視頻資源，雖為新錄制的，但其模式依然是一個人一份講稿，和原本的電視教學模式類似。從教學資源上沒有能充分展示計算機技術的優(yōu)勢。

二是成人學生時間少、基礎差、自主學習能力低。該課程當前的教學對象多以成人為主。這些學生大部分承擔著三份責任：家庭、工作、學習，其中學習時間很容易被其他兩者擠占，學習時間被碎片化；其次，這些學生的數(shù)學功底不扎實，基礎數(shù)學知識掌握得不到位，而本課程是屬于高等數(shù)學部分，其概念更抽象，接受難度更大；第三，成人學生受傳統(tǒng)教學模式影響，對缺少教師的自主學習模式不適應。

三是學習反饋信息不及時、不到位。開放教育中，學生和教師分離。學生在學習過程中獲得的反饋太少。學生在學習中產(chǎn)生的問題，需要通過面授課或者網(wǎng)絡BBS討論才有可能得到解決。這樣的學習反饋周期太長，不利于學生的學習。而基于網(wǎng)絡的形成性考核，也僅能向?qū)W生顯示一個成績，至于每次的練習為何錯，學生也無從得知，這對學習毫無幫助。

可見，雖然課程已經(jīng)“搬”到了網(wǎng)絡上，但是教學模式未變，學生的學習效果并未有明顯改善，所以在進行教學時必須引入新的教學手段。

二、數(shù)學實驗的發(fā)展和現(xiàn)狀

（一）計算機技術給數(shù)學實驗帶來了新的生命力

隨著計算機技術的發(fā)展，借助計算機軟件進行數(shù)學實驗成為了新事物。它以數(shù)學理論為基礎，以數(shù)學軟件為工具，對數(shù)學知識進行探索研究。借助計算機技術，學生在進行數(shù)學實驗時，可以擺脫繁瑣而又枯燥的操作和數(shù)值計算，更快地得到實驗結(jié)果，進而可以做出更多的假設和猜想，進行更多次的嘗試，從中獲得更多的發(fā)現(xiàn)。1976年，美國數(shù)學家阿佩爾與哈肯利用計算機實驗解決了存在一百多年的世界難題“四色猜想”[2]。

（二）數(shù)學實驗在國內(nèi)外的發(fā)展現(xiàn)狀。

目前國內(nèi)外許多知名大學都建設有自己的數(shù)學實驗室，為學生提供實驗環(huán)境，并專門開設了數(shù)學實驗的課程。如美國大學在20世紀80年代就提出了將計算機數(shù)學實驗引入數(shù)學教學。美國的M ountH ol yoke Col l ege于1989年開設了數(shù)學實驗課，也稱為數(shù)學實驗室。我國從1995年起，在數(shù)學高等教育的改革中，已經(jīng)將數(shù)學實驗作為數(shù)學類專業(yè)的主要課程和理科非數(shù)學類專業(yè)的基礎課程。清華大學、北京航空航天大學、中國科技大學等國內(nèi)知名高校，都建設了具有特色的數(shù)學實驗室。部分高職院校，為了提升學生實踐能力，也建成了一批規(guī)模較小的數(shù)學實驗室，有了一定的成功經(jīng)驗[3]。

三、數(shù)學實驗能輔助開放數(shù)學課程教學完成教學目標

（一）數(shù)學實驗可以提高學生的興趣，從根本上提升學生學習的動力

在數(shù)學實驗中，學生能通過圖像和動畫等直觀形式來了解數(shù)學概念和結(jié)論，要比單單通過閱讀文字描述獲得的記憶更為深刻。另外通過數(shù)學實驗來學習數(shù)學的概念和結(jié)論時，要求學生觀察、動手和思考，使學習感受更為具體，對數(shù)學知識的認知也更明確，整個過程也更有趣。興趣是學習最好的老師。當學生產(chǎn)生了興趣，那么主動地參與學習也就不再是問題。

（二）數(shù)學實驗可以培養(yǎng)學生的自主學習的能力

數(shù)學實驗應由教師根據(jù)教學目標來設置實驗任務，引導學生一步一步地嘗試和探索，從而去發(fā)現(xiàn)數(shù)學概念、性質(zhì)、定理，達到學習的目的。在教師設置好任務后，學習的主導權交到學生手里。學生根據(jù)任務要求去操作，對操作結(jié)果進行分析整理歸納判斷，最后完成實驗任務。整個過程學生與教師是不需要交流的，所有的決定和判斷都是由學生親自完成，學生真正成為學習的主體，從而提高了自己的自主學習能力。

（三）數(shù)學實驗可以培養(yǎng)學生解決問題的能力

數(shù)學概念和結(jié)論都是從現(xiàn)實生活中抽象、總結(jié)出來的，而其最終的目的是解決生活中的實際問題。數(shù)學實驗正好能創(chuàng)造這樣的機會，通過讓學生觀察、動手、思考判斷，讓學生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的過程，為學生積累經(jīng)驗，從而提升解決問題的能力。

四、引入數(shù)學實驗的開放數(shù)學課程教學模式設計方案

目前開放課程的教學模式主要包含六項：一是教師選擇教學參考書籍，學生閱讀；二是教師錄制教學視頻，學生觀看；三是教師準備面授課，學生參與并提問獲取解答；四是學生提交作業(yè)，教師進行評閱；五是教師上傳學習資料到學習平臺，學生上網(wǎng)通過學習平臺獲取資料；六是教師和學生通過BBS進行實時和非實時的討論答疑。

將數(shù)學實驗內(nèi)容引入課程后，教學模式中增加了兩項：數(shù)學實驗任務和數(shù)學實驗工具（見下頁圖1）。

圖1 引入數(shù)學實驗后的教學模式結(jié)構(gòu)圖

（一）數(shù)學實驗與數(shù)學工具的基本功能

數(shù)學實驗任務需要教師進行設置，由學生完成。數(shù)學實驗任務的目的：一是指導學生如何使用數(shù)學實驗工具，對于剛接觸數(shù)學實驗室的同學，使用說明是必不可少的，這些操作方法就可以通過實驗任務要求逐步指導學生去操作完成，進而熟悉對數(shù)學實驗工具的使用；二是可以作為對學生學習考核的一種方式，即對學生完成實驗程度進行打分，作為一項平時成績。

數(shù)學實驗工具是為學生在平時學習時提供幫助。當學生通過實驗任務掌握實驗工具的使用方法之后，學生即可在學習中自行使用。例如遇到函數(shù)極限問題時，可以借助實驗工具快速地繪制出函數(shù)圖像，并調(diào)整函數(shù)的顯示范圍，觀察圖像得出結(jié)果。另外開放教育大多數(shù)時間是在進行異步學習，這就有個問題，學生得不到及時的學習反饋。學習反饋的研究表明，及時進行學習反饋有助于改進學習，提高學習效率[4]。學生在學習中遇到的問題，可以立刻進行數(shù)學實驗，實驗會給出結(jié)果，根據(jù)結(jié)果學生可以作進一步的猜想假設，然后繼續(xù)實驗。通過反復的猜想和實驗，學生可以很快地解決問題，且印象深刻，這比向教師提問更有效。

（二）數(shù)學實驗任務的設計

1.合理選擇實驗內(nèi)容

（1）函數(shù)極限部分。設計觀察性實驗，利用計算機軟件繪制有代表性的函數(shù)圖像，通過不斷地擴大取值范圍，要求學生觀察函數(shù)圖像的變化，得出結(jié)論。

（2）函數(shù)的連續(xù)性。設計驗證性實驗，考察函數(shù)的左右極限，利用函數(shù)極限與函數(shù)連續(xù)性的關系，驗證已知函數(shù)的連續(xù)性。

（3）導數(shù)及其應用部分。導數(shù)的定義部分，設計觀察性實驗，由割線向切線轉(zhuǎn)變的過程，以此演示導數(shù)中的極限概念。導數(shù)的應用部分，如導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性關系，設計驗證性實驗。

（4）定積分及其應用部分。設計觀察性實驗，通過計算機演示，讓學生體會定積分定義中的“分割—近似—求和—取極限”的思想。

具體制定的數(shù)學實驗內(nèi)容如表1所示。

表1 以《微積分初步》課程內(nèi)容為基礎的數(shù)學實驗

2.合理設計實驗任務

在設計實驗任務時，因?qū)⒚恳粋€任務內(nèi)容細化。這樣有三點好處。一是任務細化后，所需要花費的時間減少，這就適應了開放教育學生基礎薄弱，學習時間少且分散的特點；二是任務細化后，任務的目的就明確，更能讓學生體會用意；三是任務細化后，操作簡單，便于指導學生操作實驗工具。

大部分地市級傳統(tǒng)媒體還是參照行政化管理模式，專業(yè)人才的入編招聘按事業(yè)單位統(tǒng)考方式，缺乏人力資源有效合理配置機制，在薪酬分配和績效考核等方面，新媒體部門的管理系統(tǒng)也不夠完善成熟，有的績效考核長期拿傳統(tǒng)媒體崗位做參照系，同工不同酬現(xiàn)象普遍存在。由于體制束縛、機制僵化，一方面新媒體部門人才流失嚴重；另一方面，在傳統(tǒng)媒體崗位人員又新媒體素養(yǎng)不夠，難以有效為新媒體發(fā)展輸送優(yōu)秀人才，導致媒體融合步伐緩慢。

圖2 函數(shù)局部圖像

圖3 函數(shù)局部圖像

圖4 函數(shù)局部圖像

圖2、圖3、圖4是借助實驗工具幾何畫板(TheGeom et er’sSket chpad)V5.06繪制。

通過三步任務的設置，首先三次作圖和改變區(qū)間的練習，能鞏固學生觀察函數(shù)極限的方法；其次通過要求學生逐步完成任務，讓學生認識到在時，是無窮小量，si nx是有界量，它們的積依然是無窮小量，從而掌握“無窮小量與有界量的積是無窮小量”這一性質(zhì)。

3.數(shù)學實驗環(huán)境的建立

為了進行數(shù)學實驗，需要實驗室。通常數(shù)學實驗需要的工具包括三角尺、圓規(guī)、白板、幾何體實物模型、平擺線實物模型等。而如今的計算機軟件從功能上已經(jīng)可以替代這些傳統(tǒng)工具。且針對開放教育的特點，計算機實驗比起實物實驗更適合遠程教學。所以，作為一個針對開放教育的數(shù)學實驗室需要具有以下特點。

（1）實驗室是基于互聯(lián)網(wǎng)的虛擬數(shù)學實驗室

開放教育具有遠程教育的特點，其教學模式是學生通過遠程媒體進行自主學習，以前是通過電視，現(xiàn)在計算機技術發(fā)展后，大都是通過互聯(lián)網(wǎng)進行學習。學生除了一學期僅有的幾次面授課外，沒有更多的時間到學校來參與別的教學活動。所以，適應開放課程的數(shù)學實驗室不會是實體實驗室，而是基于互聯(lián)網(wǎng)的虛擬數(shù)學實驗室。

基于互聯(lián)網(wǎng)的虛擬數(shù)學實驗室具有互聯(lián)網(wǎng)的特性。在時間與空間上比起實體實驗室有更多的優(yōu)勢。學生可以在任何時間任何地點，通過客戶端（瀏覽器）訪問虛擬數(shù)學實驗室，進行實驗操作。如今的智能手機、平板電腦等移動設備的技術發(fā)展成熟，且攜帶方便。這讓學生更方便地進入實驗環(huán)境，參與到實驗中。

（2）虛擬數(shù)學實驗室需要數(shù)學軟件來模擬替代實物實驗

目前當前的數(shù)學軟件較多，主要以數(shù)值計算、繪圖為主。下面列舉兩類常用的軟件。

（1）以MATLAB為代表的大型計算軟件

MATLAB是matrix laboratory的縮寫。MATLAB是由美國MathWorks公司開發(fā)的大型科學計算軟件。它在數(shù)學類科技應用軟件中在數(shù)值計算方面首屈一指。MATLAB具有強大的數(shù)值計算和符號計算功能，擁有龐大而齊全的數(shù)學函數(shù)庫，能幫助用戶擺脫復雜的數(shù)學運算分析[5]。它具有完善的圖形處理能力與集成環(huán)境，融計算、可視化和編程功能于一體。豐富的工具箱，讓用戶使用起來更簡便。與MATLAB同類的還有mathem atica和maple，他們被合稱為三大數(shù)學軟件。

（2）以輔助數(shù)學教學為目的的教學軟件

幾何畫板（The Geomet er's Sketchpad）軟件是由美國Key Curriculum Press公司制作并出版的優(yōu)秀教育軟件，1996年該公司授權人民教育出版社在中國發(fā)行該軟件的中文版。它適用于數(shù)學、物理等學科，能夠?qū)崿F(xiàn)動態(tài)作圖、函數(shù)作圖等功能，能動態(tài)展示幾何對象之間的位置關系和動態(tài)變化。與之類似的還有《Z+Z超級畫板》，是由佛山教育局的張景中教授主持的數(shù)學智能教與學平臺綜合應用與實踐項目開發(fā)研制的數(shù)學教學輔助軟件。

在構(gòu)建虛擬數(shù)學實驗室時，可以將數(shù)學軟件部署在服務器上，讓學生通過客戶端進行訪問操作，從而替代實物實驗，實現(xiàn)遠程實驗的目的。

五、結(jié)束語

將數(shù)學實驗引入數(shù)學教學是必然趨勢。利用數(shù)學實驗輔助開放數(shù)學教學是一種新的教學模式。通過數(shù)學實驗對數(shù)學概念的直觀的展示、演繹和驗證，幫助學生真正理解抽象的數(shù)學概念，并培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力，從而讓開放數(shù)學課程教學真正完成教學任務。

［1］趙堅，顧靜相．微積分初步［M］．北京：中央廣播電視大學出版社，2006．

［2］韓明．將數(shù)學實驗的思想和方法融入大學數(shù)學教學［J］．大學數(shù)學，2011(4)．

［3］沈澄．國內(nèi)外數(shù)學實驗教學的現(xiàn)狀及對高職數(shù)學課程建設的啟示［J］．職教通訊，2014(15).

［4］張大均．教育心理學［M］．2版.北京：人民教育出版社，2003．

［5］章紹輝．數(shù)學建模［M］．北京：科學出版社，2010．

G728

A

1008-7656（2016）04-0057-06

趙舜，無錫開放大學講師，研究方向：數(shù)學與應用數(shù)學。

［責任編輯 王偉］

無錫市教育科學“十二五”規(guī)劃2014年度課題“服務于‘微積分初步’課程教學的虛擬數(shù)學實驗室的建設研究”（編號：J/ D/2014/031）

2016-03-21